পাটিগণিত

প্রশ্ন: ক, খ ও গ একজাতীয় রাশি। ক : খ = ৩ : ৪, খ : গ = ৬ : ৫ হলে ক : খ : গ = কত?

সমাধান:
​এখানে খ সাধারণ পদ
​খ এর মান ৪ ও ৬ এর ল.সা.গু = ১২

প্রথম অনুপাত,
​ক : খ = ৩ : ৪
= (৩ × ৩) : (৪ × ৩)
= ৯ : ১২

দ্বিতীয় অনুপাত,
​খ : গ = ৬ : ৫
= (৬ × ২) : (৫ × ২)
= ১২ : ১০

∴ ক : খ : গ = ৯ : ১২ : ১০

প্রশ্ন: ৭৫৬ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৭৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^৩ × ৭^১

এখানে,
২ এর সূচক ২, ৩ এর সূচক ৩ এবং ৭ এর সূচক হলো ১

এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ৪ × ২
= ২৪

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ২৪।

১৩% বৃদ্ধিতে লোকসংখ্যা,
বর্তমানে ১১৩ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০ জন
∴ বর্তমানে ২০৩৪ জন হলে পূর্বে ছিল (১০০ X ২০৩৪)/১১৩ জন
= ১৮০০ জন।

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি ৯০০ মিটার দীর্ঘ রাস্তা ৬ মিনিটে অতিক্রম করে। তার গতি কত কিমি/ঘণ্টা?

সমাধান:
দূরত্ব = ৯০০ মিটার
সময় = ৬ মিনিট
এখন গতি = দূরত্ব ÷ সময়
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
⇒ ৬ মিনিট = ৬ × ৬০ = ৩৬০ সেকেন্ড
তাহলে,
গতি = ৯০০ ÷ ৩৬০ = ২.৫ মিটার/সেকেন্ড
এখন ১ মিটার/সেকেন্ড = ৩.৬ কিমি/ঘণ্টা
তাহলে,
গতি = ২.৫ × ৩.৬ = ৯ কিমি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

(ক) ৩৮১ ⇒ ৩ + ৮ + ১ = ১২ (৩ দ্বারা বিভাজ্য)
(খ) ৬৮৪ ⇒ ৬ + ৮ + ৪ = ১৮ (৩ দ্বারা বিভাজ্য)
(গ) ২৯৩ ⇒ ২ + ৯ + ৩ = ১৪ (৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়)
(ঘ) ১২৬ ⇒ ১ + ২ + ৬ = ৯ (৩ দ্বারা বিভাজ্য)

∴ ২৯৩ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

সঠিক উত্তর: (গ) ২৯৩

এখানে,
সুদ, I = ৮০
সুদের হার, r = ৫/১০০
আসল, p = ৪০০ টাকা
সময়, n = ?
আমরা জানি, I = pnr
বা, n = I/pr
= ৮০/(৪০০ × ৫/১০০)
= ৮০/২০
= ৪ বছর

প্রশ্ন: একটি পণ্যের মূল্য ২০% কমে যাওয়ায় ৮,০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ৪ কুইন্টাল পণ্য বেশি পাওয়া যায়। ১৫ কেজি পণ্যের বর্তমান মূল্য কত?

সমাধান:
১০০ টাকায় কমে = ২০ টাকা
∴ ১ টাকায় কমে = ২০/১০০ টাকা
∴ ৮,০০০ টাকায় কমে = (২০ × ৮,০০০)/১০০ টাকা
= ১,৬০০ টাকা

আমরা জানি ১ কুইন্টাল = ১০০ কেজি
∴ ৪ কুইন্টাল = ৪০০ কেজি

৪০০ কেজি পণ্যের দাম = ১,৬০০ টাকা
∴ ১ কেজি পণ্যের দাম = ১,৬০০/৪০০ টাকা = ৪ টাকা
∴ ১৫ কেজি পণ্যের দাম = (১,৬০০ × ১৫)/৪০০ টাকা 
= ৬০ টাকা

২ঃ৫ এর দ্বিগুনানুপাত = ৪ঃ২৫
অনুপাতটির উত্তর পদ = ২৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৭ এবং তাদের ল. সা. গু ১৬৮ হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৭
ল. সা. গু ১৬৮

মনে করি,
একটি সংখ্যা ৪ক
অপর সংখ্যাটি ৭ক

সংখ্যা দুটির গ. সা. গু ক
সংখ্যা দুটির ল. সা. গু ২৮ক

প্রশ্নমতে,
২৮ক = ১৬৮
বা, ক = ১৬৮/২৮
∴ ক = ৬

∴ একটি সংখ্যা (৪ × ৬) = ২৪
অপর সংখ্যাটি (৭ × ৬) = ৪২

∴ সংখ্যা দুটি হলো ২৪, ৪২

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৩/৪ হতে বড়?

