পাটিগণিত

প্রশ্ন: পরপর চারটি মৌলিক সংখ্যার গড় ২৫.৫ হয়, তবে সংখ্যা চারটি কত?
​
​সমাধান:
​মৌলিক সংখ্যা চারটি সমষ্টি = ২৫.৫ × ৪ = ১০২
​
​এখন,
ক) ১৭ + ১৯ + ২৩ + ২৯​ = ৮৮
​খ) ২৯ + ৩১ + ৩৭ +  ৪১ = ১৩৮
​গ) ১৯ + ২৩ + ২৯ + ৩১ = ১০২
​ঘ) ২৩ + ২৯ + ৩১ + ৩৭ = ১২০
​
​∴ সঠিক উত্তর: গ) ১৯, ২৩, ২৯, ৩১

প্রশ্ন: শূন্য অপেক্ষা বড় যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে বলা হয়?

সমাধান:
শূন্য অপেক্ষা বড় পূর্ণ সংখ্যাগুলো (যেমন: ১, ২, ৩, ...) কে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়।

অন্য দিকে,
অমূলদ সংখ্যা: এগুলো হলো এমন সংখ্যা যেগুলোকে p/q​ আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেমন: √2, π)।
মূলদ সংখ্যা: এগুলোকে p/q​ আকারে লেখা যায় (যেমন: 3 = 3/1​)।
বাস্তব সংখ্যা: সমস্ত স্বাভাবিক, পূর্ণ, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।

(১২×১০০)/১৮
= ৬৬.৬৭%

সেলিম ও আবুলের অনুপাতদ্বয়ের যোগফল (৪ + ১) = ৫
সুতরাং, সেলিম পায় (৪০০০ × ৪)/৫ টাকা = ৩২০০ টাকা

সেলিম এবং তার ছেলে ও মেয়ের অনুপাতত্রয়ের সমষ্টি (৩ + ৩ + ২) = ৮
সুতরাং, মেয়ে পায় (৩২০০ × ২)/৮ = ৮০০ টাকা

প্রশ্ন: ৪ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
৪ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = √৪ : √৯ 
= ২ : ৩

মনেকরি,
সংখ্যাটি a
∴ ১৬০ এর ১৫/১০০ = a এর ২৫/১০০ - ৭
বা, ২৪ = a/৪ - ৭
বা, ৯৬ = a - ২৮
∴ a = ৯৬ + ২৮
= ১২৪

প্রশ্ন: ১৫৬৮ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১৫৬৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৭ × ৭
= ২^৫ × ৭^২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে। এখানে ২ এর ঘাত ৫ (বিজোড়)।

তাই ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১৫৬৮ × ২ = ৩১৩৬ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে  ২ দ্বারা গুণ করতে হবে। 

10% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য 100-10 = 90 টাকা
90 টাকায় বিক্রয় করা হলে, ক্রয়মূলয় ছিল 100 টাকা
1 টাকায় বিক্রয় করা হলে, ক্রয়মূলয় ছিল 100/90 টাকা
180 টাকায় বিক্রয় করা হলে, ক্রয়মূলয় ছিল (100 X 180)/90 টাকা = 200 টাকা

৩০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = (৩০০×৪) টাকা = ১২০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৫০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৫০০×৫) টাকা = ২৫০০ টাকার ১ বছরের সুদ
∴ মোট = (১২০০+২৫০০) টাকা = ৩৭০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৩৭০০ টাকার ১ বছরের সুদ ১৪৮ টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ (১৪৮×১০০)/৩৭০০ টাকা = ৪ টাকা = ৪%

০.৩
১/৩ = ০.৩৩৩৩
√(০.৩) = ০.৫৪৭
২/৫ = ০.৪০

প্রশ্ন: ছয়জন পুরুষ, আটজন নারী এবং একটি বালকের গড় বয়স ৩৬ বছর। পুরুষদের গড় বয়স ৪১ এবং নারীদের ৩৫। বালকের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর।
∴ ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের সমষ্টি = ৩৬ × ১৫ = ৫৪০ বছর

আবার, 
পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর
∴ পুরুষদের বয়সের সমষ্টি = ৪১ × ৬ = ২৪৬ বছর

এবং, 
স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর
∴ স্ত্রীলোকদের বয়সের সমষ্টি = ৩৫ × ৮ = ২৮০ বছর

