পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = x
সংখ্যাটির গুণাত্মক বিপরীত = 1/x

প্রশ্নমতে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 1

প্রশ্ন: যদি একটি নৌকা স্রোতের প্রতিকূলে ৫৪ মিনিটে ৯ কি. মি. যায় এবং স্রোতের গতি ৩ কি. মি./ঘন্টা হয়, তাহলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
৫৪ মিনিটে স্রোতের প্রতিকূলে যায় = ৯ কি.মি.
১  মিনিটে স্রোতের প্রতিকূলে যায়= ৯/৫৪ কি.মি.
∴ ৬০ মিনিটে স্রোতের প্রতিকূলে যায় = ৯ × (৬০/৫৪) কি.মি.
= ১০ কি. মি.

আমরা জানি,  
প্রতিকূল বেগ = নৌকার স্থির পানিতে বেগ - স্রোতের বেগ

ধরি,
স্থির পানিতে নৌকার বেগ = ক কি.মি./ঘণ্টা

তাহলে, 
ক - ৩ = ১০
⇒ ক = ১০ + ৩
∴ ক = ১৩ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, স্থির পানিতে নৌকার বেগ ১৩ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্ম এর দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার। ২০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঐ প্ল্যাটফর্মকে অতিক্রম করতে কত মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে,
= (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য)
= (২০০ + ১৮০) মিটার
= ৩৮০ মিটার 

৮% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১০৮ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
∴ বিক্রয়মূল্য ৫৪ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ X ৫৪)/১০৮ টাকা।
= ৫০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার  ল.সা.গু ৭২ এবং গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৪/৩ অংশ হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক 
বড় সংখ্যাটি = ৪ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটি গ.সা.গু 
⇒ ক. (৪ক/৩) = ৭২ × ৬
⇒ (৪/৩)ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = √৩২৪
∴ ক = ১৮ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = ১৮
∴ বড় সংখ্যাটি = (১৮ × ৪)/৩ = ২৪ 

সুতরাং সংখ্যা দুটি = ১৮ এবং ২৪

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৫০০ টাকায় ক্রয় করে ১৫% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে কত টাকা লাভ হতো?

সমাধান: 
১৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ৫০০)/১০০ টাকা
= ৫৭৫ টাকা 

আবার, 
ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে = {৫০০ - (৫০০ × ১৫)/১০০} টাকা 
= ৪২৫ টাকা 

∴ মোট লাভ = (৫৭৫ - ৪২৫) টাকা
= ১৫০ টাকা।

প্রশ্ন: শতকরা ৮ টাকা হার সরল সুদে কত বছরে ৬০০০ টাকা সুদে-মূলে ১০৮০০ টাকা হয়?

সমাধান:
এখানে, আসল, P = ৬০০০ টাকা
সুদ, I = (১০৮০০ - ৬০০০) টাকা = ৪৮০০ টাকা
সুদের হার, r = ৮%

আমরা জানি, I = (P × n × r)/১০০
⇒ n = (I × ১০০)/(P × r)
⇒ n = (৪৮০০ × ১০০)/(৬০০০ × ৮)
⇒ n = ৪৮০০০০/৪৮০০০
⇒ n = ১০ বছর

∴ সময় = ১০ বছর

প্রশ্ন: i + i² + i³ + i⁴ + ...................... + i²⁵ = ?

সমাধান: 

i এর ক্রমিক চারটি ঘাতের যোগফল শুন্য।
i = √ - 1
i² = - 1
i³ = - i
i⁴ = 1
i⁵ = i

তাই i²⁴ পর্যন্ত যোগফল শুন্য। 

∴ i²⁵
= i^{24 + 1}
= (i⁴)⁶ . i¹
= (1)⁶ . i
= i

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ক): ১৬, ২৮
১৬-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৮, ১৬
২৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ২, ৪
∴ ১৬, ২৮ সহমৌলিক নয়।

অপশন (খ): ৫২, ৯১
৫২-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ১৩, ২৬, ৫২
৯১-এর গুণনীয়ক: ১, ৭, ১৩, ৯১
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ১৩
∴ ৫২, ৯১ সহমৌলিক নয়।

অপশন (গ): ২৭, ৩৮
২৭-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ২৭
৩৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ১৯, ৩৮
সাধারণ গুণনীয়ক: কেবল ১
∴ ২৭, ৩৮ পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ঘ): ২১, ১০৫
২১-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৭, ২১
১০৫-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৫, ৭, ১৫, ২১, ৩৫, ১০৫
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৭, ২১
∴ ২১, ১০৫ সহমৌলিক নয়।

