পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ৩/৫ অংশ সবুজ এবং বাকি অংশ হলুদ। খুঁটির সবুজ এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৮ মিটার হলে সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ

খুঁটির সবুজ অংশ = ৩/৫ অংশ
∴ খুঁটির হলুদ অংশ = ১ - (৩/৫) অংশ
= (৫-৩)/৫ অংশ
= ২/৫ অংশ

সবুজ এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = (৩/৫) - (২/৫) অংশ
= (৩ - ২)/৫ অংশ
= ১/৫ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৫ অংশ = ৮ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (৫ × ৮)/১ মিটার
= ৪০ মিটার

প্রশ্ন: ৭২ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান: 
প্রথমে ৭২ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ,
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৭২ = ২^৩ × ৩^২
এখানে ২ এর সূচক ৩ ও ৩ এর সূচক ২।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।  
ভাজক সংখ্যা:
(৩ + ১)(২ + ১) = ৪ × ৩ = ১২

∴ ৭২ এর মোট ১২টি ভাজক আছে।

প্রশ্ন: টাকায় ৩টি করে আম ক্রয় করে টাকায় ২টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
ধরি,
৩টি আমের ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
১টি আমের ক্রয়মূল্য = ১/৩ টাকা
এখন,
২টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
১টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১/২ টাকা
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= (১/২) - (১/৩)
= (৩-২)/৬
= ১/৬

শতকরা লাভ = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (১/৬)/(১/৩) × ১০০
= (১/৬) × ৩ × ১০০
= (৩/৬) × ১০০
= ৫০%

প্রশ্ন: ১৬ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোনো সরল অনুপাতের পূর্ব রাশির বর্গমূলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশির বর্গমূলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে প্রদত্ত অনুপাতের দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়।

∴ ১৬ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = √১৬ : √৯ = ৪ : ৩

প্রশ্ন: দুইটি কলমের মূল্যের অনুপাত ৩:৪। দ্বিতীয় কলমটির মূল্য ১২৮ টাকা হলে, প্রথম কলমটির মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দ্বিতীয় কলমের মূল্য = ১২৮ টাকা।

এখন,
প্রথম কলমের মূল্য = দ্বিতীয় কলমের মূল্যের ৩/৪ গুণ।

∴ প্রথম কলমের মূল্য = (১২৮ এর ৩/৪) টাকা 
= ৯৬ টাকা।

∴ প্রথম কলমের মূল্য = ৯৬ টাকা।

প্রশ্ন: ৪ জন পুরুষ বা ৬ জন স্ত্রীলোক একটি কাজ ২৪ দিনে শেষ করতে পারলে ৮ জন পুরুষ ও ১২ জন স্ত্রীলোক একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
৬ জন স্ত্রীলোক = ৪ জন পুরুষ
১ জন স্ত্রীলোক = ৪/৬ জন পুরুষ = ২/৩ জন পুরুষ
১২ জন স্ত্রীলোক = (২ × ১২)/৩ জন পুরুষ
= ৮ জন পুরুষ

৮ জন পুরুষ ও ১২ জন স্ত্রীলোক = (৮ + ৮) জন পুরুষ
= ১৬ জন পুরুষ

৪ জন পুরুষ কাজটি করে ২৪ দিনে
১ জন পুরুষ কাজটি করে ২৪ × ৪ দিনে
১৬ জন পুরুষ কাজটি করে (২৪ × ৪)/১৬ দিনে
= ৯৬/১৬ দিনে
= ৬ দিনে

১০ টি কলার ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য ১০ টাকা
৮ টি কলার বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ১ টি কলার বিক্রয়মূল্য ২৫/২ টাকা
লাভ (২৫/২ - ১০) = ৫/২ টাকা
১০ টাকায় লাভ হয় ৫/২ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৫ × ১০০)/(১০ × ২) = ২৫ টাকা।

প্রশ্ন: একটি জলাধারের তিন চতুর্থাংশ পানি দ্বারা পূর্ণ এবং এতে আরও ২৫ লিটার পানি ঢাললে জলাধারের ৮৫% পূর্ণ হয়। জলাধারটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
৩/৪ অংশ = (৩/৪) × ১০০% = ৭৫%
২৫ লিটার পানি ঢাললে জলাধারটির ৮৫% পূর্ণ হয়।
∴ ৮৫% - ৭৫% = ২৫
বা, ১০% = ২৫
বা, ১% = ২৫/১০
বা, ১০০% = (২৫/১০) × ১০০% = ২৫০ লিটার