সমাধান:
৩/৪ = ০.৭৫

এখানে,
৫/৭ = ০.৭১
৭/৯ = ০.৭৮
১১/১৫ = ০.৭৩
১৩/১৮ = ০.৭২

এখানে, ৩/৪ < ৭/৯

∴ ৭/৯ ভগ্নাংশটি ৩/৪ হতে বড়।

১ম রাশি = x³ + x²y
= x²(x+y)
২য় রাশি = x²y + xy²
= xy(x+y)
∴ ল.সা.গু. = x²y(x+y)

প্রশ্ন: কোনো একটি কাজের এক-তৃতীয়াংশ করতে ১৫ জন লোকের ২০ দিন সময় লাগে। পুরো কাজটি সম্পন্ন করতে ১০ জন লোকের কতদিন সময় লাগবে? 

সমাধান:
কাজটির,
১/৩ অংশ করতে ১৫ জন লোকের সময় লাগে = ২০ দিন
∴ ১ অংশ করতে ১ জন লোকের সময় লাগে = (২০ × ১৫ × ৩) দিন 
∴ ১ অংশ করতে ৯ জন লোকের সময় লাগে = (২০ × ১৫ × ৩)/১০ দিন = ৯০ দিন  

অতএব,
কাজটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ সম্পন্ন করতে ১০ জন লোকের ৯০ দিন সময় লাগবে।

প্রশ্ন: রাহাত একটি ব্যাংকে বার্ষিক ৭% সরল সুদে ৪০,০০০ টাকা ৪ বছরের জন্য জমা রাখলে, মেয়াদ শেষে মোট কত টাকা তিনি ফেরত পাবেন?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৪০,০০০ টাকা
সুদের হার, r = ৭%
সময়, n = ৪ বছর

আমরা জানি,
I = (P × r × n)/১০০
= (৪০,০০০ × ৭ × ৪) / ১০০
= (১১,২০,০০০)/১০০
= ১১,২০০ টাকা

∴ মোট টাকা পাবেন = সুদ + আসল
= ৪০,০০০ + ১১,২০০
= ৫১,২০০ টাকা

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ১০ বৎসরে সুদে-আসলে চারগুণ হবে? 

সমাধান:
ধরি,
মূলধন = ১০০ টাকা
সময় = ১০ বছর
সুদে-আসলে চারগুণ হবে। 
∴ মোট টাকা = ৪ × ১০০ = ৪০০ টাকা
∴ মোট সুদ = ৪০০ - ১০০ = ৩০০ টাকা

আমরা জানি, 
সরল সুদ = (মূলধন × মুনাফার হার × সময়)/১০০
⇒ ৩০০ = (১০০ × মুনাফার হার × ১০)/১০০ 
⇒ ৩০০ = মুনাফার হার × ১০
⇒ মুনাফার হার = ৩০০ ১০
∴ মুনাফার হার = ৩০

সুতরাং মুনাফার হার = ৩০%

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: মূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ (p/q) হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যেখানে q শূন্য নয়। 
অমূলদ সংখ্যা: মূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ (p/q) হিসেবে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে q শূন্য নয়। 

ক) √18/√32
= √(18/32) = √(9/16) = 3/4 = 0.75
→ এটি একটি মূলদ সংখ্যা

খ) √3/√2 = √(3/2) = 1.22474487
এটি অমূলদ সংখ্যা

গ) √8/√6 = √(8/6) = √(4/3) = 1.15470054
এটি অমূলদ সংখ্যা

ঘ) 1/√8 = 0.35355339
 এটি অমূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যাকে বড় থেকে ছোট ক্রমানুসারে সাজানো হলো। প্রথম পাঁচটি সংখ্যার গড় ৩০ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৫। প্রথম ও শেষ সংখ্যার পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
মনেকরি 
সংখ্যা ছয়টি a, b, c, d, e, f যেখানে a > b > c > d > e > f

১ম শর্তমতে 
(a  + b + c + d + e)/5 = 30
a  + b + c + d + e = 150 ...................(1)

২য় শর্তমতে 
(b + c + d + e + f)/5 = 25
b + c + d + e + f = 125 ...................(2)

