পাটিগণিত

এখানে,
লবগুলো (৩, ৪ ও ৫) এর গ.সা.গু. = ১ এবং
হরগুলো (৪, ৫ ও ৬) এর ল.সা.গু. = ৬০
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু./ হরগুলোর ল.সা.গু.
= ১/৬০

প্রশ্ন: ১০% সরল মুনাফা হারে কত সময়ে ২০০০ টাকার মুনাফা ৪০০ টাকা হবে? 

সমাধান: 
এখানে, 
মুনাফার হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০ 
সময়, n = ? 
আসল, P = ২০০০ টাকা 
মুনাফা, I = ৪০০ টাকা 

আমরা জানি, 
I = Pnr 
∴ n = I/Pr 
= ৪০০/{২০০০ × (১/১০)}
= ৪০০/(২০০০/১০)
= ৪০০/২০০ 
= ২ বছর ।

ট্রেনটির মোট সরণ = ( ১ + ১/২) = ৩/২ কি.মি.
বেগ = সরণ/সময়
বেগ = ( ৩/২ ✕ ৬০/২ ) = ৪৫ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৮০০ টাকা ৪ বছরে সুদ-আসলে ৯৬০ টাকা হলে, ৫০০ টাকার ৩ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = সুদাসল - আসল
= (৯৬০ - ৮০০) টাকা
= ১৬০ টাকা

এখান,
৮০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ১৬০ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ১৬০/(৮০০× ৪) টাকা
৫০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (১৬০ × ৫০০ × ৩)/(৮০০ × ৪) টাকা
= ৭৫ টাকা

∴ নির্ণেয় সুদ ৭৫ টাকা।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম। 
১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু = ৭২ 

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭২ - ২
 = ৭০ ।

প্রশ্ন: জহির গড়ে প্রতি ঘন্টায় 4 কিমি গতিতে একটি পথ অতিক্রম করতে t ঘন্টা সময় নেয়। ফারুক একই পথ t/2 ঘন্টায় শেষ করে। তাহলে ফারুকের গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
এখানে,
জহির গড়ে ঘণ্টা প্রতি 4 কিমি গতিতে একটি ট্রিপ শেষ করতে t ঘণ্টা সময় নেয়।
∴ জহিরের দূরত্ব = 4 × t = 4t কিমি

ফারুক একই পথ অতিক্রম করতে সময় নেয় = t/2 ঘন্টা

∴ ফারুকের গড় গতি = দূরত্ব/সময়
= 4t ÷ (t/2) = 4t × 2/t = 8 কিমি/ঘন্টা

∴ ফারুকের গড় গতি = 8 কিমি/ঘন্টা

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের গতি ঘণ্টায় ৯০ কি.মি.। ট্রেনটি ৪০ মিনিটে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সময় = ৪০ মিনিট
= ৪০/৬০ ঘণ্টা
= ২/৩ ঘণ্টা

আমরা জানি,
দূরত্ব = বেগ × সময়
∴ দূরত্ব = ৯০ × (২/৩) = ৬০ কি.মি.

৩৩(১/৩)%
= (১০০/৩)%
= ১০০/৩ × ১/১০০
= ১/৩।

ধরি, আসল, p = ১০০ টাকা
প্রশ্নে প্রদত্ত শর্তানুসারে তাই সুদও হতে হবে I = ১০০ টাকা
বছর, n = ?

আমরা জানি, I = pnr/১০০
বা, n = I×১০০/pr
= ১০০×১০০/১০০×১০
= ১০ বছর

সরল করুন: ৮ + [{৫৫ ÷ ১১ + ৩} × {(১১ - ৬) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩

সমাধান:
৮ + [{৫৫ ÷ ১১ + ৩} × {(১১ - ৬) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৮ + [{৫ + ৩} × {৫ × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৮ + [৮ × {১০ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৮ + [৮ × ৫ - ১] ÷ ১৩
= ৮ + [৪০ - ১] ÷ ১৩
= ৮ + ৩৯ ÷ ১৩
= ৮ + ৩
= ১১

