পাটিগণিত

প্রশ্ন: ৮ জন শ্রমিক একটি কাজ  ১০ দিনে করতে পারে। যদি সময়ের কোন পরিবর্তন না করে কাজের পরিমাণ দ্বিগুণ হয়, তাহলে নির্দিষ্ট সময়ে কাজ শেষ করতে অতিরিক্ত কতজন শ্রমিক লাগবে?

সমাধান:
যদি কাজের পরিমাণ দ্বিগুণ করা হয় এবং সময় বৃদ্ধি করা না হয় তাহলে দিন সংখ্যা হবে = ১০ এবং কাজ সংখ্যা হবে = ২
 
তাহলে,  
১ টি কাজ ১০ দিনে করতে পারে = ৮ জন শ্রমিক
∴ ২ টি কাজ ১০ দিনে করতে পারে = ৮ × ২ = ১৬ জন 

অতএব, অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (১৬ - ৮) জন = ৮ জন 

বিকল্প:
যদি কাজের পরিমাণ দ্বিগুণ করা হয় এবং সময় বৃদ্ধি করা না হয় তাহলে শ্রমিক সংখ্যা দ্বিগুণ করতে হবে। 
অর্থাৎ মোট শ্রমিক লাগবে = (৮ × ২) জন = ১৬ জন 
∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (১৬ - ৮) জন = ৮ জন 

যে সংখ্যাগুলোকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ভিন্ন অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ২ সংখ্যাটিকে ১ এবং ২ ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাই ২ মৌলিক সংখ্যা।
মৌলিক সংখ্যার মধ্যে একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হল ২।
১ মৌলিক বা যৌগিক সংখ্যা কোনটিই নয়।

বড় বাক্স = ১ টি।
মাঝারি বাক্স = ৫ টি।
এবং ছোট বাক্স = ৫ X ৫ = ২৫ টি।
সুতরাং মোট বাক্স আছে = ১+৫+২৫ = ৩১ টি।

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে 'P' এবং 'Q' নামক দুটি তরল 4 : 1 অনুপাতে আছে। যদি মিশ্রণ থেকে 10 লিটার বের করে নেওয়া হয় এবং তার পরিবর্তে 10 লিটার 'Q' যোগ করা হয়, তাহলে অনুপাত হয় 2 : 3। প্রাথমিকভাবে 'P' এর পরিমাণ কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, মিশ্রণের প্রাথমিক পরিমাণ = 5x লিটার

P এর পরিমাণ = 4x লিটার
Q এর পরিমাণ = x লিটার

∴ 10 লিটার মিশ্রণ তুলে নেওয়ার পর,
P এর পরিমাণ = 4x - (4/5) × 10 = 4x - 8 লিটার
Q এর পরিমাণ = x - (1/5) × 10 = x - 2 লিটার

আবার,
Q তে 10 লিটার যোগ করার পর,
Q এর পরিমাণ = x - 2 + 10 = x + 8 লিটার

∴ প্রদত্ত অনুপাত,
⇒ (4x - 8)/(x + 8) = 2/3
⇒ 12x - 24 = 2x + 16
⇒ 10x = 16 + 24
⇒ x = 40/10
⇒ x = 4

∴ P এর পরিমাণ = 4 × 4 = 16 লিটার

প্রশ্ন: ৫০ টাকায় ১০ টি কলা বিক্রয় করার ৫০% ক্ষতি হয়। ৫০ টাকায় ৬ টি কলা বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বিক্রয় মূল্য = ৫০ টাকা 
এবং ক্ষতি ৫০%
∴ ক্রয়মূল্য = (৫০ + ৫০) = ১০০ টাকা 

১০ টি কলার ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য = ১০০/১০ = 10 টাকা

আবার, 
৬ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৫০ টাকা
∴ ১ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৫০/৬ = ২৫/৩ টাকা

∴ ক্ষতি = ১০ - (২৫/৩) = (৩০ - ২৫)/৩ = ৫/৩ টাকা

∴ ১০ টাকায় ক্ষতি হয় = ৫/৩ টাকা 
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৫/৩০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (৫ × ১০০)/৩০ = ৫০/৩ = ১৬.৬৭ টাকা 

সুতরাং, ক্ষতির পরিমাণ ১৬.৬৭%

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৩৩০ মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৩০ কি.মি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৩৩০ + ১২০) মিটার 
= ৪৫০ মিটার 
ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

