পাটিগণিত

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ১২০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
এবং ল.সা.গু. = ১২০

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৫ক এবং ৬ক ; [যেখানে ক = গ.সা.গু.] 
এখন, দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ৫ক × ৬ক = ৩০ক 

সুতরাং, ৩০ক = ১২০
ক = ১২০/৩০
ক = ৪

অতএব, দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. = ৪

প্রশ্ন: রহিম সাহেব ১০০০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হার ৮% হলে ২ বছর পরে তিনি কত মুনাফা পাবেন? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০ = ২/২৫ 
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি, 
চক্রবৃদ্ধির মুনাফা = P(১ + r)ⁿ - P
= ১০০০০(১ + ২/২৫)^২ - ১০০০০
= ১০০০০(২৭/২৫)^২ - ১০০০০
= ১০০০০ × (২৭/২৫) × (২৭/২৫) - ১০০০০
= ১১৬৬৪ - ১০০০০
= ১৬৬৪ 

সুতরাং, রহিম সাহেব ২ বছর পরে ১৬৬৪ টাকা মুনাফা পাবেন।

অনুপাত দুটির যোগফল = ৩ +২ = ৫ গ্রাম
সোনার পরিমান ১৫ গ্রাম, তামার পরিমান ১০ গ্রাম
ধরি, সোনা মিশাতে হবে x গ্রাম, তাহলে,
(১৫ + x )/১০ = ৫/১
১৫ + x = ৫০
x = ৩৫

প্রশ্ন: একটি কাজ ১২ জন লোক ১৫ দিনে করতে পারে। ২০ জন লোক কত দিনে কাজটি করতে পারবে? 

সমাধান: 
১২ জন লোক কাজটি করে = ১৫ দিনে
∴ ১ জন লোক কাজটি করবে = (১৫ × ১২) দিনে
∴ ২০ জন লোক কাজটি করবে = (১৫ × ১২)/২০ দিনে
= ৯ দিনে।

১২% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১২ = ৮৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮৮ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা   ''      ''      = ১০০/৮৮ টাকা

আবার ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০
    ''       ১     ''      ''       ''        = ১১০/১০০
    ''  ১০০/৮৮  ''     ''         ''     = (১১০×১০০) / (১০০×৮৮) = ১১০/৮৮

১১০/৮৮ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ৫ টি মার্বেল
∴   ১         ''      ''        ''     '' = (৫×৮৮) / ১১০ = ৪ টি মার্বেল

x – 5 = 0
Or, x = 5
অতএব, x² + 7x + p
Or, 5² + 7.5 + P = 0
Or, 25 + 35 = p
Or, p = - 60

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ১ এবং পার্থক্য ১০। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
∴ বড় সংখ্যাটি = ক + ১০

প্রশ্নমতে,
(ক + ১০)/ক = ৩/১
বা, ক + ১০ = ৩ক
বা, ২ক = ১০
বা, ক = ৫

সুতরাং ছোট সংখ্যাটি হলো = ৫

প্রশ্ন: তপু ১০ মিনিটে ৩৫০ শব্দ এবং মনির ১০ মিনিটে ২৫০ শব্দ টাইপ করে। দুইজন একসাথে কাজ করলে ২৪০০ শব্দ টাইপ করতে মোট কত মিনিট সময় লাগবে?

সমাধান:
 তপু ও মনির ১০ মিনিটে টাইপ করে = (৩৫০ + ২৫০) শব্দ
= ৬০০ শব্দ

দুইজন একসাথে ৬০০ শব্দ টাইপ করে ১০ মিনিটে
∴ দুইজন একসাথে ১ শব্দ টাইপ করে (১০/৬০০) মিনিটে
∴ দুইজন একসাথে ২৪০০ শব্দ টাইপ করে {(১০ × ২৪০০)/৬০০} মিনিটে
= ৪০ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ২৫ শতাংশের ২০ শতাংশ যদি ৪ এর সমান হয় তাহলে সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২৫% এর ২০% = ৪
বা, ক × (২৫/১০০) × (২০/১০০) = ৪
বা, ক × (১/২০) = ৪
বা, ক = ২০ × ৪
∴ ক = ৮০

∴ সংখ্যাটি ৮০

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ১২ ও ২৭ হলে, মধ্য সমানুপাতী নির্ণয় করুন।

সমাধান:
এখানে, ১ম রাশি = ১২ এবং ৩য় রাশি = ২৭

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৩য় রাশি = (২য় রাশি)^২
বা, ১২ × ২৭ = (২য় রাশি)^২
বা, (২য় রাশি)^২ = ৩২৪
বা, ২য় রাশি = √৩২৪
∴ ২য় রাশি = ১৮