অতএব, জলাধারটির ধারণক্ষমতা ২৫০ লিটার

ধরি,
কাজে উপস্থিত ছিলেন ক দিন
কাজে অনুপস্থিত ছিলেন (৩০ - ক) দিন। [∵ সেপ্টেম্বর = ৩০ দিন]
প্রশ্নমতে,
২ক - ১/২(৩০ - ক) = ৪০
বা, ৪ক - ৩০ + ক = ৮০
বা, ৫ক = ১১০
∴ ক = ২২

2, 7, 21, 11 এর ল.সা.গু. = 462
462 ÷ 2 = 231 ∴ 1/2 = 231 / 2×231 = 231/462
462 ÷ 7 = 66 ∴ 2/7 = 2 × 66 / 7×66 = 132/462
462 ÷ 21 = 22 ∴ 5/21 = 5×22 / 21×22 = 110/462
462 ÷ 11 = 42 ∴ 3/11 = 3×42 / 11×42 = 126/462

০.৪৭˙
= (৪৭-৪)/৯০
=৪৩/৯০

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ২/৯। একটি ভগ্নাংশ ৪/৩ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২/৯
একটি ভগ্নাংশ = ৪/৩

∴ অপর ভগ্নাংশ = (২/৯) ÷ (৪/৩)
= (২/৯) × (৩/৪)
= ৬/৩৬
= ১/৬

১০০ টাকার ১২ মাসের মুনাফা ৮ টাকা
∴ ২৪০০ টাকার ৯ মাসের মুনাফা = (৮×২৪০০×৯)/(১০০×১২)
= ১৪৪ টাকা

ধরি,
পিতা, পূত্র এবং মাতার বয়স যথাক্রমে ক, খ এবং গ বছর।
তাহলে প্রথম শর্তানুযায়ী,
ক + খ = ৬০
ক = ৬০ - খ
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,
গ = খ + ২০
সুতরাং, ক ও গ, তথা পিতা ও মাতার বয়সের গড়,
= (৬০ - খ + খ + ২০)/২
= ৮০/২
= ৪০

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ১৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। চেয়ারটি আরও ২১০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে ২৪% লাভ হতো। চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
চেয়ারটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
১৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১৮) টাকা = ৮২ টাকা

আবার,
২৪% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৪) টাকা = ১২৪ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য বেশি হয় = (১২৪ - ৮২) টাকা = ৪২ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৪২ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৪২ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ২১০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২১০০)/৪২ টাকা
= ৫০০০ টাকা

∴ ফ্রিজটির ক্রয়মূল্য = ৫০০০ টাকা।

২০% লাভে, ১০০ টাকার জিনিসের বিক্রয়মূল্য (১০০+২০) = ১২০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ × ১০০০/১০০
= ১২০০ টাকা।
আবার, ১০% ক্ষতিতে,
১০০ টাকার জিনিসের বিক্রয়মূল্য = (১০০-১০) = ৯০ টাকা।
সুতরাং ১ টাকার জিনিসের বিক্রয়মূল্য = ৯০/১০০
সুতরাং ১২০০ টাকার জিনিসের বিক্রয়মূল্য = ৯০×১২০০/১০০
= ১০৮০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ২০০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ পার হতে ৩০ সেকেন্ড সময় নেয়। ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৭২ কি.মি হলে, ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ট্রেনের গতিবেগ = ৭২ কি.মি./ঘণ্টা
= ৭২ × ১০০০/৩৬০০
= ২০ মি./সে.

ট্রেন দ্বারা মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = বেগ × সময়
= ২০ × ৩০
= ৬০০ মিটার

ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব) - (ব্রিজের দৈর্ঘ্য)
= ৬০০ - ২০০
= ৪০০ মিটার

Back Solving Method/Option Test:
18+9 = 27 ≠ 30
10+3 = 13 ≠ 30
63+3= 66 ≠ 30
অপশন গুলোর কোনটিই প্রশ্নের দ্বিতীয় শর্ত মানছে না। তাই সঠিক উত্তর কোনটিই নয়।

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর ও লবের অনুপাত ৭ : ৪। হর থেকে ১০ বাদ দিলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ৭/৫ গুণ। ভগ্নাংশটির লব কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের হর = ৭ক
ভগ্নাংশের লব = ৪ক
∴ ভগ্নাংশটি = ৪ক/৭ক

প্রশ্নমতে,
৪ক/(৭ক - ১০) = (৪ক/৭ক) × (৭/৫)
⇒ ৪ক/(৭ক - ১০) = ৪/৫
⇒ ৪(৭ক - ১০) = ২০ক
⇒ ২৮ক - ৪০ = ২০ক
⇒ ২৮ক - ২০ক = ৪০
⇒ ৮ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/৮
⇒ ক = ৫

∴ ভগ্নাংশটির লব = ৪ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ৪০% ছাত্র। ছাত্রদের ৩০% এবং ছাত্রীদের ২০% ডিবেটিং ক্লাবে যােগ দিলে মােট ছাত্রছাত্রীর কত শতাংশ ডিবেটিং ক্লাবে যােগ দিল?

