সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

Given, f(x) = (3x+3) / (x−5)
= (3.1/3 + 3) / (1/3 - 5)
= (1 + 3) / {(1 - 15)/3}
= 4 / (-14 / 3)
= - 12/14
= - 6/7

প্রশ্ন: U = {x : x < 7 , x ∈ N}, A = { x : x এবং 1 < x ≤ 4} হলে A' = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {x : x < 7 , x ∈ N}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
এবং 
A = { x : x এবং 1 < x ≤ 4}
= {2, 3, 4}

এখন, 
A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4}
= {1, 5, 6} ।

সার্বিক সেট U এর যে কোনো উপসেট A ও B এর জন্য দ্যা মরগ্যানের সূত্র দ্বয়-
ক) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ এবং
খ) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}, Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9} হলে, P ∩ Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9}

P = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Q = {2, 4, 6, 8}

P ∩ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {4, 6, 8}

প্রশ্ন: A = {m, n, o} সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
এখানে, A = {m, n, o}
A সেটের উপাদান সংখ্যা n = 3 

∴ A সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2³ - 1 
= 8 - 1
= 7 টি

প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} তাহলে B - A = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 20 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 4, 5, 10, 20
∴ A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

আবার,
B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
এখানে, 20 পর্যন্ত 5 এর গুণিতকসমূহ: 5, 10, 15, 20
∴ B = {5, 10, 15, 20}

এখন,
B - A  = {5, 10, 15, 20} - {1, 2, 4, 5, 10, 20}
= {15}

নির্ণেয় সেট: {15}

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে 300 জন অতিথি ছিল। এর মধ্যে 180 জন চা পছন্দ করেন এবং 140 জন কফি পছন্দ করেন। যদি 50 জন উভয় পানীয় পছন্দ করেন, তবে কতজন অতিথি কোনো পানীয়ই পছন্দ করেন না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট অতিথি = 300 জন
চা পছন্দ করে = 180 জন
কফি পছন্দ করে = 140 জন
উভয় পানীয় পছন্দ করে = 50 জন

∴ শুধু চা পছন্দ করে = 180 - 50 = 130 জন
∴ শুধু কফি পছন্দ করে = 140 - 50 = 90 জন

∴ অন্তত একটি পানীয় পছন্দ করে = 130 + 90 + 50 = 270 জন 

∴ কোনো পানীয়ই পছন্দ করে না = 300 - 270 = 30 জন

প্রশ্ন: f(x) = x² + (1/x^{- 1}) - 1 হলে, f(0) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, f(x) = x² + (1/x^{- 1}) - 1
= x² + {1/(1/x)} - 1
= x² + x - 1

এখন, x = 0 বসিয়ে পাই,
f(0) = 0² + 0 - 1
= 0 + 0 - 1
= - 1

A ∪ B = (1, 2, 3),
∴ n(A ∪ B) = 3
∴ P(A ∪ B) এর উপাদান = 2³
= 8

প্রশ্ন: নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
A = {2, 5, 8, 9}
B = {3, 5, 7, 9}

এখন,
(A ∩ B) = {2, 5, 8, 9} ∩ {3, 5, 7, 9}
= {5, 9}

∴ (A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} - {5, 9}
= {1, 2, 3, 4, 7, 8}

দেওয়া আছে,
(2x + y, 5) = (7, x - y)

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
2x + y = 7 ------- (১)
এবং x - y = 5 ------- (২)

এখন সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই,
3x = 12,
সুতরা x = 4

এখন x এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই,
2 × 4 + y = 7,
বা, y = 7 - 8
বা, y = - 1
সুতরাং নির্ণেয় মান, (x, y) = (4, - 1)।

প্রশ্ন: A = Φ হলে P(A) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = Φ 
- ফাঁকা সেট হলো সকল সেটের উপসেট।
- ফাঁকা সেটের কোনো উপাদান নেই। 
P(A) = {Φ}

দেওয়া আছে,
A = {x : 7≤ x <11} = {7, 8, 9, 10}
এবং B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15} = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
∴ A ∩ B = {7, 8, 9, 10} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13} = {7}

প্রশ্ন: যদি f(x) = 5 - 2x এবং f(3k) = f(k + 1) হয়, তবে f(k) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(3k) = f(k + 1) 
এবং f(x) = 5 - 2x