(1) - (2) ⇒
(a + b + c + d + e) - (b + c + d + e + f) = 150 - 125
a + b + c + d + e -  b - c - d -  e  -  f = 25
a - f = 25 

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
সুতরাং, পরিধিঃ ব্যাসার্ধ = 2πr : r = 2π : 1

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের এক-তৃতীয়াংশ যদি ১৫ হয়। সংখ্যাটির তিন-দশমাংশ কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(১/৩) × (১/৪) ×  ক = ১৫
বা, ক/১২ = ১৫
বা, ক = ১৫ × ১২
∴ ক = ১৮০

৩ক/১০ = (৩ × ১৮০)/১০ = ৫৪

প্রশ্ন: একজন দোকানদারের কাছে ৩০টি কলম আছে। তিনি কিছু কলম ৪০ টাকা লাভে এবং বাকিগুলো ১৫ টাকা ক্ষতিতে বিক্রি করলে মোট ৫৪০ টাকা লাভ হয়। কতগুলো কলম ক্ষতিতে বিক্রি করা হয়েছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রতি কলমে লাভ = ৪০ টাকা
প্রতি কলমে ক্ষতি = ১৫ টাকা
মোট লাভ = ৫৪০ টাকা

ধরি,
লাভে বিক্রি করা কলমের সংখ্যা = ক টি
ক্ষতিতে বিক্রি করা কলমের সংখ্যা = (৩০ - ক) টি

প্রশ্নমতে, 
⇒ ৪০ক - ১৫(৩০ - ক) = ৫৪০
⇒ ৪০ক - ৪৫০ + ১৫ক = ৫৪০
⇒ ৫৫ক - ৪৫০ = ৫৪০
⇒ ৫৫ক = ৫৪০ + ৪৫০
⇒ ৫৫ক = ৯৯০
⇒ ক = ৯৯০/৫৫
∴ ক = ১৮
অর্থাৎ লাভে বিক্রি করা হয়েছে = ১৮টি কলম।
∴ ক্ষতিতে বিক্রি করা হয়েছে = ৩০ - ১৮ = ১২টি

সুতরাং, ক্ষতিতে বিক্রি করা কলম = ১২টি

প্রশ্ন: কোনো আসল ২ বছরে সরল মুনাফাসহ দ্বিগুণ হয়। শতকরা মুনাফার হার কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
মূলধন = ১০০ টাকা
২ বছর পর = ২০০ টাকা
মুনাফা = ২০০ - ১০০ = ১০০ টাকা

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (মূলধন × মুনাফার হার × সময়) / ১০০
⇒ ১০০ = (১০০ × মুনাফার হার × ২)/১০০
⇒ ২ × মুনাফার হার = ১০০
⇒ মুনাফার হার = ১০০/২ = ৫০
∴ মুনাফার হার = ৫০ 

সুতরাং, মুনাফার শতকরা হার ৫০% ।

মনে করি, ছাগলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০-১০) টাকা = ৯০ টাকা।
এবং ৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০+৫) টাকা = ১০৫ টাকা।
সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি = (১০৫-৯০) = ১৫ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০×৪৫/১৫ টাকা
= ৩০০ টাকা।

প্রশ্ন: কতজন বালককে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
বালকের সংখ্যা হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু।
১২৫ = ৫ × ৫ × ৫
১৪৫ = ৫ × ২৯

এখানে সাধারণ উৎপাদক হলো ৫
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫

সুতরাং, সর্বোচ্চ ৫ জন বালককে এই ফলগুলো সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

মনে করি,
ছাগলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) টাকা বা, ৯০ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য - ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য
= (১০৫ - ৯০) টাকা বা, ১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০×৪৫০)/ ১৫ = ৩০০০ টাকা
সুতরা, ছাগলটির ক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা।

প্রশ্ন: চার ভাইয়ের গড় বয়স ১২ বছর। তাদের বাবা সহ তাদের বয়সের গড় ২০ বছর। তাদের বাবার বয়স কত? 

সমাধান: 
৪ ভাইয়ের গড় বয়স = ১২ বছর
∴ ৪ ভাইয়ের গড় বয়সের সমষ্টি = (৪ × ১২) বছর
= ৪৮ বছর 

আবার, 
বাবা সহ ৪ ভাইয়ের বয়সের গড় = ২০ বছর
∴ বাবা সহ ৪ ভাইয়ের বয়সের সমষ্টি = (৫ × ২০) বছর
= ১০০ বছর 

∴ বাবার বয়স = (১০০ - ৪৮) বছর 
= ৫২ বছর ।