∴ নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতী = ১৮

প্রশ্ন: টাকায় ৩টি করে আম ক্রয় করে টাকায় ২টি করে আম বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
৩টি আমের ক্রয়মূল্য = ১ টাকা।
১টি আমের ক্রয়মূল্য = ১ ÷ ৩ = ১/৩ টাকা

২টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা।
তাহলে, ১টি আম বিক্রয়মূল্য = ১/২ টাকা

লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ১/২ - ১/৩ টাকা
= ১/৬
লাভের শতাংশ = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০
= {(১/৬)/(১/৩)} × ১০০
= ৫০%

প্রশ্ন: একটি কাজ সম্পন্ন করতে জুয়েলের লাগে ৩০ মিনিট এবং সালমানের লাগে ২০ মিনিট। উভয়ে একত্রে কাজটি কত মিনিটে সম্পন্ন করতে পারবে?

সমাধান: 
জুয়েল ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/৩০ অংশ 
সালমান ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/২০ অংশ 
∴ জুয়েল ও সালমান একত্রে ১ মিনিটে করে কাজটির = {(১/৩০) + (১/২০)} অংশ
= {(২ + ৩)/৬০} অংশ 
​= ৫/৬০ অংশ 
​= ১/১২ অংশ 

জুয়েল ও সালমান ১/১২ অংশ কাজ করে = ১ মিনিটে 
∴ জুয়েল ও সালমান ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (১২ × ১)/১ মিনিটে 
= ১২ মিনিটে।

5/27 = 0.185
7/36 = 0.194
11/45 = 0.244
2/9 = 0.222

প্রথম + দ্বিতীয় + তৃতীয় = 33 × 3 = 99
প্রথম + দ্বিতীয় = 27 × 2 = 54
(বিয়োগ করে) তৃতীয় সংখ্যাটি হবে = 45

পদ সংখ্যা = (শেষ সংখ্যা - ১ম সংখ্যা / সাধারণ অন্তর) + ১
= (53 - 1/1) + 1
= 53
∴ সমষ্টি = (১ম সংখ্যা+শেষ সংখ্যা / 2) × পদসংখ্যা
= (1+53)/2 ×53
= 27 × 53
গড় = (27 × 53) / 53
= 27

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:  p/q  আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q  পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
যেমন: √16 = 4 ,3/1 = 3,  11/2= 5.5, 5/ 3 = 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।

এখন অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) √১০/√২ = √(১০/২) = √৫ ; যা অমূলদ

খ) √৮/৩ = √(৪ × ২)/৩ = ২√২/৩ ; যা অমূলদ

গ) √১২/√৩ = √(৪ × ৩)/√৩ = (√৪ × √৩)/√৩ = ২ ; যা মূলদ

ঘ) √৩/২ ; যা অমূলদ

সুতরাং, সঠিক উত্তর: গ) √১২/√৩ 

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের যোগফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = ২, ৩, ৫, ৭ 
∴ তাদের যোগফল = ২ + ৩ + ৫ + ৭ 
= ১৭ ।

ধরি,
২০ কেজি চালের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
∴ ১ কেজি চালের ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা।
= ৫ টাকা।
আবার,
২৫ কেজি চালের বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
∴ ১ কেজি চালের বিক্রয়মূল্য = ১০০/২৫ টাকা।
= ৪ টাকা।
∴ ১ কেজি চালে ক্ষতি = ৫-৪ = ১ টাকা।
এখন,
৫ টাকায় ক্ষতি হয় = ১ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০০/৫ টাকা।
= ২০ টাকা।

প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ১২। একটি সংখ্যা বাতিল করলে গড় হয় ১১। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৭টি সংখ্যার গড় = ১২
∴ মোট যোগফল = ৭ × ১২ = ৮৪

আবার, 
একটি সংখ্যা বাদ দিলে বাকি থাকে ৬টি সংখ্যা, নতুন গড় = ১১
∴ নতুন যোগফল = ৬ × ১১ = ৬৬

সুতরাং বাতিলকৃত সংখ্যাটি = পূর্বের মোট যোগফল - নতুন যোগফল
= ৮৪ - ৬৬
= ১৮

প্রশ্ন: পাঁচটি সংখ্যার গড় ৬। তিনটি সংখ্যার গড় ৮। অবশিষ্ট দুটি সংখ্যার গড় কত?


