পাটিগণিত

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১২ ও ৩ কিমি। নদী পথে ৪৫ কিমি দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলের বেগ = (নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ)
= (১২ + ৩) কিমি/ঘণ্টা 
= ১৫ কিমি/ঘণ্টা

স্রোতের প্রতিকূলের বেগ = (নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ) 
= (১২ - ৩) কিমি/ঘণ্টা 
= ৯ কিমি/ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ৪৫/১৫ ঘণ্টা 
= ৩ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে সময় লাগে = ৪৫/৯ ঘণ্টা
= ৫ ঘণ্টা

∴ মোট সময় লাগে = (৩ + ৫) ঘণ্টা = ৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ঘণ্টার কাঁটা প্রতি মিনিটে ০.৫ ডিগ্রি অতিক্রম করে। ১ ঘণ্টায় তা কত ডিগ্রি অতিক্রম করবে? 

সমাধান: 
ঘণ্টার কাঁটা ১ মিনিটে অতিক্রম করে = ০.৫ ডিগ্রি 
∴ ঘণ্টার কাঁটা ৬০ মিনিটে অতিক্রম করে = ০.৫ × ৬০ ডিগ্রি 
= ৩০ ডিগ্রি।

একজন বোলার ৬ উইকেট পান = ৬×২২ = ১৩২ রানের বিনিময়ে
পরবর্তী খেলায় ৪ উইকেট পান = ৪×১৪ = ৫৬ রানের বিনিময়ে।
সুতরাং, তিনি গড়ে উইকেট প্রতি = (১৩২+৫৬)/১০ = ১৮.৮ রান দিয়েছে।

২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০-২০ = ৮০ টাকা।
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০+১০ = ১১০ টাকা।
বিক্রয় মূল্যের ব্যবধান = ১১০-৮০ = ৩০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০×৬০)/৩০ টাকা
= ২০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৯০ জন ছাত্রের মধ্যে ২৭ জন ফেল করলে পাসের হার কত? 

সমাধান: 
৯০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = ২৭ জন 
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = ২৭/৯০ জন 
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = (২৭ × ১০০)/৯০ জন 
= ৩০ জন 

∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে পাস করে = (১০০ - ৩০)%
= ৭০%। 

প্রশ্ন: কতজন শিশুর মধ্যে কোন ফল না ভেঙে ১১৫ টি কলা ও ১৫০ টি কমলা ভাগ করে দেয়া যায়? 

সমাধান:
শিশুর সংখ্যা হবে ১১৫ এবং ১৩৫ এর গ.সা.গু 
১১৫ ও ১৩৫ এর গ.সা.গু = ৫

শিশুর সংখ্যা ৫ জন

মনে করি, আরিফ, রায়হান ও তমাল যথাক্রমে ৫ক, ৪ক এবং ৭ক টি চকলেট পায়।
প্রশ্নমতে, ৭ক = ৪২
বা, ক = ৬
সুতরাং, আরিফ পাবে = ৫ × ৬ = ৩০ টি চকলেট 

প্রশ্ন: ৪ : ৭, ৫ : ৯, ৩ : ৮ অনুপাত গুলোর মিশ্র অনুপাত কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অনুপাতগুলো = ৪ : ৭, ৫ : ৯ এবং ৩ : ৮

অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = (৪ × ৫ × ৩)  = ৬০
অনুপাত তিনটির উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = (৭ × ৯ × ৮) = ৫০৪

∴ নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = ৬০ : ৫০৪
= ৫ : ৪২

প্রশ্ন: ৯ টাকার ৭% থেকে ১১ টাকার ৬% কত বেশি?

সমাধান:
৯ টাকার ৭% = ৯ × (৭/১০০) = ৬৩/১০০ = ০.৬৩ টাকা

এবং 
১১ টাকার ৬% = ১১ × (৬/১০০) = ৬৬/১০০ = ০.৬৬ টাকা

∴ পার্থক্য = ০.৬৬ - ০.৬৩ = ০.০৩ টাকা

∴ ১১ টাকার ৬% , ৯ টাকার ৭% অপেক্ষা ০.০৩ টাকা বেশি।

প্রশ্ন: একটি পাইপ 6 ঘন্টায় একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ ট্যাংকটি 8 ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি 2 ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো ট্যাংকটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,
6 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = 1 অংশ
∴ 1 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = 1/6 অংশ
∴ 2 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = 2/6 অংশ = 1/3 অংশ

