পাটিগণিত

মনে করি, সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে, ক এর ৬০% - ৬০ = ৬০
বা, ক এর ৬০/১০০ = ১২০
বা, ৬০ক = ১২০০০
বা, ক = ২০০

এখানে ক্রয়মূল্য ১২০ টাকা এবং লাভ (১৪৪ - ১২০) = ২৪ টাকা
সুতরাং, ক্রয়মূল্য : লাভ = ১২০ : ২৪ = ৫ : ১

{(৯৬ - ১২) / ৩} + ১
= ২৮ + ১
= ২৯

প্রশ্ন: একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে তিন পথে গমন করে, পাঁচ ঘাটে পানি পান করে, নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং দশ জন গােয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়; তাহলে গরুর সংখ্যা কত?

সমান:
একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে ৩ পথে গমন করে,
৫ ঘাটে পানি পান করে,
৯ টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং
১০ জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়। 

তাহলে, গরুর সংখ্যা = ৩, ৫, ৯ এবং ১০ এর ল.সা.গু.
সুতরাং, গরুর সংখ্যা = ৯০

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ছোট?

সমাধান: 
৩/৭ = ০.৪২
৫/৯ = ০.৫৫
১/৩ = ০.৩৩
২/৫ = ০.৪০

∴ ৫/৯ > ৩/৭ > ২/৫ > ১/৩

 অতএব, ছোট ভগ্নাংশটি হলো ১/৩

প্রশ্ন: ৪৫০ টাকায় ১৫ টি আম ক্রয় করে ৪৫০ টাকায় ১০ টি আম বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১৫ টি আমের ক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা
১ টি আমের ক্রয়মূল্য (৪৫০/১৫) টাকা
∴ ১০ টি আমের ক্রয়মূল্য (৪৫০/১৫) × ১০ টাকা
= ৩০০ টাকা

১০ টি আমের বিক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা

∴ লাভ = (৪৫০ - ৩০০) টাকা
= ১৫০ টাকা

এখন,
৩০০ টাকায় লাভ হয় ১৫০ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১৫০/৩০০) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১৫০/৩০০) × ১০০ টাকা
= ৫০ টাকা

∴ শতকরা ৫০% লাভ হবে।

ঐ গ্রামে শিক্ষিতের হার = ১৫০০ × ১০০/২৫০০০
= ৬%

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭৬০ থেকে যত ছোট ৫৮০ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
৭৬০ - ক  = ক - ৫৮০
⇒ ক + ক = ৭৬০ + ৫৮০
⇒ ২ক = ১৩৪০
⇒ ক = ১৩৪০/২
⇒ ক = ৬৭০

∴ সংখ্যাটি ৬৭০ ।

প্রশ্ন: ৫% হার মুনাফায় ৪০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৪০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ৫/১০০ = ১/২০

আমরা জানি
সরল মুনাফা, I = Pnr
= ৪০০০ × ৩ × (১/২০)
= ৬০০ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল, C = P(১ + r)ⁿ
= ৪০০০(১ + ১/২০)^৩
= ৪০০০ × (২১/২০) × (২১/২০) × (২১/২০)
= ৪০০০ × (৯,২৬১/৮,০০০)
= ৪৬৩০.৫০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৪৬৩০.৫০ - ৪০০০ = ৬৩০.৫০ টাকা।

সুতরাং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (৬৩০.৫০ - ৬০০) = ৩০.৫০ টাকা

প্রশ্ন: ৮০ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৩ : ১। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে?

সমাধান:
দুধ : পানি = ৩ : ১
∴ অনুপাত রাশির যোগফল = ৩ + ১ = ৪

দুধের পরিমাণ = ৮০ × (৩/৪) = ৬০ লিটার
পানির পরিমাণ = ৮০ × (১/৪) = ২০ লিটার

মনে করি, ক লিটার পানি মেশাতে হবে।
∴ নতুন পানির পরিমাণ = (২০ + ক) লিটার

প্রশ্নমতে,
৬০/(২০ + ক) = ২/৩
⇒ ২ × (২০ + ক) = ৬০ × ৩
⇒ ৪০ + ২ক = ১৮০
⇒ ২ক = ১৮০ - ৪০
⇒ ২ক = ১৪০
⇒ ক = ১৪০ / ২
⇒ ক = ৭০

∴ ৭০ লিটার পানি মিশাতে হবে।

প্রশ্ন: একটি অফিসে ৩০ জন কর্মীর গড় বেতন ৩০০০০ টাকা। যদি ১৪ জনের গড় বেতন ৩৫০০০ টাকা হয়, বাকি ১৬ জনের গড় বেতন কত?

