পাটিগণিত

৯ ঘণ্টায় খালি হয় ১ টি চৌবাচ্চা
৩ ঘণ্টায় খালি হয় ৩//৯= ১/৩ টি চৌবাচ্চা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪৮ বছর এবং মা এবং ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৪২ বছর। পিতার বয়স ৬৬ বছর হলে, মাতার বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় = ৪৮ বছর
∴ পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৪৮ × ২) বছর
= ৯৬ বছর

মা ও পুত্রের বয়সের গড় = ৪২ বছর
∴ মা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৪২ × ২) বছর
= ৮৪ বছর

পিতার বয়স = ৬৬ বছর
∴ পুত্রের বয়স = ৯৬ - ৬৬ = ৩০ বছর

∴ মাতার বয়স = ৮৪ - ৩০ = ৫৪ বছর

৪ মাসে লাভ হয় ৯০০ - ৭৫০ = ১৫০ টাকা
অর্থাৎ, ৭৫০ টাকায় তার ১৫০ টাকা লাভ হয়। এটা ১ বছর হোক আর ২ বছর হোক, লাভের হার একই থাকবে।
৭৫০ টাকায় লাভ হয় ১৫০ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় ১৫০/৭৫০
∴১০০ টাকায় লাভ হয় (১৫০/৭৫০) × ১০০ = ২০
∴ বার্ষিক লাভ হলো ২০%

প্রশ্ন: ৫০ এর ২০% এর ১০% = কত?

সমাধান:
৫০ এর ২০% এর ১০% = ৫০ × (২০/১০০) × (১০/১০০)
= ৫০ × (১/৫) × (১/১০)
= ১

প্রশ্ন: শতকরা ৮ টাকা হার সরল সুদে কত বছরে ৬০০০ টাকা সুদে-আসলে ৯৬০০ টাকা হয়?

সমাধান:
এখানে, আসল, P = ৬০০০ টাকা
সুদ-আসল, A = ৯৬০০ টাকা
সুদ, I = (৯৬০০ - ৬০০০) টাকা = ৩৬০০ টাকা
সুদের হার, r = ৮%

আমরা জানি,
I = (P × n × r)/১০০
⇒ n = (I × ১০০)/(P × r)
⇒ n = (৩৬০০ × ১০০)/(৬০০০ × ৮)
⇒ n = ৩৬০০০০/৪৮০০০
⇒ n = ৭.৫ বছর

∴ সময় = ৭.৫ বছর

প্রশ্ন: একটি খুঁটির এক-চতুর্থাংশ মাটির নিচে, এক-পঞ্চমাংশ পানির মধ্যে এবং ৫.৫ মিটার পানির উপরে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/৪) + (ক/৫) অংশ
= (৫ক + ৪ক)/২০ অংশ
= ৯ক/২০ অংশ

আবার, পানির উপরে আছে = ক - (৯ক/২০)
= ১১ক/২০ অংশ

শর্তমতে,
১১ক/২০ = ৫.৫ মিটার
⇒ ক = (৫.৫ × ২০)/১১
⇒ ক = ১১০/১১ 
∴ ক = ১০ মিটার

অতএব, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।

সর্বনিম্ন ধারাবাহিক সংখ্যা দিয়ে চেক করলেই হবে।
প্রশ্নমতে,
ক = ৩, খ = ২ এবং গ = ১
এখন মানগুলো, ৪টি অপশনে বসালে দেখা যায়, ক + (খ/গ) = ৫ এর মান সর্বোচ্চ হয়।

প্রশ্ন: ৪০ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণের অনুপাত ৫ : ৩। ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার পানি মেশালে অনুপাত ৫ : ৭ হবে?

সমাধান:
মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত = ৫ : ৩
অনুপাত দ্বয়ের সমষ্টি = ৫ + ৩ = ৮

মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৪০ এর ৫/৮ = ২৫ লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৪০ এর ৩/৮ = ১৫ লিটার

ধরি, পানি মিশাতে হবে = ক লিটার

প্রশ্নমতে, ২৫/(১৫ + ক) = ৫/৭
বা, ২৫ × ৭ = (১৫ + ক) × ৫
বা, ১৭৫ = ৭৫ + ৫ক
বা, ১৭৫ - ৭৫ = ৫ক
বা, ১০০ = ৫ক
বা, ক = ২০
∴ ক = ২০ লিটার

এখানে 
১৯ + ১৪ = ৩৩
৩৩ + ১৪ + ৪ = ৫১
৫১ + ১৮ + ৪ = ৭৩
৭৩ + ২২ + ৪ = ৯৯

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ১০ ঘণ্টায় একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করেন। যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব তিনি ১২ কি.মি./ঘণ্টা এবং বাকী অর্ধেক দূরত্ব ১৫ কি.মি./ঘন্টা গতিতে চলেন। মোট দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, 
মোট দূরত্ব = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
{(ক/২)/১২} + {(ক/২)/১৫} = ১০
বা, (ক/২৪) + (ক/৩০) = ১০
বা, ৫ক + ৪ক = ১০ × ১২০
বা, ৯ক = ১০ × ১২০
বা, ক = (১০ × ১২০)/৯
∴ ক = ৪০০/৩ কি.মি

 প্রশ্ন: {- ২০ - (- ৫)} - {১২ + ( - ১১)} এর মান কত? 
 