∴ 2 ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = (1 - 1/3) = 2/3 অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
8 ঘণ্টায় খালি হয় = 1 অংশ
∴ 1 ঘণ্টায় খালি হয় = 1/8 অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (1/6) - (1/8)
= (4 - 3)/24 = 1/24

1/24 অংশ পূর্ণ হয় = 1 ঘণ্টায়

∴ 2/3 অংশ পূর্ণ হয় = (2 × 24)/3 = 16 ঘণ্টায়

∴ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (2 + 16) ঘণ্টা = 18 ঘণ্টা 

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৭ × ৩১৫ = ৩ × ৪৫ = ১৩৫
আবার, ২/৫ × ৩১৫ = ২ × ৬৩ = ১২৬
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫ = ১৪০
এবং ১/৩ × ৩১৫ = ১ × ১০৫ = ১০৫
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ৪/৯।
আবার ভগ্নাংশগুলোর হর দ্বারা লবকে ভাগ করেও ফলাফল পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার শতকরা ৬৫ ভাগ ঐ সংখ্যার চার পঞ্চমাংশ অপেক্ষা ২১ কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(৪ক/৫) - ক এর ৬৫% = ২১
বা, (৪ক/৫) - (৬৫ক/১০০) = ২১
বা, (৮০ক - ৬৫ক)/১০০ = ২১
বা, ৮০ক - ৬৫ক = ২১০০
বা, ১৫ক = ২১০০
বা, ক = ২১০০/১৫

∴ ক = ১৪০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ১০ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৭ক ও ১০ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৭ × ১০)ক = ৭০ক

প্রশ্নমতে,
৭০ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৭০
⇒ ক = ৩

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১০ × ক = ১০ × ৩ = ৩০ 

আমরা জানি,
I= prn
n = I / pr
যেখানে,
মুনাফা, I = ৬০০০ টাকা
মূলধন p, = ১০০০০ টাকা
মুনাফার হার r = ১২%
সময় n = ?
∴ সময় = মুনাফা / (আসল×মুনাফার হার)
= ৬০০০ / {১০০০০×(১২/১০০)} বছর
= (৬০০০×১০০) / (১০০০০×১২) বছর
= ৫ বছর
∴ সময় লাগবে ৫ বছর

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?
(৩/২), (৭/৩), (৫/৪), (৭/২)

সমাধান:
(৩/২) = ১.৫

(৭/৩) = ২.৩৩.........

(৫/৪) = ১.২৫

(৭/২) = ৩.৫

যেহেতু ১.২৫< ১.৫ < ২.৩৩...... < ৩.৫
∴ (৫/৪) < (৩/২) < (৭/৩) < (৭/২)

∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশ = (৭/২)

প্রশ্ন: (৩ + √৫) হলো-

সমাধান: (৩ + √৫) হলো অমূলদ সংখ্যা।
কারণ একটি মূলদ (৩) ও একটি অমূলদ (√৫) সংখ্যার যোগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৬০০ জন ছাত্র-ছাত্রী আছে যার মধ্যে ৪৫% ছাত্র, সেই ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র-ছাত্রী = ৬০০ জন
∴ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = ৬০০ এর ৪৫%
= ৬০০ এর ৪৫/১০০
= ২৭০ জন 

∴ ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা = (৬০০ - ২৭০) জন 
= ৩৩০ জন।

প্রশ্ন: ৩/৫ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কোনটি?

সমাধান:
লব (৩ ও ৪) গুলোর ল.সা.গু = ১২
হর (৫ ও ৭) গুলোর গ.সা.গু = ১

∴ ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব গুলোর ল.সা.গু/হর গুলোর গ.সা.গু
= ১২/১
= ১২

৫ টি বিড়াল ৫ টি ইঁদুর ধরে ৫ দিনে
∴ ১ 〃 〃 ১ 〃 〃 〃 (৫×৫)/৫ 〃
∴ ৫০〃 〃 ৫০〃〃 〃 (৫×৫×৫০)/৫×৫০〃
= ৫ দিনে।

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১৩ এবং ১৯ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
১২ - ৭ = ৫
১৮ - ১৩ = ৫
২৪ - ১৯ = ৫

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. অপেক্ষা ৫ কম।

১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. = ৭২ 

∴ সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে= ৭২ - ৫ = ৬৭

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩৫ থেকে যত বেশি ৭৫ থেকে তত কম। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৩৫ = ৭৫ - ক
⇒ ক + ক = ৭৫ + ৩৫ 
⇒ ২ক = ১১০ 
⇒ ক = ১১০/২ 
⇒ ক = ৫৫ 

∴ সংখ্যাটি = ৫৫

শর্টকাট:
(৩৫ + ৭৫)/২
= ১১০/২
= ৫৫

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাকে সাহায্যকারী সংখ্যা বলা হয়?