দেওয়া আছে, A = ১০০০
n = ১৮ মাস = ৩/২ বছর
r = ৭%

আমরা জানি, 
A = Pnr + p = P(nr + 1)
⇒ ১০০০ = p (৩/২ × ৭/১০০ + ১)
⇒ ১০০০ = p (২১/২০০ + ১)
⇒ ১০০০ = p×২২১ / ২০০
⇒ ২২১p = ২০০০০০
⇒ p = ২০০০০০/২২১
⇒ p = ৯০৪.৯৮

নির্ণেয় পরিমাপকটি হবে ৫০ এবং ৬০ এর গসাগু।
৫০ এবং ৬০ এর গসাগু = ১০।
তাই ১০ লিটার পরিমাপক দিয়ে ৫০ এবং ৬০ লিটার পাত্রের দুধ মাপা যাবে।

প্রশ্ন: ৫ : ৭, ৪ : ৯ এবং ৩ : ২ এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
মিশ্র অনুপাত: একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।
যেমন, ২ : ৩ এবং ৫ : ৭ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (২ × ৫) : (৩ × ৭) = ১০ : ২১।

এখন, 
অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = ৫ × ৪ × ৩ = ৬০ 
এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = ৭ × ৯ × ২ = ১২৬

∴ নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = ৬০ : ১২৬ = ১০ : ২১ ; [৬ দ্বারা ভাগ করে] 

প্রশ্ন:

সমাধান: 

৫টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/৫ টাকা
আবার, ৪টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১/৪ টাকা
∴ লাভ = (১/৪)-(১/৫) = ১/২০ টাকা
এখন ১/৫ টাকায় লাভ হয় ১/২০ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৫)/২০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৫×১০০)/২০ টাকা
= ২৫ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ২৫%

৭০ - ২৮ = ৪২
৭০ জনে পাশ করে ৪২ জন
∴ ১০০ জনে পাশ করে (৪২×১০০) / ৭০ জন
= ৬০ জন

৩, ৪, ৫, ৬ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ১২০
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৪ × ১২০
= ৯০
আবার,
৫/৬ × ১২০ = ১০০
আবার,
৩/৫ × ১২০ = ৭২
এবং ৭/৮ × ১২০ = ১০৫
সুতরাং সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ৩/৫।

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ২০ বছরের সুদ = ৫ × ২০ = ১০০ টাকা
∴ সুদ-আসল = ১০০ + ১০০ = ২০০ টাকা
সুদ-আসল ২০০ টাকা হলে আসল = ১০০ টাকা
∴ সুদ-আসল ৬০০০০ টাকা হলে আসল = (১০০ × ৬০,০০০)/২০০
= ৩০,০০০

আমরা জানি,
৫০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৫৩।
সুতরাং সংখ্যা দুটির মধ্যে পার্থক্য = ৯৭ - ৫৩
= ৪৪

প্রশ্ন: ৫ টাকায় ৮টি আমলকি ক্রয় করে ৫ টাকায় ৬টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
১টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ৫/৮ টাকা
১টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = ৫/৬ টাকা
∴ লাভ = ৫/৬ - ৫/৮
= (২০ - ১৫)/২৪
= ৫/২৪ টাকা

∴ লাভের হার = (৫/২৪ × ১০০)/(৫/৮)
= (৫ × ১০০ × ৮)/(৫ × ২৪)
= ৪০০০/১২০
= (১০০/৩)%

অনুপাতটি = ১/২০ : ১/১৫ : ১/১২
= ৩ : ৪ : ৫
অনুপাতের সমষ্টি = ১২
∴ ৩য় জনের আমের সংখ্যা = ৩০০ × (৫/১২)
= ১২৫ টি

প্রশ্ন: ১ মণ কত কেজির সমান? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ সের = ০.৯৩৩ কিলোগ্রাম 
১ মন = ৪০ সের 
∴ ১ মন = (৪০ × ০.৯৩৩) কিলোগ্রাম 
= ৩৭.৩২ কেজি 

∴ ১ মণ = ৩৭.৩২ কেজি । 

প্রশ্ন: কোনো স্কুলের ছাত্রদেরকে ৫, ৬, ১৮ ও ২০ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ৪ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
স্কুলের ছাত্র সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যাকে ৫, ৬, ১৮ এবং ২০ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ৪ অবশিষ্ট থাকে।
অর্থাৎ ৫, ৬, ১৮ এবং ২০ এর লসাগু বের করে সেই লসাগুর সাথে ৪ যোগ করলেই নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা পাওয়া যাবে।