প্রশ্ন: কোনো লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮, ও ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. থেকে ৩ কম হবে।
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩
∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ = ৭২

∴ সংখ্যাটি = ৭২ - ৩ = ৬৯

প্রশ্ন: ৫ এর তিনটি ক্রমিক গুণিতকের যোগফল যদি ১০৫ হয় তাহলে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = ৫ক
২য় গুণিতকটি = ৫(ক + ১)
৩য় গুণিতকটি = ৫(ক + ২)

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৫(ক + ১) + ৫(ক + ২) = ১০৫
⇒ ৫ক + ৫ক + ৫ + ৫ক + ১০ = ১০৫
⇒ ১৫ক + ১৫ = ১০৫
⇒ ১৫ক = ১০৫ - ১৫
⇒ ১৫ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/১৫
⇒ ক = ৬

∴ সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: ৫০ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৪০ মিটার প্রস্থবিশিষ্ট একটি মাঠের ঠিক মাঝে আড়াআড়িভাবে ১.৫ মিটার প্রশস্ত দুইটি রাস্তা আছে । রাস্তা দুইটির মোট ক্ষেত্রফল কত ?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = ৫০ × ১.৫ বর্গমিটার
= ৭৫ বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৪০ - ১.৫) × ১.৫ বর্গমিটার
= ৩৮.৫ × ১.৫ বর্গমিটার
= ৫৭.৭৫ বর্গমিটার

অতএব, রাস্তাদ্বয়ের ক্ষেত্রফল
= (৭৫ + ৫৭.৭৫) বর্গমিটার
= ১৩২.৭৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তাদ্বয়ের মোট ক্ষেত্রফল ১৩২.৭৫ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৬০% ছাত্র ইংরেজীতে কৃতকার্য হয়েছে। ইংরেজীতে অকৃতকার্যের সংখ্যা মোট ৯০ জন হলে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ইংরেজীতে কৃতকার্য হয়েছে = ৬০% 
∴ ইংরেজীতে অকৃতকার্য হয়েছে = (১০০ - ৬০)% 
= ৪০% 

এখন, 
৪০ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০ জন 
∴ ১ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০/৪০ জন 
∴ ৯০ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৯০)/৪০ জন 
= ২২৫ জন 

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ২২৫ জন।

প্রশ্ন: একটি লাঠি ২৪ ইঞ্চি লম্বা, এটি দুটি অংশে ভাগ করা হয়েছে যাতে ছোট অংশটি বড় অংশের ১/৩ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট অংশটি = ক ইঞ্চি
তাহলে, বড় অংশটি = ৩ক  ইঞ্চি

শর্তমতে,
ক + ৩ক = ২৪ ইঞ্চি
⇒ ৪ক = ২৪ ইঞ্চি
⇒ ক  = ২৪/৪ ইঞ্চি
∴ ক = ৬ ইঞ্চি

অতএব, ছোট অংশটি ৬ ইঞ্চি লম্বা।

আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.
∴ ৬ ইঞ্চি = ৬ × ২.৫৪ = ১৫.২৪ সে.মি.

অতএব, ছোট অংশটি ১৫.২৪ সে.মি. লম্বা।

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান: 
৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৪৭
৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৩১

∴ সমষ্টি = ৪৭ + ৩১ 
= ৭৮

∴ ৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি ৭৮

প্রশ্ন: ৬০ থেকে বড় এবং ৭০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
৬০ থেকে বড় এবং ৭০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৬১ ও ৬৭ 
∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ৬১ + ৬৭ 
= ১২৮। 

২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা।
এখন,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ X ৫৬০)/৮০ টাকা
= ৭০০ টাকা।

a = 3,
b = 1 হলে
a + b,
a² + b²,
ab + 1 জোড় সংখ্যা
এবং a²b² বিজোড় সংখ্যা 

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ১৫, ২০ ও ২৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১২ ও ১৭ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
১৫ - ৭ = ৮
২০ - ১২ = ৮
২৫ - ১৭ = ৮
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৮ কম।