সমাধান:
যে সংখ্যার নিজস্ব কোনো মান নেই, কিন্তু অন্য সংখ্যার মান বা স্থানীয় মান (place value) নির্ধারণে সাহায্য করে—তাকে সাহায্যকারী বা অভাবজ্ঞাপক সংখ্যা (Placeholder Digit) বলা হয়।

শূন্য (০) নিজে কোনো মান প্রকাশ করে না, কিন্তু ১০, ১০০, ১০০০ ইত্যাদি সংখ্যায় বসে সংখ্যার মান বহুগুণ বাড়িয়ে দেয়। তাই ০-কে সাহায্যকারী বা অভাবজ্ঞাপক সংখ্যা বলা হয়।

অন্যদিকে ৩, ৯ বা ১০—এগুলো প্রত্যেকটিরই নিজস্ব মান রয়েছে, তাই এগুলো সাহায্যকারী সংখ্যা নয়।

এখানে মানিকঃফয়েজ = ৮০০ঃ১২০০ = ২ঃ৩
সুতরাং ফয়েজের প্রাপ্ত লাভ = ৫০০ এর ৩/(২+৩) = ৩০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৪% হারে ১৫০০০ টাকার ২ বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, P = ১৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৪% 
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা = Prn/১০০
= (১৫০০০ × ৪ × ২)/১০০
= ১২০০ টাকা

আবার,
 চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P{১ + (r/১০০)}ⁿ - P
= ১৫০০০{১ + (৪/১০০)}^২ - ১৫০০০ 
= ১৫০০০{১ + (১/২৫)}^২ - ১৫০০০ 
= ১৫০০০ × (২৬/২৫)^২ - ১৫০০০
= ১৫০০০ × (২৬/২৫) × (২৬/২৫) - ১৫০০০
= ১৬২২৪ - ১৫০০০
= ১২২৪ টাকা

∴ পার্থক্য = ১২২৪ - ১২০০ = ২৪ টাকা

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশের সঙ্গে ৮ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির তিনগুণ থেকে ৩২ বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে,
(ক/৩) + ৮ = ৩ক - ৩২
⇒ (ক + ২৪)/৩ = ৩ক - ৩২
⇒ ক + ২৪ = ৩ × (৩ক - ৩২)
⇒ ক + ২৪ = ৯ক - ৯৬
⇒ ৯ক - ক = ২৪ + ৯৬
⇒ ৮ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৮
∴ ক = ১৫

১/১০ টাকায় লাভ হয় ১/৪০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (১ × ১০ × ১০০)/(৪০ × ১) = ২৫ টাকা

৩/৪ = ০.৭৫
৫/৯ = ০.৫৬
৭/১২ = ০.৫৮
১১/৮ = ১.৩৮
অর্থাৎ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ ৫/৯

প্রশ্ন: ৪, ৫, ১০ ও ১২ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
৪ = ২ × ২
৫ = ৫ × ১
১০ = ২ × ৫
১২ = ৩ × ২ × ২ 
এখন, 
ল.সা.গু নির্ণয়ের সময় প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা থেকে তার সর্বোচ্চ ঘাত নেয়া হয়- 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২^২ × ৩ × ৫ = ৬০ 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ : ৬। দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধানঃ
ধরি, ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলো:
৩ক, ৪ক, ৫ক, ৬ক

ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°

তাহলে সমীকরণ,
৩ক + ৪ক + ৫ক + ৬ক = ৩৬০
⇒ ১৮ক = ৩৬০
∴ ক = ৩৬০/১৮ = ২০°

দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৫ × ২০° = ১০০°

∴ দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ১০০° 

প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ২৫০ কিলোমিটার । চট্টগ্রাম হতে একটি ট্রেন সকাল ৮টায় ছেড়ে গিয়ে বিকাল ৩টায় ঢাকা পোঁছে । ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
সকাল ৮টায় ছেড়ে গিয়ে বিকাল ৩টায় পোঁছে ।
মধ্যবর্তী সময়ের পার্থক্য = ৭ ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব/ মোট ব্যয়িত সময়
= ২৫০/৭
= ৩৫.৭১ কি. মি./ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ প্রায় ৩৫.৭১ কিমি/ঘণ্টা।