সমাধান:
 {- ২০ - (- ৫)} - {১২ + ( - ১১)}
= {- ২০ + ৫} - {১২ - ১১}
= - ১৫ - ১
= - ১৫ - ১
= - ১৬

প্রশ্ন: একজন ছাত্র ২০টি প্রশ্নের মধ্যে ১২টির উত্তর সঠিক করে ৬০% নম্বর পেয়েছে। ৮০% নম্বর পেতে হলে তাকে কতটি প্রশ্নের উত্তর সঠিক করতে হবে?

সমাধান:
সঠিক উত্তর দিয়ে ৬০% নম্বর পেয়েছে = ১২টি প্রশ্ন
∴ ১% নম্বরের জন্য প্রয়োজন = ১২ ÷ ৬০ = ১/৫ টি প্রশ্ন

৮০% নম্বরের জন্য প্রয়োজন = ৮০ × (১/৫) = ১৬ টি প্রশ্ন

∴ ছাত্রকে ৮০% নম্বর পেতে ১৬টি প্রশ্নের উত্তর সঠিক করতে হবে।

প্রশ্ন: ঢাকা হতে চট্টগ্রামের দূরত্ব 300 কি.মি. এবং ঢাকা হতে কুমিল্লার দূরত্ব 180 কি.মি.। ঢাকা হতে কুমিল্লার দূরত্ব, ঢাকা হতে চট্টগ্রামের দূরত্বের শতকরা কত অংশ?

সমাধান: 

• ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম ও কুমিল্লার দূরত্বের শতকরা হিসাব:
- ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব = 300 কি.মি.
- ঢাকা থেকে কুমিল্লার দূরত্ব = 180 কি.মি.
- শতকরা হিসাব করতে সূত্র হলো:

শতকরা (%) = (ঢাকা থেকে কুমিল্লার দূরত্ব ÷ ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব) × 100  

- মান বসালে পাই:  
শতকরা (%) = (180 ÷ 300) × 100  
শতকরা (%) = 0.6 × 100  
তকরা (%) = 60  

- অর্থাৎ, ঢাকা থেকে কুমিল্লার দূরত্ব ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্বের 60%

সঠিক উত্তর: গ) 60

ধরি, পূর্বের বেতন = x টাকা
প্রশ্নমতে,
x + x এর 20% = 6000
বা, x + 0.2x = 6000
বা, 1.2x = 6000
বা, x = 6000/1.2 = 5000 Tk

মনে করি, ক গ্রাম চিনি যোগ করতে হবে
প্রশ্নমতে,
(৩০০ এর ৪০%) + ক = (৩০০ + ক) এর ৫০%
বা, ১২০ + ক = (৩০০ + ক)/২
বা, ২৪০ + ২ক = ৩০০ + ক
বা, ক = ৬০
∴ মিশ্রণটিতে আর ৬০ গ্রাম চিনি মেশালে মিশ্রণটিতে চিনির পরিমাণ ৫০% হবে।

৯৬ এর বর্গ = ৯২১৬
তাহলে সৈন্য সরাতে হবে = (৯২২০ - ৯২১৬) জন
= ৪ জন।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩৯০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি = ক
সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (ক + ১)
এবং, তৃতীয় সংখ্যাটি = (ক + ২)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ৩৯০
বা, ৩ক + ৩ = ৩৯০
বা, ৩ক = ৩৯০ - ৩
বা, ৩ক = ৩৮৭
 বা, ক = ৩৮৭/৩
∴ ক = ১২৯

∴ বড় সংখ্যাটি হলো = ক + ২ = ১২৯ + ২ = ১৩১

প্রশ্ন: দুজন শ্রমিক একটি কাজ যথাক্রমে ৬ ও ১০ মিনিটে করতে পারে। দুজনে একত্রে কত মিনিটে শেষ করবে?

সমাধান:
প্রথম শ্রমিক একা কাজটা ৬ মিনিটে করে।
১ মিনিটে করে = ১/৬ অংশ

দ্বিতীয় শ্রমিক একা কাজটা ১০ মিনিটে করে।
১ মিনিটে করে = ১/১০ অংশ

∴ দুইজন একত্রে, ১ মিনিটে করে = (১/৬) + (১/১০) অংশ
= (৫ + ৩)/৩০ অংশ
= ৮/৩০ অংশ
= ৪/১৫ অংশ

কাজের ৪/১৫ অংশ শেষ হয় = ১ মিনিটে
∴ কাজের ১ বা সম্পূর্ণ অংশ শেষ হয় = (১৫/৪) মিনিটে
= ৩.৭৫ মিনিট 
= ৩ মিনিট + (০.৭৫ × ৬০) সেকেন্ড
= ৩ মিনিট ৪৫ সেকেন্ড

∴ দুজনে একত্রে কাজ শেষ করবে = ৩ মিনিট ৪৫ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৫ : ৯। যদি পূর্বরাশি হয় ২০, তবে উত্তর রাশি কত?