এখন, ৫, ৬, ১৮ এবং ২০ এর লসাগু বের করি:
৫ = ১ × ৫
৬ = ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ নির্ণেয় লসাগু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০

যেহেতু প্রতিবারই ৪ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট ছাত্র সংখ্যা হবে লসাগু অপেক্ষা ৪ বেশি।

∴ স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা = (১৮০ + ৪) জন = ১৮৪ জন।

ধরি, ক্রয়মূল্য = ক টাকা
প্রশ্নমতে,
৯২ = ক + ক এর ১৫%
বা, ৯২ = ক + ০.১৫ক
বা, ৯২ = ১.১৫ক
বা, ক = ৯২/১.১৫ = ৮০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যার চেয়ে যথাক্রমে ৩০% এবং ৩৭% কম। তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার থেকে কত শতাংশ কম?

সমাধান: 
ধরি,
তৃতীয় সংখ্যাটি হলো ১০০ 

প্রথম সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার চেয়ে ৩০% কম।
∴ প্রথম সংখ্যাটি = ১০০ - [(৩০/১০০) × ১০০] = ১০০ - ৩০ = ৭০ 

আবার, 
দ্বিতীয় সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার চেয়ে ৩৭% কম। 
∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ১০০ - [(৩৭/১০০) × ১০০] = ১০০ - ৩৭ = ৬৩

∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার পার্থক্য = ৭০ - ৬৩ = ৭ 

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার থেকে কম = (৭/৭০) × ১০০% = ১০% 

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট বিজোড় সংখ্যাটি = ক
∴ বড় বিজোড় সংখ্যাটি হবে ক + ২

প্রশ্নমতে,
(ক + ২)^২ - ক^২ = ৪০
⇒ ক^২ + ৪ক + ৪ - ক^২ = ৪০
⇒ ৪ক + ৪ = ৪০
⇒ ৪ক = ৪০ - ৪
⇒ ৪ক = ৩৬
⇒ ক = ৩৬/৪
⇒ ক = ৯

∴ ছোট সংখ্যাটি হলো ৯
এবং,
বড় সংখ্যাটি = ক + ২ = ৯ + ২ = ১১

প্রশ্নঃ একটি ট্রেন ৯০ কিমি/ঘণ্টা বেগে চললে ৬০০ মিটার দীর্ঘ একটি সেতু অতিক্রম করতে ৫০ সেকেন্ড সময় লাগে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
বেগ = (৯০ × ১০০০)/৩৬০০
= ২৫ মি./সে.
সময় = ৫০ সেকেন্ড

ধরি,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ ৬০০ + ক = ২৫ × ৫০
⇒ ৬০০ + ক = ১২৫০
∴ ক = ৬৫০

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ৬৫০ মিটার।

p = 100,
r = 10%,
n = 2
∴ সবৃদ্ধি মূল c = p(1 + r)ⁿ
= 100(1 + 10/100)²
= 100 × 110/100 × 110/100
= 121
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = 121 - 100
= 21 টাকা

প্রশ্ন: একটি লাঠির ১/৩ অংশ মাটির নিচে, ১/২ অংশ পানির নিচে এবং অবশিষ্ট ১০ মিটার পানির উপরে আছে। লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে অংশ = ক/৩
পানির নিচে অংশ = ক/২

মোট মাটি ও পানির নিচে অংশ = ক/৩ + ক/২ অংশ
= (২/৬ + ৩/৬)ক
= ৫ক/৬ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (৫ক/৬)
= (৬ক - ৫ক)/৬
= ক/৬ অংশ

প্রশ্নমতে, 
ক/৬ = ১০
⇒ ক = ১০ × ৬
∴ ক = ৬০

অতএব, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার।

৫ বছর পরে ছেলের বয়স ১৫ বছর হলে বর্তমান বয়স ১০ বছর
অর্থাৎ, স্ত্রীর বর্তমান বয়স ১০X৩ = ৩০ বছর
∴ ঐ ব্যাক্তির বর্তমান বয়স ৩০+৫ = ৩৫ বছর

একটি বই ১২০ টাকায় কিনে, ১০০ টাকায় বিক্রি করে দিলে ক্ষতি হবে ১২০ - ১০০ = ২০ টাকা
১২০ টাকায় ক্ষতি হয় ২০ টাকা
তাহলে, ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (২০ × ১০০)/১২০ = ১৬.৬৭ টাকা