সমাধান:
পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৬) = ৩০
তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = (৩ × ৮) = ২৪
অবশিষ্ট দুইটি সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ - ২৪) = ৬

∴ অবশিষ্ট দুটি সংখ্যার গড় = ৬/২
= ৩

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৪ অংশ কাঁদায়, ১/২ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
একটি খুঁটির = ১/৪ অংশ কাঁদায়
একটি খুঁটির = ১/২ অংশ পানিতে
∴ কাঁদায় ও পানিতে আছে খুঁটিটির = {(১/৪) + (১/২)} অংশ
= ৩/৪ অংশ 

এখন,
অবশিষ্ট আছে খুঁটিটির = {১ - (৩/৪)} অংশ
= ১/৪ অংশ 

খুঁটিটির ১/৪ অংশ = ১২ মিটার
∴ খুঁটিটির সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = (১২ × ৪) মিটার
= ৪৮ মিটার। 

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু।
এখানে, ২, ৩, ২ লবগুলোর ল.সা.গু = ৬ এবং ৫, ৪, ৩ হরগুলোর গ.সা.গু = ১
সুতরাং ২/৫, ৩/৪, ২/৩ ভগ্নাংশ গুলোর ল.সা.গু = ৬/১ = ৬

প্রশ্ন: ১ বর্গমাইল = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ মাইল = ১৭৬০ গজ
সুতরাং, ১ বর্গমাইল = (১৭৬০ × ১৭৬০) বর্গগজ = ৩০,৯৭,৬০০ বর্গগজ

আবার,
১ বিঘা = ১৬০০ বর্গগজ (প্রমিত)

এখন,
১ বর্গমাইল = (৩০,৯৭,৬০০ / ১৬০০) বিঘা = ১৯৩৬ বিঘা।

∴ ১ বর্গমাইল = ১৯৩৬ বিঘা

প্রশিক্ষণ নেওয়া এবং ব্যবসায়ীর সংখ্যা = ১২ + ৪৮
= ৬০ জন
অর্থাৎ, ৪০% = ৬০ জন
∴ ১০০% = (৬০×১০০)/৪০
= ১৫০ জন।

যেহেতু, প্রশ্নে কোন ধরনের ভগ্নাংশ তা উল্লেখ নেই, তাই আমরা এটিকে প্রকৃত ভগ্নাংশ হিসাবে ধরে নিচ্ছি।

মনেকরি,
ভগ্নাংশটির হর = x
এবং লব = y [যেখানে x > y]
∴ ভগ্নাংশটি = y/x

প্রশ্নমতে, x - y = ২.........(i)
এবং x + y = ১৬.............(ii)
(i) + (ii),
⇒ ২x = ১৮
⇒ x = ৯
(ii) নং এ বসিয়ে পাই, y = ৭

∴ ভগ্নাংশটি = ৭/৯

ধরি,
a = ২, b = ২,
ক, ২ + (২ × ২) = ৬ জোড়
খ, ২ × ২ + ১ = ৫ বিজোড়
গ, ২ + ২ = ৪ জোড়
ঘ, ২ + ২ + ২ = ৬ জোড়

৫ টাকা ভ্যাট হলে মোট টাকা = ১০০
৯৫ টাকা ভ্যাট হলে মোট টাকা = (১০০ × ৯৫)/৫
= ১৯০০ টাকা

প্রশ্ন: ৩ জন বালক বা ৪ জন বালিকা একটি কাজ ২৬ দিনে শেষ করতে পারলে ৬ জন বালক ও ৫ জন বালিকা একত্রে কাজটি কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
৩ জন বালক = ৪ জন বালিকা
∴ ১ জন বালক = ৪/৩ জন বালিকা
∴ ৬ জন বালক = {(৪ × ৬)/৩} জন বালিকা
= ৮ জন বালিকা

∴ মোট বালিকা = (৮ + ৫) জন
= ১৩ জন

৪ জন বালিকা কাজটি সম্পন্ন করতে পারে ২৬ দিনে
∴ ১ জন বালিকা কাজটি সম্পন্ন করতে পারে (২৬ × ৪) দিনে
∴ ১৩ জন বালিকা কাজটি সম্পন্ন করতে পারে {(২৬ × ৪)/১৩} দিনে
= ৮ দিনে

p = ৮০০০০০,
r = ৫% = ৫/১০০,
n = ২
∴ ২ বছর পরে জনসংখ্যা হবে c = p(১ + p)ⁿ
= ৮০০০০০ × (১ + ৫/১০০)^২
= ৮০০০০০ × ১০৫/১০০ × ১০৫/১০০
= ৮,৮২,০০০ জন

17, 14, 8, 20, এর ল. সা. গু. = 4760
4760 ÷ 17 = 280
∴ 12/17 = (12 × 280)/(17 × 280) = 3360/4760
4760 ÷ 14 = 340
∴ 11/14 = (11 × 340)/(14 × 340) = 3740/4760
4760 ÷ 8 = 595
∴ 5/8 = (5 × 595)/(8 × 595) = 2975/4760
4760 ÷ 20 = 238
∴ 15/20 = (15 × 238)/(20 × 238) = 3570/4760

প্রশ্ন: ২, ০, ৭, ৯ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?