সমাধান: 
৩০ জন কর্মীর মোট বেতন = ৩০ × ৩০০০০ = ৯০০০০০ টাকা।

আবার,
১৪ জন কর্মীর মোট বেতন = ১৪ × ৩৫০০০ = ৪৯০০০০ টাকা।

এখন, 
বাকি ১৬ জন কর্মীর মোট বেতন = মোট বেতন - ১৪ জন কর্মীর মোট বেতন
= ৯০০০০০ - ৪৯০০০০ = ৪১০০০০ টাকা।

∴ বাকি ১৬ জন কর্মীর গড় বেতন = ৪১০০০০/১৬ জন = ২৫৬২৫ টাকা।

প্রশ্ন: ৬০ কি.মি. পথ পাড়ি দিতে সুমনের, মাহির চেয়ে ৩ ঘণ্টা সময় বেশি লাগে। সুমন যদি তার গতিবেগ দ্বিগুণ করত, তবে মাহির চেয়ে তার ২ ঘণ্টা সময় কম লাগত। সুমনের গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, সুমনের গতিবেগ = ক কি.মি./ঘণ্টা 
সময়ের ব্যবধান = ৩ + ২ = ৫ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(৬০/ক) - (৬০/২ক) = ৫
⇒ (১২০ - ৬০)/২ক = ৫
⇒ ৬০/২ক = ৫
⇒ ৩০/ক = ৫
⇒ ৫ক = ৩০
⇒ ক = ৬

∴ সুমনের গতিবেগ ছিল ৬ কি.মি./ঘণ্টা।

গড় = (শেষ সংখ্যা + প্রথম সংখ্যা)/২
= (৩৯ + ১)/২
= ২০

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৪ : ৭। যদি প্রথম ট্রেনটি ৬ ঘণ্টায় ৪৮০ কি.মি. অতিক্রম করে, তাহলে দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৪ : ৭

মনে করি,
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = ৪ক
দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৭ক

আবার,
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = ৪৮০/৬ কি.মি./ঘণ্টা
= ৮০ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
৪ক = ৮০
⇒ ক = ৮০/৪
∴ ক = ২০

∴ দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = (৭ × ২০) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৪০ কি.মি./ঘণ্টা

বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা বেশি হলে ১৫% ক্ষতি পূরণ হয়ে ২৫% লাভ হতো।
অর্থ্যাৎ, ১৫%+২৫% = ৮০
৪০% = ৮০
∴ ১০০% = (৮০×১০০)/৪০ = ২০০
∴ ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা
১৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ছিলো = (২০০ - ২০০ এর ১৫%) = ১৭০ টাকা

প্রশ্ন: করিমের আয় ব্যয় এর অনুপাত ২০ : ১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয়ের অনুপাত কত?
প্রশ্নে ভাষাগত ত্রুটি আছে।
প্রশ্নটি হওয়ার কথা করিমের আয় ব্যয় এর অনুপাত ২০ : ১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?

সমাধান:
করিমের আয় ব্যয় এর অনুপাত ২০ : ১৫

করিমের আয় = ২০ক
করিমের ব্যয় = ১৫ক

মাসিক সঞ্চয় = ২০ক - ১৫ক = ৫ক

∴ শতকরা সঞ্চয় (৫ক/২০ক) × ১০০%
= ২৫%

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৫৪ কিলোমিটার গতিতে একটি সেতু ৬০ সেকেন্ডে পার হলো। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার হলে সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে, 
৫৪ কিলোমিটার = (৫৪ × ১০০০) মিটার  
= ৫৪০০০ মিটার

আমনা জানি,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ মিনিট

৩৬০০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ৫৪০০০ মিটার
∴ ৬০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = (৫৪০০০ × ৬০)/৩৬০০ = ৯০০ মিটার

 সেতু অতিক্রম করার জন্য ট্রেনকে তার নিজের দৈর্ঘ্যের সমান পথ অতিক্রম করতে হবে।

∴ সেতুটির দৈর্ঘ্য = (৯০০ - ১৮০) মিটার
= ৭২০ মিটার

১০০ টাকায় ৬ টাকা সুদ হয় ১ বছরে
∴ ৮৫০ টাকায় ২৫৫ টাকা সুদ হয় = (১০০ × ২৫৫)/(৬ × ৮৫০) = ৫ বছর

প্রশ্ন: ৫% হার মুনাফায় ৮,০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ৮,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৮,০০০(১ + ১/২০)^২
= ৮,০০০ × (২১/২০)^২
= ৮,০০০ × (২১/২০) × (২১/২০)
= ৮,০০০ × ৪৪১/৪০০
= ৮,৮২০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৮,৮২০ টাকা

প্রশ্ন: ৫ জন শ্রমিক ৬ দিনে ৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে পারে। ২০ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ২৫ জন শ্রমিকের কত দিন লাগবে?