আমরা জানি, 
১ কি.মি = ১০০০ মিটার 
∴ ৩০ কি.মি = ৩০,০০০ মিটার 
এবং 
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড 
∴ ৬০ মিনিট = (৬০ × ৬০) সেকেন্ড 
= ৩৬০০ সেকেন্ড

এখন, 
৩০,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৪৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪৫০)/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
= ৫৪ সেকেন্ডে

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে = ৫৪ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে যে কোনো মূলধন ৮ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, আসল ১০০ টাকা

৮ বছর পরে,
সুদাসল হবে ১০০ × ৩ = ৩০০ টাকা
সুদ হবে (৩০০ - ১০০) = ২০০ টাকা

১০০ টাকার ৮ বছরের সুদ হয় ২০০ টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ হয় ২০০/৮ টাকা
= ২৫ টাকা

সুমন মোট বিনিয়োগ করে = (৫০০০ × ১২) + (১০০০ × ৯) = ৬৯০০০ টাকা
জামাল মোট বিনিয়োগ করে = ৪০০০ × ১২ = ৪৮০০০ টাকা
দিলীপ মোট বিনিয়োগ করে = ৭০০০ × ৯ = ৬৩০০০ টাকা
∴ তাদের বিনিয়োগের অনুপাত = ৬৯০০০ : ৪৮০০০ : ৬৩০০০ = ২৩ : ১৬ : ২১
এখন,
সুমন পাবে = ৩৬০০ × ২৩/৬০ = ১৩৮০ টাকা
জামাল পাবে = ৩৬০০ × ১৬/৬০ = ৯৬০ টাকা
দিলীপ পাবে = ৩৬০০ × ২১/৬০ = ১২৬০ টাকা

প্রশ্ন: মাতার বয়স কন্যার বয়সের ৩ গুণ। ৮ বছর পূর্বে মাতার বয়স কন্যার বয়সের ৭ গুণ হলে, কন্যার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
কন্যার বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ মাতার বর্তমান বয়স = ৩ক

৮ বছর পূর্বে কন্যার বয়স ছিলো = (ক - ৮) বছর
৮ বছর পূর্বে মাতার বয়স ছিলো = (৩ক - ৮) বছর

প্রশ্নমতে,
৭(ক - ৮) = (৩ক - ৮)
⇒ ৭ক - ৫৬ = ৩ক - ৮
⇒ ৭ক - ৩ক = ৫৬ - ৮
⇒ ৪ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮/৪
⇒ ক = ১২

∴ কন্যার বর্তমান বয়স = ১২ বছর। 

প্রশ্ন: কোনো আসল ২ বছরে সুদে-আসলে ৬০০ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৭৫০ টাকা হয়। সুদের শতকরা হার কত?

সমাধান:
৫ বছরে সুদে-আসলে = ৭৫০ টাকা
২ বছরে সুদে-আসলে = ৬০০ টাকা
∴ ৩ বছরের সুদ = ৭৫০ - ৬০০ = ১৫০ টাকা

৩ বছরের সুদ = ১৫০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ১৫০/৩ টাকা
∴ ২ বছরের সুদ = (১৫০ × ২)/৩ টাকা
= ১০০ টাকা

এখন,
সুদ + আসল = ৬০০ টাকা
∴ আসল = ৬০০ - ১০০ = ৫০০ টাকা

আমরা জানি,
I = (P × r × n)/১০০
⇒ ১০০ = (৫০০ × r × ২)/১০০
⇒ ১০০ × ১০০ = ১০০০r
⇒ ১০০০০ = ১০০০r
⇒ r = ১০%

∴ সুদের শতকরা হার = ১০%

প্রশ্ন: কোনো আশ্রমে ৬৪০ জন লোকের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছ। ১০ দিন পর কিছু নতুন লোক আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে কত জন লোক এসেছিল?