∴ বালকের বয়স = ৫৪০ - (২৪৬ + ২৮০) = ১৪ বছর

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ১২% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য (১০০-১২) = ৮৮ টাকা;
এবং ৮% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০+৮) = ১০৮ টাকা। বিক্রয় মূল্যেদ্বয়ের পার্থক্য (১০৮-৮৮) = ২০ টাকা।
বিক্রয় মূল্য ২০ টাকা বেশি হলে ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য ১২০০ টাকা বেশি হলে ক্রয় মূল্য (১০০×১২০০)/২০
= ৬০০০ টাকা।

অর্থাৎ, সংখ্যাটির (১০০ - ৪০)% = ৬০% = ৩০
∴ সংখ্যাটি, ১০০% = (৩০/৬০%)×১০০% = ৫০

প্রশ্ন: ২০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৫৫০ মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৬০ কি.মি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৫৫০ + ২০০) মিটার = ৭৫০ মিটার
ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

আমরা জানি, ১ কি.মি = ১০০০ মিটার
∴ ৬০ কি.মি = ৬০,০০০ মিটার

এবং ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
∴ ৬০ মিনিট = (৬০ × ৬০) সেকেন্ড = ৩৬০০ সেকেন্ড

এখন, ৬০,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৬০,০০০ সেকেন্ডে
∴ ৭৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৭৫০)/৬০,০০০ সেকেন্ডে
= ৪৫ সেকেন্ডে

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে = ৪৫ সেকেন্ড।

আমরা জানি,
I = pnr
যেখানে, মুনাফা, I = ১৩৫
সময়, n = ৫ বছর
আসল, p = ৯০০ টাকা
এবং সুদের হার, r = ?
এখন, I = pnr/১০০
বা, r = I×১০০/pn
বা, r = ১৩৫×১০০/(৯০০×৫)
বা, r = ৩

প্রশ্ন: ৪/৯ এবং ৮/১৫ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব (৪, ৮)-এর ল.সা.গু নির্ণয়:
৪ = ২ × ২ = ২^২
৮ = ২ × ২ × ২ = ২^৩
∴ ল.সা.গু = = ২^৩ = ৮

হর (৯, ১৫)-এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৯ = ৩ × ৩ = ৩^২
১৫ = ৩ × ৫ = ৩^১ × ৫^১
∴ গ.সা.গু = ৩^১ = ৩

∴ ৪/৯ এবং ৮/১৫ এর ল.সা.গু = ৮/৩

প্রশ্ন: রবিন একটি ব্যাংকে বার্ষিক ৬% সরল সুদে ৫০,০০০ টাকা ৫ বছরের জন্য জমা রাখলে, মেয়াদ শেষে মোট কত টাকা তিনি ফেরত পাবেন?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৫০,০০০
সুদের হার, r = ৬%
সময়, n = ৫

আমরা জানি,
সরল সুদের ক্ষেত্রে,
I = Pnr/১০০
বা, I = (৫০,০০০ × ৬ × ৫)/১০০
= ১৫,০০০ টাকা

∴ মোট টাকা পাবেন = সুদ + আসল
= ১৫,০০০ + ৫০,০০০
= ৬৫,০০০ টাকা

প্রশ্ন: চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ১০, ১৫, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৫ × ৩
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫

∴ ল.সা.গু. =  ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০ সেকেন্ড

আমরা জানি,
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।

সময় = ৩০০/৬০ মিনিট
= ৫ মিনিট।

∴ ৫ মিনিট পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: যদি দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬, সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল ১০৮০ হয়, তবে (সংখ্যা দুইটির সমষ্টি)^২ =  কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি = ৫ক ও ৬ক
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৩০ক^২

আমরা জানি,
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩০ক^২ = ১০৮০
⇒ ক^২ = ৩৬
⇒ ক = √৩৬
⇒ ক = ৬

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৬ক + ৫ক
= (৬ × ৬) + (৫ × ৬)
= ৩৬ + ৩০
= ৬৬

∴ (সংখ্যা দুইটির সমষ্টি)^২ = (৬৬)^২ = ৪৩৫৬ 

প্রশ্ন: ৩০ কে ৫ : ৩ অনুপাতে বৃদ্ধি করলে নতুন সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
নতুন সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
ক : ৩০ = ৫ : ৩
বা, ক/৩০ = ৫/৩
বা, ক = (৩০ × ৫)/৩
∴ ক = ৫০

∴ নতুন সংখ্যা = ৫০

প্রশ্নটি হওয়া উচিত ছিল - "একটি পেনড্রাইভ বিক্রয়ে দোকানদার ৫% ডিসকাউন্ট দেয়। ৭% ডিসকাউন্টে তার পূর্বের চেয়ে ১৫ টাকা লাভ হয়। পেনড্রাইভটির তালিকা মূল্য কত?"

