সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে (B')' = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {2, 4, 6}

B' = U - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2, 4, 6} = {1, 3, 5, 7}

এখন,
(B')' = U - B'
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {1, 3, 5, 7}
= {2, 4, 6}

∴ (B')' = {2, 4, 6} = B

বি: দ্র: (B')' = B, অর্থাৎ কোনো সেটের ডাবল পরিপূরক সেই সেট নিজেই হয়।

প্রশ্ন: f(x) = √(3x + 2) ফাংশনটির ডোমেন কত?

সমাধান:
f(x) = √(3x + 2)

যেহেতু, বর্গমূলের ভেতরের অংশ ঋণাত্মক হতে পারে না, সেহেতু
3x + 2 ≥ 0
⇒ 3x ≥ - 2
⇒ x ≥ - 2/3

অতএব, ফাংশনের ডোমেন = {x ∈ R : x ≥ - 2/3} 

প্রশ্ন: B = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} এবং C = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, (B ∩ C) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
B = {x ∈ N :  2 < x ≤ 6}
= {3, 4, 5, 6}

এবং C = { x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
= {2, 4, 6, 8}

∴ (B ∩ C) = {3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8} = {4, 6}

∴ নির্ণেয় সেট = (4, 6}

প্রশ্ন: কোনো কলেজে ৬৫% শিক্ষার্থী গণিত এবং ৭৫% শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে। কিন্তু ১৫% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭৫ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ কলেজে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?

সমাধান:
উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১৫%
শুধু গণিতে ফেল = (৩৫ - ১৫)% = ২০%
শুধু পদার্থবিজ্ঞানে ফেল = (২৫ - ১৫)% = ১০%
উভয় বিষয়ে পাস করেছে = {১০০ - (২০ + ১০ + ১৫)}%
= ৫৫%

প্রশ্নমতে,
৫৫% = ২৭৫ জন
বা, ১% = ২৭৫/৫৫ জন 
বা, ১০০% = (২৭৫ × ১০০)/৫৫ জন 
= ৫০০ জন

উভয় ভাষায় কথা বলে = বাংলায় বলে + ইংরেজিতে বলে - মোট লোকজন
= ৩৫+১০-৪০
= ৫ জন।

প্রশ্ন: ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ৬৫ জন ক্রিকেট, ৪৫ জন ক্রিকেট ও ফুটবল উভয় খেলায় এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি খেলায় অংশগ্রহণ করেন। ফুটবলে কতজন অংশগ্রহণ করেন?

সমাধান:
এখানে, ছাত্র সংখ্যা n(U) = ১০০ জন
ক্রিকেট খেলে n(C) = ৬৫ জন
ক্রিকেট ও ফুটবল উভয় খেলে n(C ∩ F) = ৪৫ জন
কমপক্ষে একটি খেলায় অংশগ্রহণ করে n(C ∪ F) = ১০০ জন

আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
⇒ ১০০ = ৬৫ + n(F) - ৪৫
⇒ ১০০ = ২০ + n(F)
∴ n(F) = ৮০

অর্থাৎ, ফুটবলে অংশগ্রহণ করে ৮০ জন।

প্রশ্ন: Z = {x ∈ N : x ≤ 4} হলে, P(Z) = ?

সমাধান:
x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 এর সমান বা ছোট।
Z = {1, 2, 3, 4}
∴ Z সেটে উপাদান সংখ্যা = 4

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার শক্তি সেটে থাকবে 2ⁿ টি উপসেট।
∴ P(Z) = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
f(x) = x² - 7x + 12
এবং f(x) = 0

এখন,
x² - 7x + 12 = 0 
⇒ x² - 3x - 4x + 12 = 0
= x(x - 3) - 4(x - 3) = 0
= (x - 3)(x - 4) = 0

অর্থাৎ, (x - 3) = 0
∴ x = 3

অথবা, (x - 4) = 0
∴ x = 4

⇒ x = 3, 4

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, P ∪ Q = কত?