সমাধান:
অবশিষ্ট = (২০ - ১০) দিন = ১০ দিন 

∴ ১০ দিনের খাবার আছে ৬৪০ জন সৈন্যের 
∴ ১  দিনের খাবার আছে  ১০ × ৬৪০ 
∴ ৮  দিনের খাবার আছে (১০ × ৬৪০) /৮
 = ৮০০ জন 

∴ নতুন লোক এসেছিলো = (৮০০ - ৬৪০) জন 
= ১৬০ জন

প্রশ্ন: দুইজন প্রার্থী একটি নির্বাচনে অংশগ্রহণ করে। তাদের মধ্যে একজন মোট ভোটের ৬৪% ভোট পেয়ে ৩৩৬ ভোটের ব্যবধানে বিজয়ী হলে মোট ভোটের সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
বিজয়ী প্রার্থী ভোট পান = ৬৪%
∴ পরাজিত প্রার্থী ভোট পান = (১০০ - ৬৪)% = ৩৬%
দুই প্রার্থীর ভোটের ব্যবধান = (৬৪ - ৩৬)% = ২৮%

প্রশ্নমতে,
২৮% = ৩৩৬
⇒ ১% = ৩৩৬/২৮
∴ ১০০% বা মোট ভোট = (৩৩৬ × ১০০)/২৮ = ১২০০

∴ মোট ভোটের সংখ্যা ১২০০

প্রশ্ন:  ৮ টি সংখ্যার গড় ১৩। একটি সংখ্যা বাতিল করলে গড় হয় ১২। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৮ টি সংখ্যার গড় ১৩
∴ ৮ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৮ × ১৩ = ১০৪ 

আবার, 
একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হয় = ১২
∴ বাকি ৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ১২ = ৮৪ 

∴  বাতিলকৃত সংখ্যাটি = ১০৪ - ৮৪ = ২০ 

প্রশ্ন: ৮১ : ২৫৬ এর দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়।

∴ ৮১ : ২৫৬ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = √৮১ : √২৫৬
= ৯ : ১৬

∴ ৮১ : ২৫৬ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = ৯ : ১৬

আমরা জানি,
I = pnr
বা, ২১০ = ৭৫০ × ২ × r
বা, r = ২১০/(৭৫০ × ২)
∴ r = ০.১৪

অনুপাত ও গ.সা.গু দেওয়া থাকলে,
ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু
= ৫ × ৬ × ৪
= ১২০

অপর সংখ্যাটি n হলে,
১৬ × n = ৪ × ৪৮
বা, n = (৪ × ৪৮)/১৬
= ১২

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৫ হলে তাদের বর্গের সমষ্টি ও অন্তরের অনুপাত কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৫

এখন, যদি অনুপাত a : b হয়, তাহলে বর্গের সমষ্টি : অন্তর = (a^২ + b^২) : (a^২ - b^২)
(৭^২ + ৫^২) : (৭^২ - ৫^২) ; [এখানে a = ৭, b = ৫]
⇒ (৪৯ + ২৫) : (৪৯ - ২৫)  
⇒ ৭৪ : ২৪
∴ ৩৭ : ১২ ; [২ দ্বারা ভাগ করে] 

সুতরাং, যদি সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৭ : ৫ হয়, তবে তাদের বর্গের সমষ্টি ও অন্তরের অনুপাত হবে ৩৭ : ১২।

According to question,
√0.00005746
⇒ √5746100000000
⇒ 75.8/10000
⇒ 0.00758

প্রশ্ন: শতকরা ৬ টাকা হার সরল সুদে কত বছরে ৫০০০ টাকা সুদে-মূলে ৮০০০ টাকা হয়?

সমাধান: 
এখানে, 
আসল, P = ৫০০০ টাকা
সুদ, I = (৮০০০ - ৫০০০) টাকা = ৩০০০ টাকা
সুদের হার, r = ৬%

আমরা জানি, 
I = Pnr/১০০
⇒ n = (I × ১০০)/Pr
⇒ n = (৩০০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৬)
∴ n = ১০ বছর

শৃগাল ১ মিনিটে যায় ১০০ মি.
কুকুর ১ মিনিটে  ''   ১০০০/৬ মি.
কুকুর ১ মিনিটে শৃগাল থেকে বেশি দৌড়ায় (১০০০/৬ - ১০০) মি. বা ৪০০/৬ মিটার
কুকুর শৃগালকে ধরবে ৫০০/(৪০০/৬) মিনিট পর
= ৫০০× ৬/৪০০ = ৭.৫ মিনিট পর।

প্রশ্ন: কোন কর্মচারী মূল বেতনের (১/৪০) ভাগের সমপরিমাণ বিশেষ ভাতা পান। তার বিশেষ ভাতা ৪০ টাকা হলে, মূল বেতন কত টাকা?