ধরি, 
পেনড্রাইভটির তালিকা মূল্য x টাকা 

প্রশ্নমতে, 
(x এর 95%) - (x এর 93%) = 15
(95x/100) - (93x/100) =15
(95x - 93x)/100 = 15 
2x/100 = 15
2x = 15 × 100
x = (15 × 100)/2
x = 750


বিকল্প:
(৭-৫)% = ২% অধিক ডিসকাউন্টে  লাভ = ১৫ টাকা
অর্থাৎ ২% = ১৫ টাকা
∴ ১০০% = (১৫ × ১০০)/২ = ৭৫০ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ৮ ঘণ্টা ও ১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয়। প্রথম নলটি একা ২ ঘণ্টা চলার পর বন্ধ করে দেওয়া হয় এবং দ্বিতীয় নলটি খুলে দেওয়া হয়। চৌবাচ্চাটি মোট কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
প্রথম নল দ্বারা,
৮ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৮ অংশ

দ্বিতীয় নল দ্বারা,
১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১২ ঘন্টায়
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/১২​ অংশ

প্রথম নলটি,
২ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ২ × (১/৮) = ১/৪ অংশ 

∴ ২ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকে = ১ -  (১/৪) = (৪ - ১)/৪ = ৩/৪ অংশ

এখন, দ্বিতীয় নলটি ১ অংশ পূর্ণ করে = ১২ ঘণ্টায়
∴ ৩/৪ অংশ পূর্ণ করে = ১২× (৩/৪) = ৯ ঘণ্টায়

সুতরাং চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে মোট সময় = ১ম নল দ্বারা পূর্ণ করার সময় + ২য় নল দ্বারা পূর্ণ করার সময় 
= ২ ঘণ্টা + ৯ ঘণ্টা
= ১১ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৫ জন লোক ৫ দিনে ৫টি চেয়ার তৈরি করতে পারে। একই হারে ১০ জন লোক ১০ দিনে কতটি চেয়ার তৈরি করতে পারবে?

সমাধান: 
 ৫ জন লোক ৫ দিনে চেয়ার তৈরি করে = ৫ টি
∴ ১ জন লোক ১ দিনে চেয়ার তৈরি করে = ৫/(৫ × ৫) টি
∴ ১০ জন লোক ১০ দিনে চেয়ার তৈরি করে = (৫ × ১০ × ১০)/(৫ × ৫) টি
= ২০ টি 

∴ ১০ জন লোক ১০ দিনে ২০টি চেয়ার তৈরি করতে পারবে।

মৌলিক সংখ্যা বের করার সহজ নিয়মঃ
1) সংজ্ঞাঃ যে সকল সংখ্যাকে কেবল ঐ সংখ্যা এবং 1 ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না তাদেরকে মৌলক সংখ্যা বলে।
2) সূত্রঃ 6n ± 1 = মৌলিক সংখ্যা (ব্যতিক্রম- 01 এবং 02 দেখুন)।
6X1 ± 1 = 5, 7
6X2 ± 1 = 11, 13
6X3 ± 1 = 17, 19
6X4 ± 1 = 23
6X5 ± 1 = 29, 31
6X6 ± 1 = 37
6X7 ± 1 = 41, 43
6X8 ± 1 = 47
6X9 ± 1 = 53
6X10 ± 1 = 59, 61
6X11 ± 1 = 67
6X12 ± 1 = 71, 73
6X13 ± 1 = 79
6X14 ± 1 = 83
6X15 ± 1 = 89
6X16 ± 1 = 97
ব্যতিক্রম-01: সূত্রের সাথে কোন ধরণের সামঞ্জস্যা না থাকলেও 2 এবং 3 মৌলিক সংখ্যা। এই দুইটি মৌলিক সংখ্যা সহ 1-100 পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা 25 টি।
ব্যতিক্রম-02: 25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91 এবং 95 প্রভৃতি সূত্রটির আওতাভুক্ত হলেও এরা মৌলিক সংখ্যা নয় অর্থাৎ এরা যৌগিক সংখ্যা।