সমাধান:
P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, P ∪ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

প্রশ্ন: X = {a, b, c}, Y = {c, d} এবং Z = X ∩ Y হলে, Z × Y = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
X = {a, b, c}
Y = {c, d}

Z = X ∩ Y = {a, b, c} ∩ {c, d}
∴ Z = {c}

এখন,
Z × Y = {c} × {c, d}
∴ Z × Y = {(c, c), (c, d)}

প্রশ্ন: কিছু সংখ্যক লোকের মধ্যে 60 জন বাংলা, 30 জন ইংরেজী এবং 15 জন বাংলা ও ইংরেজী উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে কত জন? 

সমাধান: 

মনে করি,
দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে এমন লোকের সেট = S 
তাদের মধ্যে বাংলায় কথা বলতে পারে তাদের সেট  = A
এবং ইংরেজীতে কথা বলতে পারে তাদের সেট = B 

প্রশ্নানুসারে,
n(A) = 60, n(B) = 30, n(A ∩ B) = 15 

এখন,
n(S) = n(A ∪ B) 
= n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
= 60 + 30 - 15 
= 90 - 15 
= 75 

∴ দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে = 75 জন।

প্রশ্ন: A = {21, 22, 23, 24, 25} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
এখানে, 
A সেটের মোট উপাদান = 5 
A সেটের সর্বমোট উপসেট = 2⁵ = 32 

∴ প্রকৃত উপসেট = 32 - 1 
= 31 

শুধু বাংলায় পাস করেছে = (৯৪ - ৭৫) জন।
= ১৯ জন।
শুধু গণিতে পাস করেছে = (৮০ - ৭৫) জন।
= ৫ জন।
উভয় বিষয় ফেল করেছে = ১০০ - (৭৫ + ১৯ + ৫) জন।
= (১০০ - ৯৯) জন।
= ১ জন।

প্রশ্ন: যদি R = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 72} হয়, তবে P(R) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
R = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 72}

4 ও 6 এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
4 = 2²
6 = 2 × 3
∴ ল.সা.গু = 2² × 3 = 12

72 অপেক্ষা ছোট বা সমান, 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো:
12, 24, 36, 48, 60, 72 = 6 টি

∴ R সেটের সদস্য সংখ্যা = 6

আমরা জানি,
n(R) = 6 হলে, P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁶
∴ P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁶ = 64 টি

অতএব, P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 64 টি

চিত্রে,
A = {1, 2, 6, 7},
B = {1, 4, 5, 6},
C = {1, 2, 3, 4}

∴ A∪B = {1, 2, 4, 5, 6, 7} 
∴ (A∪B)∩C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}∩{1, 2, 3, 4}
                = {1, 2, 4}

প্রশ্ন: যদি ƒ(x) = x³ + kx² - 4x - 8 হয়, তাহলে k-এর কোন মানের জন্য ƒ(- 2) = 0 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ƒ(x) = x³ + kx² - 4x - 8
বা, ƒ(- 2) = (- 2)³ + k (- 2)² - 4(- 2) - 8
বা, ƒ(- 2) = - 8 + 4k + 8 - 8
∴ ƒ(- 2) = 4k - 8 

যেহেতু, 
ƒ(- 2) = 0
বা, 4k - 8 = 0
বা, 4k = 8
বা, k = 8 /4
∴ k = 2 

{3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ----------- }
এটি অসীম সেট কারণ এই ধারার শেষ সংখ্যা নাই।
বাকি ধারার শেষ সংখ্যা আছে।

প্রশ্ন: যদি g(x) = 7 - 3x এবং g(2m) = g(m + 2) হয়, তবে g(m) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
g(2m) = g(m + 2)
এবং g(x) = 7 - 3x

∴ g(2m) = 7 - 3(2m)
= 7 - 6m

∴ g(m + 2) = 7 - 3(m + 2)
= 7 - 3m - 6
= 1 - 3m

প্রশ্নমতে,
7 - 6m = 1 - 3m
⇒ 6m - 3m = 7 - 1
⇒ 3m = 6
⇒ m = 6/3
⇒ m = 2

∴ g(m) = 7 - 3(2)
= 7 - 6
= 1

প্রশ্ন: একটি গ্রুপে ৬০ জন ব্যক্তি আছে। এর মধ্যে ৪০ জন হিন্দি বলতে পারেন, ৩০ জন হিন্দি ও ইংরেজি উভয়ই বলতে পারেন এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় বলতে পারেন। ইংরেজি বলতে কতজন পারেন?

