সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

A, A′ এর পূরক ঘটনা হলে,
P(A) + P(A′) = 1

প্রশ্ন: 100 জন লোকের মধ্যে 65 জন চা পছন্দ করে, 50 জন কফি পছন্দ করে এবং 15 জন কোনোটিই পছন্দ করে না। কতজন উভয়টিই পছন্দ করে? 

সমাধান:
মোট লোক = 100 জন
কোনোটিই পছন্দ করে না = 15 জন
∴ অন্তত একটি (চা বা কফি বা উভয়) পছন্দ করে = 100 - 15 = 85 জন
চা পছন্দ করে, T = 65 জন
কফি পছন্দ করে, C = 50 জন

আমরা জানি, 
n(T ∪ C) = n(T) + n(C) - n(T ∩ C)  ; এখানে (T ∪ C) = অন্তত একটি পছন্দ করে = 85 জন
⇒ 85 = 65 + 50 - n(T ∩ C)
⇒ 85 = 115 - n(T ∩ C)
⇒ n(T ∩ C) = 115 - 85
∴ n(T ∩ C) = 30

সুতরাং, 30 জন উভয়টিই (চা ও কফি) পছন্দ করে।

প্রশ্ন: f(x) = x² + x - 6 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
f(x) = x² + x - 6
আবার,
f(x) = 0

এখন,
x² + x - 6 = 0
⇒ x² + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3)= 0
⇒ (x + 3)(x - 2)= 0
∴ x = 2, - 3

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 42 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 25 জন ইংরেজি এবং 20 জন বাংলা পড়তে পারে। যদি 10 জন ছাত্র উভয় ভাষাই পড়তে পারে, তবে কতজন ছাত্র ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ইংরেজি পড়তে পারে, n(E) = 25
বাংলা পড়তে পারে, n(B)  = 20
এবং উভয় ভাষাই পড়তে পারে, n(E ∩ B)  = 10

∴ ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা হলো,
n(E ∪ B) = n(E) + n(B) - n(E ∩ B)
= 25 + 20 - 10
= 35

ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না = মোট ছাত্র - (ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা)
= 42 - 35
= 7

সুতরাং, ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে না পারা ছাত্রের সংখ্যা = 7 জন

প্রশ্ন: n(X) = 20, n(X ∩ Y) = 10 এবং n(X ∪ Y) = 50 হলে n(Y) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(X) = 20,
n(X ∩ Y) = 10,
n(X ∪ Y) = 50

আমরা জানি,
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)
⇒ 50 = 20 + n(Y) - 10
⇒ 50 = 10 + n(Y)
⇒ n(Y) = 50 - 10
n(Y) = 40 

∴ n(Y) = 40  

A - B হলো A সেটে বিদ্যমান কিন্তু B তে নাই এমন উপাদানের সেট = {1,2,3} = A

প্রশ্ন: কোন সেটের উপাদান সংখ্যা 6 হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট কতটি হবে?

সমাধান:
একটি সেটে উপাদান সংখ্যা = 6
মোট উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁶ = 64
সুতরাং, প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 = 64 - 1 = 63টি 

ইংরেজিতে অকৃতকার্য হয় = ৩৫%
বাংলায় অকৃতকার্য হয় = ২০%
উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয় = ১২%
যেকোনো এক বিষয়ে অকৃতকার্য হয় = (৩৫ + ২০ - ১২)%
= ৪৩%
∴ উভয় বিষয়ে কৃতকার্য হয় = (১০০ - ৪৩)%
= ৫৭%

প্রশ্ন: D = ∅ হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি? 

সমাধান:
D-এর উপাদান সংখ্যা = 0
মোট উপসেট = 2ⁿ
= 2⁰
= 1  (একটি উপসেট ∅ নিজেই)

∴ প্রকৃত উপসেট = 2⁰ - 1 = 1 - 1 = 0

প্রশ্ন: যদি A = {3, 4, 5, 6} হয়, তাহলে A এর শক্তিসেট কয়টি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {3, 4, 5, 6} 

এখানে,
A সেটের উপাদান সংখ্যা = 4
∴ A সেটের মোট উপাদান হবে = 2⁴ টি
= 16 টি 
∴ উপাদানগুলো হবে, p(A) = {φ, {3}, {4}, {5}, {6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {4, 5, 6}, {3, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}}  । 

1², 2², 3², 4² < 18
∴ A = {1, 2, 3, 4}

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৪৫ জন ছাত্র আছে। এর মধ্যে ২৩ জন ফুটবল খেলে, ১৮ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৬ জন কিছুই খেলে না। কতজন উভয়টিই খেলে?