∴ f(3k) = 5 - 2(3k) 
= 5 - 6k

∴ f(k + 1) = 5 - 2(k + 1)
= 5 - 2k - 2
= 3 - 2k

প্রশ্নমতে,
5 - 6k = 3 - 2k
⇒ 6k - 2k = 5 - 3
⇒ 4k = 2
⇒ k = 2/4
⇒ k = 1/2

∴ f(k) = 5 - 2(1/2)
= 5 - 1
= 4

A = {x:x, 6 গুণনীয়য়ক গুলো}
= {1, 2, 3, 6}
B = {x:x, 8 গুণনীয়য়ক গুলো}
= {1, 2, 4, 8}
∴A∪B ={1, 2, 3, 4, 6, 8}

প্রশ্ন: Q = {x ∈ N: 5x ≤ 30} হলে, Q-এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
Q = {x ∈ N : 5x ≤ 30},
5x ≤ 30
⇒ x ≤ 6 অর্থাৎ 6 এর চেয়ে ছোট বা সমান সকল স্বাভাবিক সংখ্যা Q সেটের উপাদান।
∴ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2⁶ = 64

∴ Q-এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 64 - 1 = 63টি

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, P = {a, b, c, d, e}, Q = {b, d, f, h} হলে, P´ ∩ Q´ হবে?

সমাধান:
P´ = U - P
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c, d, e}
= {f, g, h}

Q´ = U - Q
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {b, d, f, h}
= {a, c, e, g}

∴ P´ ∩ Q´ = {f, g, h} ∩ {a, c, e, g}
= {g}

সার্বিক সেট থেকে কোনো সদস্য বাদ দিলে যে সেট পাওয়া যায় তাকে পূরক সেট বলে
U - A = A′

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |2x - 5| < 3 অসমতাটির সমাধান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|2x - 5| < 3
⇒ - 3 < 2x - 5 < 3
⇒ - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
⇒ 2 < 2x < 8
⇒ 1 < x < 4

প্রশ্ন: যদি g(x) = 2x³ - 3x + 7 হলে, g(- 1) + g(1) = ?

 সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
g(x) = 2x³ - 3x + 7

এখন,
g(- 1) = 2(- 1)³ - 3(- 1) + 7
= 2(- 1) + 3 + 7
= - 2 + 3 + 7
= 8

এবং, 
g(1) = 2(1)³ - 3(1) + 7
= 2(1) - 3 + 7
= 2 - 3 + 7
= 6

∴ g(- 1) + g(1) = 8 + 6 = 14

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৮০ জন ছাত্র আছে। ৪৫ জন বাস্কেটবল খেলে, ৩৮ জন ভলিবল খেলে এবং ১৫ জন উভয় খেলা খেলে। কতজন কোনো খেলাই খেলে না?

সমাধান: 
বাস্কেটবল খেলে, n(B) = ৪৫ জন
ভলিবল খেলে, n(V) = ৩৮ জন
উভয় খেলা খেলে, n(B ∩ V) = ১৫ জন

আমরা জানি,
অন্তত একটি খেলা খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা n(B ∪ V) = n(B) + n(V) - n(B ∩ V)
= ৪৫ + ৩৮ - ১৫
= ৮৩ - ১৫
= ৬৮ জন

∴ কোনো খেলাই না খেলা ছাত্রের সংখ্যা = মোট ছাত্র - n(B ∪ V)
= ৮০ - ৬৮
= ১২ জন

সুতরাং, ১২ জন ছাত্র কোনো খেলাই খেলে না। 

প্রশ্ন: যদি, f(x) = (1 + x² + x⁴)/x² হয়, তবে f(1/2) =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(x) = (1 + x² + x⁴)/x² 
f(1/2) = {1 + (1/2)² + (1/2)⁴}/(1/2)² 
= {1 + (1/4) + (1/16)}/(1/4)
= {(16 + 4 + 1)/16}/(1/4)
= (21/16)/(1/4)
= (21/16)/(4/1)
= 21/4

x² = 3x
⇒ x² - 3x = 0
⇒ x(x - 3) =0
∴ x = 0, 3
সমাধান সেট = {0, 3}

ধরি, আম পছন্দ করা ছাত্রের সেট = n(A) এবং লিচু পছন্দ করা ছাত্রের সেট = n(B)
এখানে n(A) = 20, n(B) = 15 এবং n(A ∪ B) = 30, n(A ∩ B) = ?
আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
বা, 30 = 20 + 15 - n(A ∩ B)
বা, n(A ∩ B) = 35 - 30 = 5

P(A) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}

P(B) = {{0}, {3}, {0, 3}, ∅}

∴ P(A) - P(B) = {{1},{0, 1}}

উভয় বিষয়ে ফেল x হলে,
100% = 70% + 60% - 50% + x
⇒ x = 150% - 130%
⇒ x = 20%

প্রশ্ন: Q = ∅ হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি? 