সমাধান:
২, ০, ৭, ৯ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৭২০
এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৭৯

∴ এদের পার্থক্য = ৯৭২০ - ২০৭৯ = ৭৬৪১

১০০ টাকায় ১ বছরের সুদ ১০ টাকা
১০০ টাকায় ৫ বছরের সুদ (১০×৫) = ৫০ টাকা।
১০০ টাকায় ৫ বছরে সুদে-আসলে হবে (১০০+৫০) = ১৫০ টাকা।
এখন, সুদে-আসলে ১৫০ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা।
সুদে-আসলে ১ টাকা হলে আসল ১০০/১৫০ টাকা।
সুদে-আসলে ৭৫০ টাকা হলে আসল (১০০×৭৫০)/১৫০ টাকা।
= ৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৩৫০ মিটার ও ১০০ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেন প্রতি ঘণ্টায় যথাক্রমে ৮০ কি.মি. ও ৫০ কি.মি. বেগে চলছে। তারা একই স্থানে থেকে একই দিকে চলা শুরু করলে পরস্পরকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুই ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৩৫০ + ১০০) = ৪৫০ মিটার

ট্রেন দুটি একই দিকে চলছে,
∴ তাদের আপেক্ষিক বেগ = (৮০ - ৫০) কি.মি./ঘণ্টা
= ৩০ কিমি/ঘণ্টা

এখন,
৩০ কিমি/ঘণ্টা = (৩০ × ১০০০)/৩৬০০ মিটার/সেকেন্ড
= ২৫/৩ মিটার/সেকেন্ড

∴ সময় = দূরত্ব ÷ বেগ
= ৪৫০ ÷ (২৫/৩)
= (৪৫০ × ৩)/ ২৫ সেকেন্ড
= ৫৪ সেকেন্ড

∴ পরস্পরকে অতিক্রম করতে ৫৪ সেকেন্ড সময় লাগবে।

এই অঙ্ক গুলো শর্টকাট নিয়মে খুব দ্রুত করা যায়,
সোনা মেশাতে হবে = (দ্বিতীয় অনুপাতের পরিবর্তিত রাশি - প্রথম অনুপাতের রাশি)/(প্রথম অনুপাতের রাশিদ্বয়ের যোগফল) × মোট পরিমাণ
= (৭-৫)/(৫+৩) × ৪০
= ২/৮ × ৪০
= ১০ গ্রাম।

প্রশ্ন: ৬% হারে ২৫০০০ টাকার ২ বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, P = ২৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা = Prn/১০০
= (২৫০০০ × ৬ × ২)/১০০
= ৩০০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P{১ + (r/১০০)}ⁿ - P
= ২৫০০০{১ + (৬/১০০)}^২ - ২৫০০০
= ২৫০০০{১ + (৩/৫০)}^২ - ২৫০০০
= ২৫০০০ × (৫৩/৫০)^২ - ২৫০০০
= ২৫০০০ × (৫৩/৫০) × (৫৩/৫০) - ২৫০০০
= ২৫০০০ × (২৮০৯/২৫০০) - ২৫০০০
= ২৮০৯০ - ২৫০০০
= ৩০৯০ টাকা

∴ পার্থক্য = ৩০৯০ - ৩০০০ = ৯০ টাকা

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১২। যদি হর থেকে ২ বিয়োগ করলে তা লব এর সমান হয়, তাহলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = ক
∴  হর = ১২ - ক

প্রশ্নমতে,
(১২ - ক) - ২ = ক
⇒ ১২ - ২ = ক + ক
⇒ ১০ = ২ক
⇒ ক = ৫

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = ৫/(১২- ৫)
= ৫/৭

এসিডঃপানি = ৭ঃ৩
অনুপাতের রাশিদ্বরের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = ( ৩০ × ৭/১০ ) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ × ৩/১০ ) = ৯ লিটার
নতুন মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ ঠিক থাকবে আর পানির পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, ক পরিমাণ পানি মিশ্রিত করতে হবে।
∴ ২১ঃক = ৩ঃ৭
⇒ ক = ( ২১ × ৭ )/৩ = ৪৯
পানি মিশ্রিত করতে হবে ( ৪৯ - ৯ ) = ৪০ লিটার।
  

সুদ = ৬০০×৫×৫% = ১৫০ টাকা
সুতরাং সুদ-আসল= ৬০০ + ১৫০ টাকা
= ৭৫০ টাকা।

ধরি, শামীমের আয় ২০ টাকা ও ব্যয় ১৫ টাকা, তাহলে সঞ্চয় (২০-১৫) = ৫ টাকা
২০ টাকায় সঞ্চয় করে ৫ টাকা
১০০ 〃 〃 〃(১০০×৫)/২০ টাকা
= ২৫ টাকা