সমাধান:
যে কোন একটি বা উভয়টিই খেলে, n(F ∪ C) = ৪৫ - ৬ জন 
= ৩৯ জন

ফুটবল খেলে, n(F) = ২৩ জন
ক্রিকেট খেলে, n(C) = ১৮ জন

আমরা জানি,
n(F ∪ C) = n(F) + n(C) - n(F ∩ C)
⇒ n(F ∩ C) = n(F) + n(C) - n(F ∪ C)
= ২৩ + ১৮ - ৩৯
= ৪১ - ৩৯
= ২

∴ উভয়টিই খেলে = ২ জন

প্রশ্ন: A = {x ∈ N এবং 7 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N এবং x মৌলিক সংখ্যা < 11} হলে (A - B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : 7 ≤ x < 11}
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 11}

এখন, 
A = {x : 7 ≤ x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
এবং
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 11}
= {2, 3, 5, 7}

A - B = {x : x ∈ A এবং x ∉ B}
= {7, 8, 9, 10} - {2, 3, 5, 7}
= {8, 9, 10}

প্রশ্ন: সেট A = {x : x একটি মৌলিক সংখ্যা এবং x² < 100} হলে, P(A)-এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, আমাদের এমন মৌলিক সংখ্যা বের করতে হবে যার বর্গ 100 এর থেকে ছোট।
x² < 100
⇒ x < √100
⇒ x < 10

অতএব, 10-এর থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 2, 3, 5, 7
সুতরাং, সেট A = {2, 3, 5, 7}

A সেটের উপাদান সংখ্যা = 4
আমরা জানি,
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার পাওয়ার সেট P(A)-এর উপাদান সংখ্যা হয় 2ⁿ.

∴ P(A)-এর উপাদান সংখ্যা = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6} এবং B = {1, 3} হয়, তবে A ∩ B' এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 4, 6} এবং B = {1, 3}

এখন,
B' = U - B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} - {1, 3}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}

∴ A ∩ B' = {2, 4, 6} ∩ {2, 4, 5, 6, 7, 8}
= {2, 4, 6}
= A

সুতরাং, A ∩ B' = A

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9}
এখানে, x এর মান 3 এর সমান বা বড় এবং 9 এর ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

আবার,
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10}
x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যা 10 এর ছোট বা সমান।
∴ B = {1, 3, 5, 7, 9}

প্রদত্ত রাশি,
A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}

A = {1, 2}, B = {2,6} হলে
P(A) = {{1}, {2}, {1, 2}, ∅}
P(B) = {{2}, {6}, {2, 6}, ∅}
P(A)∩P(B) = {{2}, ∅}

x এর এমন কোন বাস্তবমান পাওয়া সম্ভব নয় যা x² = 25 এবং 2x - 8 উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
∴ A = ∅

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করল। যদি ৬০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
ইংরেজিতে পাশ করেছে = ৮০%
বাংলায় পাশ করেছে = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (বাংলা বা ইংরেজি) = (ইংরেজিতে পাশ) + (বাংলায় পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৮০ + ৭০ - ৬০)%
= (১৫০ - ৬০)%
= ৯০%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৯০)%
= ১০%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

x² + (a + b)x + ab = 0
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
∴ x = -a, -b
∴ সমাধান সেট = {-a, -b}

প্রশ্ন: যদি দুইটি সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে তবে সেট দুইটি পরস্পর-

সমাধান: 
যদি দুইটি সেটের মধ্যে যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে তবে সেট দুইটিকে পরস্পর নিশ্ছেদ সেট বলে। 
মনে করি,
A ও B দুইটি সেট।
A ∩ B = Ø হলে A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সেট হবে।

x² > 8; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x³ < 30; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {3}

প্রশ্ন: C = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² < 18} হলে, সেটের উপাদানগুলো হবে?

সমাধান:
x এর মান ঋণাত্মক হতে হবে এবং বর্গ করলে যেন উহা 18 এর ছোট হয়। এরূপ সংখ্যা-

(- 1)² = 1 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট
(- 2)² = 4 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট
(- 3)² = 9 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট
(- 4)² = 16 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট

∴ C = {- 1, - 2, - 3, - 4}

উপসেটের সংজ্ঞানুসারে x ∈ A ⇒ x ∈ B 
তবে A ⊂ B

A = {x ∈ N : 6 < x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
B ={x : x জোড় সংখ্যা}
= {2, 4 ,6, 8........}
∴ A - B
= {7, 9}

প্রশ্ন: A = {a, b, c, d} এবং B = {c, d, e, f, g} হলে P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = {a, b, c, d} এবং B = {c, d, e, f, g}

A ∪ B = {a, b, c, d} ∪ {c, d, e, f, g} = {a, b, c, d, e, f, g}

A ∪ B সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 7 টি।

আমরা জানি, 
​কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার পাওয়ার সেটের (Power Set) উপাদান সংখ্যা হবে 2ⁿ টি।

অতএব,
P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা = 2⁷ = 128 টি।

প্রশ্ন: P = {2, q} হলে, P(P) কোনটি হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
 P = {2, q}

∴ P(P) = {{2, q}, {2}, {q}, ∅}

উল্লেখ্য যে, 
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ ।

ডিমরগানের সূত্রানুসারে (A ∩ B)' = A' ∪ B' এবং A' ∪ B' = A' ∩ B'

প্রশ্ন: ১৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১০০ জন ইতিহাসে, ৯০ জন ভূগোলে এবং ৬০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
শুধু ইতিহাসে পাস = (১০০ - ৬০) জন = ৪০ জন
শুধু ভূগোলে পাস = (৯০ - ৬০) জন = ৩০ জন
উভয় বিষয়ে পাস = ৬০ জন

যেকোনো একটি বিষয় এবং উভয় বিষয়ে পাস করেছে = (৪০ + ৩০ + ৬০) জন
= ১৩০ জন

ডিমরগানের উপপাদ্য অনুসারে,
(A∩B∩C)′ = A′∪B′∪C′