সমাধান:
৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ৫ জনের লাগে ৬ দিন
৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ১ জনের লাগে   (৫ × ৬) দিন
১  বিঘা জমির ফসল উঠাতে ১ জনের লাগে (৫ × ৬)/৮ দিন
২০  বিঘা জমির ফসল উঠাতে  ২৫  জনের লাগে (৫ × ৬ × ২০)/(৮ × ২৫) দিন
= ৩ দিন।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ১৭/২ টাকা মুনাফায় কত টাকার ৬ বছরের মুনাফা ২৫৫০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ১৭/২% = ৮.৫%
সময় = ৬ বছর
মোট মুনাফা = ২৫৫০ টাকা

 আমরা জানি, 
মূলধন = (সুদ × ১০০)/(হার × সময়)
= (২৫৫০ × ১০০)/(১৭/২ × ৬)
= (২৫৫০ × ১০০)/৫১ 
= ৫০ × ১০০
= ৫০০০ 

সুতরাং, আসল ৫০০০ টাকা। 

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ১০ ইনিংস রানের গড় ৪৫.৫। ১১ তম ইনিংসে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংসে মিলিয়ে তার রানের গড় ৫০ হবে? 

সমাধান: 
১০ ইনিংসের রানের গড় = ৪৫.৫
∴ ১০ ইনিংসের মোট রান = (১০ × ৪৫.৫)
= ৪৫৫ রান

আবার,
১১ ইনিংসের রানের গড় = ৫০.০
∴ ১১ ইনিংসের মোট রান = (১১ × ৫০.০)
= ৫৫০ রান

∴ ১১ তম ইনিংসের রান = (৫৫০ - ৪৫৫)
= ৯৫ রান ।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩: ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬৮ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৪
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৪ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৩ × ৪)ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ১৬৮
⇒ ক = ১৬৮/১২
⇒ ক = ১৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৪ × ক = ৪ × ১৪ = ৫৬

৪০ কে ২/৩ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৬০। 
৬০ + ১৫ = ৭৫

প্রশ্ন: আটার মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় কোনো পরিবারে আটার ব্যবহার শতকরা কত কমালে ঐ পরিবারে আটা বাবদ খরচের কোন পরিবর্তন হবে না?

সমাধান:
ধরি,
আটার পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ২৫% = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা

∴ মূল্য বৃদ্ধি পেয়েছে = (১২৫ - ১০০) টাকা = ২৫ টাকা

১২৫ টাকায় আটা বাবদ খরচ কমাতে হবে = ২৫ টাকা
∴ ১ টাকায় আটা বাবদ খরচ কমাতে হবে = ২৫/১২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় আটা বাবদ খরচ কমাতে হবে = (২৫ × ১০০)/১২৫ টাকা = ২০ টাকা

অর্থাৎ আটার ব্যবহার শতকরা কমাতে হবে = ২০%

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী একটি পণ্যের মূল্য ১৫% বাড়ালো, অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ২০% কমালো। সর্বশেষ মূল্য সর্বপ্রথম মূল্যের তুলনায়-

সমাধান:
একটি পণ্যের মূল্য ১৫% বৃদ্ধি করায় নতুন মূল্য হয় = (১০০ + ১৫) = ১১৫ টাকা

অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ২০% কমালে = (১১৫ - ১১৫ × ২০/১০০) টাকা
= (১১৫ - ২৩) টাকা
= ৯২ টাকা

তাহলে, সর্বশেষ মূল্য সর্বপ্রথম মূল্যের তুলনায় কম = (১০০ - ৯২) টাকা = ৮ টাকা

প্রশ্ন: শতকরা ৮ টাকা হার সরল সুদে ৪ বছরে সুদে আসলে ১৩২০০ টাকা হলে, মূলধন কত?