সমাধান:
মূল বেতন = ৪০ টাকা

বিশেষ ভাতা = (৪০ এর ১/৪০) টাকা
= ১ টাকা

বিশেষ ভাতা ১ টাকা হলে মূল বেতন ৪০ টাকা
বিশেষ ভাতা ৪০ টাকা হলে মূল বেতন (৪০ × ৪০) টাকা
= ১৬০০ টাকা

মনে করি, আরিফ, রায়হান ও তমাল যথাক্রমে ৫ক, ৪ক এবং ৭ক টি চকলেট পায়।
প্রশ্নমতে, ৭ক = ৩৫
বা, ক = ৫
সুতরাং, আরিফ পাবে = ৫ × ৫ = ২৫ টি চকলেট 

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ঘন্টায় ৪৫ মাইল বেগে ২০ মিনিট চলার পর, ঘণ্টায় ৬০ মাইল বেগে ৪০ মিনিট চলে। সম্পূর্ণ পথের জন্য গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম অংশ, ৪৫ মাইল/ঘণ্টা বেগে ২০ মিনিট চলে 
দ্বিতীয় অংশ, ৬০ মাইল/ঘণ্টা বেগে ৪০ মিনিট চলে

এখন, 
২০ মিনিট = ২০/৬০ = ১/৩ ঘণ্টা
∴ দূরত্ব = ৪৫ × (১/৩) = ১৫ মাইল
এবং 
৪০ মিনিট = ৪০/৬০ = ২/৩ ঘণ্টা
∴ দূরত্ব = ৬০ × (২/৩) = ৪০ মাইল

∴ মোট দূরত্ব = ১৫ + ৪০ = ৫৫ মাইল
এবং মোট সময় = ২০ + ৪০ = ৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গতিবেগ = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়   
= ৫৫ ÷ ১   
= ৫৫ মাইল/ঘণ্টা

∴ সম্পূর্ণ পথের গড় গতিবেগ ৫৫ মাইল প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: ৫ বছর আগে P-এর বয়স Q-এর বয়সের অর্ধেক ছিল। এখন P-এর বয়স ৪০ বছর হলে, Q-এর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
P এর বর্তমান বয়স = ৪০ বছর

ধরি,
Q এর বর্তমান বয়স = ক বছর।

৫ বছর পূর্বে,
P এর  বয়স ছিলো = (৪০ - ৫) = ৩৫ বছর 
Q এর বয়স ছিলো = (ক - ৫) বছর

প্রশ্নমতে,
৩৫ = (ক - ৫)/২
⇒ ৩৫ × ২ = ক - ৫ 
⇒ ৭০  = ক - ৫ 
⇒ ক = ৭০ + ৫ 
∴ ক = ৭৫ 

অতএব, Q এর বর্তমান বয়স = ৭৫ বছর। 

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
C = p(1+r)ⁿ
⇒ P = C / (1+r)ⁿ
এখানে,
C = ৫২০০
r = ৮% বা ০.০৮
n = ২ বছর
∴ P = ৫২০০ / (১ + ০.০৮)²
= ৪৪৫৮.১৬

অনুপাতগুলোর যোগফল = ২ + ৪ + ৫ = ১১
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাঃ ১৫৪ এর ২/১১ = ২৮
বৃহত্তম সংখ্যাঃ ১৫৪ এর ৫/১১ = ৭০
∴ বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য = ৭০ - ২৮ = ৪২

প্রশ্ন: আরাফের জন্মের সময় তার বাবার বয়স ছিল ৪২ বছর। তার ৫ বছরের ছোট ভাইয়ের জন্মের সময় মায়ের বয়স ছিল ৩৯ বছর। তাদের বাবা ও মায়ের বর্তমান বয়সের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আরাফের জন্মের সময় তার বাবার বয়স ছিল ৪২ বছর

ছোট ভাইয়ের জন্মের সময় তার মায়ের বয়স ছিল ৩৯ বছর

আরাফের ভাই তার থেকে ৫ বছরের ছোট।
অর্থাৎ, ভাইয়ের জন্মের ৫ বছর আগে আরাফ জন্মেছিল।

∴ আরাফের জন্মের সময় তার মায়ের বয়স ছিল = (৩৯ - ৫) = ৩৪ বছর

∴ তাদের বাবা-মায়ের বয়সের পার্থক্য = (৪২ - ৩৪) = ৮ বছর