সমাধান:
Q-এর উপাদান সংখ্যা = 0
মোট উপসেট = 2ⁿ
= 2⁰
 = 1  (একটি উপসেট ∅ নিজেই)

∴ প্রকৃত উপসেট = 2⁰
 - 1 = 1 - 1 = 0

প্রশ্ন: একটি কলেজে ৮০% ছাত্র পদার্থবিদ্যায় পাশ করেছে, ৭০% রসায়নে পাশ করেছে এবং ৫৫% উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কত শতাংশ ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পদার্থবিদ্যায় পাশ = ৮০%
রসায়নে পাশ = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ = ৫৫%
কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ = (পদার্থবিদ্যায় পাশ + রসায়নে পাশ) - উভয় বিষয়ে পাশ
= (৮০% + ৭০%) - ৫৫%
= ১৫০% - ৫৫%
= ৯৫%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল = মোট ছাত্র - কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ
= ১০০% - ৯৫%
= ৫%

সুতরাং, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে ৫% ছাত্র। 

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে B - A এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {2, 4, 6}

প্রদত্ত রাশি, 
B - A = {2, 4, 6} - {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= Ø

x = 2 হলেই কেবল উভয় সমীকরন সিদ্ধ হয়
∴ A = {2}

৩১১-২৩ = ২৮৮
= ১×২৮৮, ২×১৪৪, ৩×৯৬, ৪×৭২, ৬×৪৮, ৮×৩৬, ৯×৩২, ১২×২৪, ১৬×১৮।
সুতরাং ২৩ অপেক্ষা বড় ২৮৮ এর উৎপাদকের সেট = {২৪, ৩২, ৩৬, ৪৮, ৭২, ১৪৪, ২৮৮}।

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7} হয়, তবে  P ∩ Q’ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7}

এখন, 
Q’ = U - Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {6, 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10}

P ∩ Q’ = {1, 2, 5} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10} = {1, 2, 5} = P

∴ P ∩ Q’ = P 

If A is a finite set with n elements, then number of elements in the largest equivalence relation of A is 2ⁿ

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 6} এবং C = {1, 5, 6} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
B = {2, 3, 4, 6} এবং 
C = {1, 5, 6} 

এখন, 
A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4, 6} 
= {1, 5} 

∴ (A - B) ∪ C 
= {1, 5} ∪ {1, 5, 6} 
= {1, 5, 6} 

প্রশ্ন: একটি পার্টিতে ১০০ জন অতিথির মধ্যে ৫৫ জন কোল্ডড্রিঙ্ক, ৪০ জন কফি নিয়েছে এবং ২০ জন কোনটিই নেয় নি। কতজন অতিথি শুধুমাত্র একটি পানীয় নিয়েছে? 

সমাধান:
ধরি,
উভয় পানীয় নিয়েছে = ক জন
∴ শুধু কোল্ডড্রিঙ্ক নিয়েছে = (৫৫ - ক) জন
∴ শুধু কফি নিয়েছে = (৪০ - ক) জন

দেওয়া আছে,
কোনো পানীয় নেয় নি = ২০ জন

প্রশ্নমতে,
(৫৫ - ক) + ক + (৪০ - ক) + ২০ = ১০০
⇒ ৯৫ - ক = ১০০ - ২০
⇒ ৯৫ - ক = ৮০
⇒ ক = ৯৫ - ৮০
⇒ ক = ১৫

শুধু কোল্ডড্রিঙ্ক নিয়েছে নিয়েছে = (৫৫ - ১৫) জন = ৪০ জন 
শুধু কফি নিয়েছে = (৪০ - ১৫) জন = ২৫ জন

∴ শুধুমাত্র একটি পানীয় নিয়েছে = (৪০ + ২৫) জন = ৬৫ জন