সমাধান:
১০০ টাকায় ১ বছরের সুদ = ৮ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ৪ বছরের সুদ = (৮ × ৪) টাকা = ৩২ টাকা

∴ ১০০ টাকায় ৪ বছরের সুদাসল হবে (১০০ + ৩২) টাকা = ১৩২ টাকা

সুদাসল ১৩২ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
সুদাসল ১ টাকা হলে আসল ১০০/১৩২ টাকা
∴ সুদাসল ১৩২০০ টাকা হলে, আসল (১০০ × ১৩২০০)/১৩২ টাকা
= (১০০ × ১০০) টাকা
= ১০০০০ টাকা

প্রশ্ন: এক নটিক্যাল মাইল সমান কত মিটার? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ নটিক্যাল মাইল = ১.৮৫২ কিলোমিটার
= ১.৮৫২ × ১০০০ মিটার
= ১৮৫২ মিটার। 

প্রশ্ন: ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান: 
৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হলো,
৪৩, ৪৪, ৪৫, ৪৬, ৪৭, ৪৮, ৪৯, ৫০, ৫১, ৫২, ৫৩, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৫৯, ৬০

∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ = ৪টি 

প্রশ্নঃ জাভেদ রহিমের তুলনায় 25% বেশি বেতন পায়, সাব্বিরের বেতন জাভেদ ও রহিমের মোট বেতনের 80% । তারা একত্রে 486 টাকা বেতন পেলে সাব্বিরের বেতন কত?

সমাধানঃ
মনে করি, রহিমের বেতন = x 

জাভেদের বেতন = x + 25x/100
= x + x/4
= 5x/4

রহিম ও জাভেদের মোট বেতন = x + 5x/4
= 9x/4

সুতরাং সাব্বিরের বেতন = (9x/4) × (80/100)
= 9x/5

প্রশ্নমতে,
x + ( 5x/4) + (9x/5) = 486
বা, (20x + 25x + 36x) / 20 = 486
বা, 81x/20 = 486
বা, x = (486 × 20) / 81
বা, x = 120

সুতরাং সাব্বিরের বেতন = (9 × 120) / 5 = 216

প্রশ্ন: ২০০ এর কত শতাংশ ২০ এর ৫ শতাংশের সমান?
 
সমাধান:
ধরি,
২০০ এর ক% = ২০ এর ৫%
⇒ ২০০ × ক/১০০ = ২০ × ৫/১০০
⇒ ২০০ক = ১০০
⇒ ক = ১০০ ÷ ২০০
⇒ ক = ০.৫

প্রশ্ন: একটি খাতা এবং একটি ডায়েরির দামের অনুপাত ৭ : ৫। ডায়েরি খাতার চাইতে ৪০ টাকা কম হলে, খাতার দাম কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
খাতা : ডায়েরি = ৭ : ৫

ধরি, খাতার দাম = ৭ক টাকা
এবং ডায়েরির দাম = ৫ক টাকা

প্রশ্নানুসারে, ডায়েরি খাতার চাইতে ৪০ টাকা কম। 
অর্থাৎ, খাতার দাম = ডায়েরির দাম + ৪০
⇒ ৭ক = ৫ক + ৪০
⇒ ৭ক - ৫ক = ৪০
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২ = ২০
∴ ক = ২০

সুতরাং, খাতার দাম = ৭ক = ৭ × ২০ = ১৪০ টাকা

প্রশ্ন: ৪৫ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৬০%?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক × ৬০% = ৪৫
৬০ক/১০০ = ৪৫
ক = (৪৫ × ১০০)/৬০ 
ক = ১৫ × ৫
ক = ৭৫ 

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৪ কি.মি. বেগে চললে কোনো স্থানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে, ঘণ্টায় ৫ কি.মি. বেগে চললে তার চেয়ে ৩০ মিনিট কম লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, স্থানটির দূরত্ব = ক কি.মি.
৪ কি.মি./ঘণ্টায় চললে কোনো স্থানে পৌছতে সময় লাগে = ক/৪ ঘণ্টা
আবার, ৫ কি.মি./ঘণ্টায় চললে কো্নো স্থানে পৌছতে সময় লাগে = ক/৫ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) - (ক/৫) = ১/২
⇒ (৫ক - ৪ক)/২০ = ১/২
⇒ ক/২০ = ১/২
⇒ ২ক = ২০
∴ ক = ১০
∴ স্থানটির দূরত্ব ১০ কি.মি.