১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু বের করি,
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫
এখন, ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ৩০০ - ৮ = ২৯২

প্রশ্ন: ১৫, ২০ এবং ৩০ এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ৪ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫ 
তিনটি সংখ্যার মধ্যে শুধু ৫-ই একটি মাত্র সাধারণ গুণনীয়ক 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫ 

৪০০০০ পিনের ওজন ৮৪ কেজি বা ৮৪০০০ গ্রাম
∴ ১ টি পিনের ওজন = ৮৪০০০/৪০০০০ = ২.১ গ্রাম = ০.০০২১ কিলো গ্রাম 

প্রশ্ন: ৮ টাকায় ১০ টি কলা বিক্রয় করলে ২০% ক্ষতি হয়। প্রতি ডজন কলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১০ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৮ টাকা
∴ ১ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৮/১০ টাকা
∴ ১২ টি কলার বিক্রয়মূল্য = (৮×১২)/১০ টাকা
= ৪৮/৫ টাকা

২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২০) টাকা
= ৮০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৮/৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪৮)/(৮০ × ৫) টাকা
= ১২ টাকা

∴ প্রতি ডজন কলার ক্রয়মূল্য = ১২ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ২৪০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬

ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক
∴ তাদের ল.সা.গু. = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/৩০
∴ ক = ৮

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৬ × ৮ = ৪৮

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
- মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়। p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তা অমূলদ সংখ্যা। সাধারণত পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ হয়।

ক) √১৬ = ৪; এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই মূলদ।

খ) √(২৫/৯) = ৫/৩; এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই মূলদ।

গ) √১২ = √(৪ × ৩) = ২√৩; যেহেতু ৩ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, √১২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) ০.৭৫ = ৭৫/১০০ = ৩/৪; এটি একটি সসীম দশমিক সংখ্যা এবং একে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

লব ক হলে হর ক+২,
সুতরাং, ভগ্নাংশটি ক/(ক+২)
প্রশ্নমতে, {(ক-৩)/(ক+২-৩)} + ১/৪ = ১
বা, (ক-৩)/(ক-১) = ১ - (১/৪) = ৩/৪
বা, ৪ক - ১২ = ৩ক - ৩
বা, ক = ৯
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ ৯/(৯+২) = ৯/১১

এখানে, ³√(8)/2 = 2/2 = 1 যা মূলদ সংখ্যা।

৩ বছরের সুদ = (২৪২০০ - ২০০০০) = ৪২০০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = (৪২০০ ÷ ৩) = ১৪০০ টাকা
২০০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ১৪০০ টাকা
∴ ১ 〃১ 〃〃 ১৪০০/২০০০০ টাকা
∴ ১০০ 〃১ 〃〃 (১৪০০×১০০)/২০০০০ টাকা
= ৭ টাকা

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা একটি রেফ্রিজারেটরের ধার্য মূল্য তার ক্রয়মূল্যের থেকে ৩০% বেশি নির্ধারণ করেন। যদি তিনি ১০% ছাড় দেন এবং ৮৫০ টাকা লাভ করেন, তাহলে রেফ্রিজারেটরের ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে ধার্য মূল্য = ১০০ + ৩০% = ১৩০ টাকা 

আবার, 
১০% ছাড় দেওয়ার পর বিক্রয়মূল্য = ১৩০ -  ১৩০ এর ১০%
= ১৩০ - ১৩ = ১১৭ টাকা  

∴ টাকা লাভ = ১১৭ - ১০০ = ১৭ টাকা

যখন ১৭ টাকা লাভ হয় তখন ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা  প্রশ্নে লাভ
∴ যখন ১ টাকা লাভ হয় তখন ক্রয়মূল্য = ১০০/১৭ টাকা
∴ যখন ৮৫০ টাকা লাভ হয় তখন ক্রয়মূল্য = (১০০/১৭) × ৮৫০ = ৫০০০ টাকা

সুতরাং, রেফ্রিজারেটরের ক্রয়মূল্য ৫০০০ টাকা।