সমাধান:
ধরি, মোট ছাত্র-ছাত্রী = ১০০ জন
৪০% ছাত্র হলে, ছাত্রী = ৬০%

ছাত্র যোগ দেয় = ৪০ × ৩০% = ৪০ × (৩০/১০০) = ১২ জন
ছাত্রী অংশ নেয় = ৬০ × ২০% = ৬০ × (২০/১০০) =  ১২ জন

∴ ডিবেটিং ক্লাবে মোট  ছাত্র-ছাত্রী যোগ দেয় = ১২ + ১২ = ২৪%

আসল ১০০ টাকা হলে ৮ বছরে সুদাসল (১০০×৩) = ৩০০ টাকা।
সুতরাং সুদ (৩০০-১০০) =২০০ টাকা।
∴ সুদের হার = (মুনাফা × ১০০)/(আসল × সময়)
= (২০০ × ১০০)/(১০০ × ৮)
= ২৫%

লাভের হার, r = (I × ১০০)/Pn %
= (৬০ × ১০০)/(১০০০ × ১/২) %
= ১২%

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল ৬০ হলে সংখ্যা তিনটির যোগফল কত?

সমাধান: 
এখানে, ৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৩ × ৪ × ৫
∴ সংখ্যা তিনটি যোগফল = ৩ + ৪ + ৫ = ১২ 

৭ জনের মোট ওজন = ৬৫ × ৭
= ৪৫৫ কেজি
৫০ কেজির একজন চলে গেলে ৬ জনের মোট ওজন (৪৫৫ - ৫০) কেজি = ৪০৫ কেজি
আবার,
৮৫ কেজির একজন দলে যোগ দিলে ৭ জনের মোট ওজন = ৪০৫ + ৮৫ = ৪৯০ কেজি
∴ ৭ জনের গড় ওজন = ৪৯০/৭
= ৭০ কেজি

প্রশ্ন: একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা ৭০ হাজার। ঐ গ্রামের জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে ৪০ জন হলে, ২ বছর পর ঐ গ্রামের জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা, P = ৭০,০০০ জন
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার, r = ৪০/১০০০ = ১/২৫
সময়, n = ২ বছর

তাহলে, ২ বছর পর ঐ গ্রামের মোট জনসংখ্যা হবে, C = ৭০০০০ × (১ + ১/২৫)^২
= ৭০০০০ × (২৬/২৫)^২
= ৭০০০০ × ২৬/২৫ × ২৬/২৫ 
= ৭৫৭১২ জন

হাসান ১ ঘন্টায় যায় ৩ মাইল। এবং আগে রওনা দেওয়ায় বাকি থাকে = (৪৫ - ৩) = ৪২ মাইল
উভয়ে একত্রে ১ ঘন্টায় অতিক্রম করে (৩ + ৪) = ৭ মাইল
উভয়ে একত্রে ৪২ মাইল অতিক্রম করে ৪২/৭ = ৬ ঘন্টায়
∴ ৬ ঘন্টায় শাহীনের অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৬ × ৪ = ২৪ মাইল 
অর্থাৎ, শাহীন ২৪ মাইল হাটার পরে হাসানের সাথে দেখা হবে। 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং গ.সা.গু ৪। একটি সংখ্যা ১৬ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং গ.সা.গু ৪

∴ অপর সংখ্যা = (গ.সা.গু × ল.সা.গু)/একটি সংখ্যা 
= (৪৮ × ৪)/১৬
= ৪ × ৩
= ১২ 

প্রশ্ন: ১ মিটার = কত ইঞ্চি (প্রায়)?

সমাধান:
আমরা জানি,
• ১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়)।
• ১ গজ = ০.৯১৪৪ মি. (প্রায়)।
• ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)।
• ১ কি. মি. = ০.৬২ মাইল (প্রায়)।
• ১ মাইল = ১.৬১ কি. মি. (প্রায়)। 

প্রশ্ন: ১৫ জন পুরুষ একটি কাজ ১২ দিনে সম্পন্ন করতে পারে। কাজটি ৯ দিনে সম্পন্ন করতে হলে কতজন অতিরিক্ত পুরুষ নিয়োগ করতে হবে?

সমাধান:
১২ দিনে কাজটি শেষ করে ১৫ জন পুরুষ
∴ ১ দিনে কাজটি শেষ করে (১৫ × ১২) জন পুরুষ
∴ ৯ দিনে কাজটি শেষ করে (১৫ × ১২)/৯ জন পুরুষ
= ২০ জন।
অতএব, অতিরিক্ত পুরুষের প্রয়োজন হবে = (২০ - ১৫) জন
= ৫ জন।