সমাধান:
দুইটি রাশির অনুপাত = ৫ : ৯

ধরি,
পূর্বরাশি = ৫ক
উত্তর রাশি = ৯ক

প্রশ্নমতে,
৫ক = ২০
∴ ক = ২০/৫ = ৪

সুতরাং, উত্তর রাশি = ৯ক
= ৯ × ৪ = ৩৬

প্রশ্ন: তিনজন ব্যক্তি একটি পথে বরাবর দৌড়াচ্ছেন। তারা যথাক্রমে ১০, ১২ এবং ১৫ মিনিটে এক চক্কর পূর্ণ করেন। সকাল ৮টার সময় তারা একই স্থান থেকে দৌড় শুরু করলে, পুনরায় কখন তারা আবার শুরুর স্থানে মিলিত হবেন?

সমাধান: 
১০ = ২ × ৫ 
১২ = ২ × ২ × ৩ 
১৫ = ৩ × ৫

∴ ১০, ১২ এবং ১৫ ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০ 
তারা আবার শুরুর স্থানে একসঙ্গে মিলিত হবেন ৬০ মিনিট পর।
শুরু করেছে সকাল ৮ : ০০ টায়
এবং ৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা
∴ ৮ : ০০ + ১ ঘণ্টা = সকাল ৯ : ০০ টা

সুতরাং, তারা আবার শুরুর স্থানে মিলিত হবেন সকাল ৯টায়।

প্রশ্ন: পিতা ও তার পুত্রের বর্তমান বয়সের যোগফল 76 বছর। 8 বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল 7 : 3। তাহলে 12 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি
8 বছর আগে বাবার বয়স = 7x বছর,
ছেলের বয়স = 3x বছর।

এখন,
বাবার বর্তমান বয়স = 7x + 8
ছেলের বর্তমান বয়স = 3x + 8

প্রশ্নমতে, 
(7x + 8) + (3x + 8) = 76
⇒ 10x + 16 = 76
⇒ 10x = 76 - 16
⇒ 10x = 60
∴ x = 6

∴ বাবার বর্তমান বয়স = (7 × 6) + 8 = 42 + 8 = 50  বছর
∴ ছেলের বর্তমান বয়স = (3 × 6) + 8 = 18 + 8 = 26 বছর

12 বছর পরে, 
বাবা বয়স = 50 + 12 = 62 বছর 
ছেলে বয়স = 26 + 12 = 38 বছর

∴ 12 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = 62 : 38 = 31 : 19 

প্রশ্ন: কোনো কারখানায় যদি আরো ১৪ টি মেশিন যোগ করা হয়, তবে মেশিনগুলোকে ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ সংখ্যক সারিতে সাজানো সম্ভব হবে। কারখানায় শুরুতে কতটি মেশিন ছিল?
সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩

∴ ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২
অর্থাৎ, মেশিন সংখ্যা = ৭২ - ১৪ = ৫৮

∴ কারখানায় শুরুতে ৫৮ টি মেশিন ছিল।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% হারে ১০,০০০ টাকার ২ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
মূলধন, P = ১০,০০০ টাকা
সুদের হার, r = ৮%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
 SI = (P × r × n)/১০০
= (১০,০০০ × ৮ × ২)/১০০
= ১,৬০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায়, C = P(1 + r/১০০)ⁿ
= ১০,০০০ × (১ + ৮/১০০)^২
= ১০,০০০ × (১০৮/১০০)^২
= ১০,০০০ × (১০৮/১০০) × (১০৮/১০০) 
= ১১,৬৬৪ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P = ১১,৬৬৪ - ১০,০০০ টাকা
= ১৬৬৪ টাকা

∴ পার্থক্য = ১৬৬৪ - ১,৬০০ = ৬৪ টাকা

প্রশ্ন:

সমাধান:

ধরি, ক এর বেতন ৭x টাকা এবং খ এর বেতন ৫x টাকা।
প্রশ্নমতে, ৭x - ৫x = ৪০০
সুতরাং, x = ২০০ টাকা।
∴ খ এর বেতন ৫ × ২০০ = ১০০০ টাকা।

ক্রয়মূল্য = x টাকা।
শর্তমতে,
x - ২৫ = ৩৫ - x
বা, ২x = ৬০
∴ x = ৩০ টাকা

∴ লাভ = (৩৫-৩০) = ৫ টাকা
∴ লাভের হার = (৫×১০০)/৩০ = ১৬(২/৩)%

মুনাফা = ৮০০০০ × ২ × ১০% = ১৬০০০ টাকা
সুতরাং মুনাফা/আসল = ১৬০০০/৮০০০০ = ১/৫ অংশ।