সমাধান:
গ্রুপে ৬০ জন ব্যক্তি আছে
হিন্দি ও ইংরেজি উভয় ভাষায় বলতে পারেন = ৩০ জন

শুধু হিন্দিতে বলতে পারেন = ৪০ - ৩০ = ১০ জন

∴ শুধু ইংরেজিতে বলতে পারেন = ৬০ - (৩০ + ১০) = ২০ জন

∴ ইংরেজি বলতে পারেন = ৩০ + ২০ = ৫০ জন

সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট।

প্রশ্ন: n(A) = 40, n(A ∩ B) = 10 এবং n(A ∪ B) = 50 হলে n(B) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(S) = 100,
n(A) = 40,
n(A ∩ B) = 10
এবং n(A ∪ B) = 50

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
⇒ 50 = 40 + n(B) - 10
⇒ 50 = n(B) + 30
⇒ n(B) = 50 - 30
⇒ n(B) = 20

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 40 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 25 জন ইংরেজি এবং 20 জন বাংলা পড়তে পারে। যদি 10 জন ছাত্র উভয় ভাষাই পড়তে পারে, তবে কতজন ছাত্র ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ∣
ইংরেজি পড়তে পারে, ।E।  = 25
বাংলা পড়তে পারে, ।B।  = 20
এবং উভয় ভাষাই পড়তে পারে ।E ∩ B।  = 10

∴ ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা হলো,
।E ∪ B। = ।E। + ।B। - ।E ∩ B।
= 25 + 20 - 10
= 35

ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না = মোট ছাত্র - (ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা)
= 40 - 35
= 5

সুতরাং, ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে না পারা ছাত্রের সংখ্যা = 5 জন

এখানে A = {1,2} এবং B = {2,5}
সুতরাং P(A) = {{1}, {2}, {1,2}, { }}
এবং P(B) = {{2}, {5}, {2,5}, { }}
সুতরাং ‌P(A)&cap;P(B) = {{ }, {2}}.

প্রশ্ন: Q সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 127 হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ -1 = 127
⇒ 2ⁿ = 127 + 1
⇒ 2ⁿ = 128
⇒ 2ⁿ = 27
∴ n = 7

∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা = 7

উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যে কোনো সেটের উপসেট।

প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেট গুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।

প্রশ্ন: S = {1, 2, 3} ও T = Ø হলে S ∩ T = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
S = {1, 2, 3}
T = Ø

S ∩ T = {1, 2, 3} ∩ Ø
= Ø

প্রশ্ন: P = {2, 3, 5}, Q = {4, 5} এবং R = P ∩ Q হলে, P × R নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 5}
∴ R = P ∩ Q = {2, 3, 5} ∩ {4, 5}
= {5}

∴ P × R = {2, 3, 5} × {5}
= {(2, 5), (3, 5), (5, 5)} 

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষে ২৫ জন ছাত্র ক্রিকেট খেলে, ২৫ জন ছাত্র ফুটবল খেলে এবং ১০ জন ছাত্র উভয় খেলাই খেলে। ১০ জন ছাত্র কোনো খেলাই খেলে না। ঐ শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ক্রিকেট খেলে = ২৫ জন 
ফুটবল খেলে = ২৫ জন
উভয় খেলা খেলে = ১০ জন
কোনো খেলাই খেলে না = ১০ জন

শুধু ক্রিকেট খেলে = (২৫ - ১০) জন = ১৫ জন
শুধু ফুটবল খেলে = (২৫ - ১০) জন = ১৫ জন

∴ মোট ছাত্রসংখ্যা = শুধু ক্রিকেট খেলে + শুধু ফুটবল খেলে + উভয় খেলা খেলে + কোনো খেলা খেলে না 
= ১৫ + ১৫ + ১০ + ১০ 
= ৫০ জন 

ছেদ সেটের সংজ্ঞানুসারে,
x ∈ A ∩ B হলে x ∈ A এবং x ∈ B