পাটিগণিত

ধরি,
সংখ্যাটি =x
সংখ্যার অর্ধেক = x/2
সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x
প্রশ্নমতে,
x/2+6 = 2x -21
x = 18

১৫% লাভে, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয় মুল্য ১১৫ টাকা
অর্থাৎ, বিক্রয়মূল্য ১১৫ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৮৩ টাকায় ক্রয়মূল্য = (১০০×৪৮৩)/১১৫ = ৪২০ টাকা

প্রশ্ন: ১৫টি ডিম ১৮০ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় ২০%, তাহলে ২০০ টাকায় ক্রয়কৃত ডিমের পরিমাণ কত?

সমাধানঃ 
দেওয়া আছে, 
ডিম বিক্রয় = ১৫টি
বিক্রয়মূল্য= ১৮০ টাকা
লাভ = ২০%

১৫টি ডিমের ক্রয়মূল্য:
বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য × (১ + ২০/১০০)
⇒ ১৮০ = ক্রয়মূল্য × ১.২
⇒ ক্রয়মূল্য = ১৮০/১.২
∴ ক্রয়মূল্য= ১৫০ টাকা

অতএব,
১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ১৫০/১৫
= ১০ টাকা

তাহলে,
২০০ টাকায় ক্রয়কৃত ডিমের পরিমাণ = ২০০/১০
= ২০ টি

∴২০০ টাকায় ক্রয়কৃত ডিমের পরিমাণ ২০ টি।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার বেতনের ১/৪ অংশ ভাড়া বাবদ এবং ১/৩ অংশ খাদ্য বাবদ খরচ করেন। যদি তার কাছে অবশিষ্ট ১০,০০০ টাকা থাকে, তবে তার মোট বেতনের পরিমাণ কত ছিল?

সমাধান:
ভাড়া ও খাদ্য বাবদ মোট খরচ হয় = ১/৪ + ১/৩ অংশ
= (৩ + ৪)/১২ অংশ
= ৭/১২ অংশ

মনে করি, সম্পূর্ণ বেতন = ১ অংশ
∴ অবশিষ্ট আছে = ১ - ৭/১২ অংশ
= (১২ - ৭)/১২ অংশ
= ৫/১২ অংশ

প্রশ্নমতে,
৫/১২ অংশ = ১০,০০০ টাকা
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ১০,০০০ × ১২/৫ টাকা
= ২০,০০০ × ১২ টাকা
= ২৪,০০০ টাকা

∴ তাঁর সম্পূর্ণ বেতনের পরিমাণ ছিল ২৪,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি কাজ করতে A, B এর থেকে ৫ দিন বেশি সময় নেয় এবং  C এর থেকে ৯ দিন বেশি সময় নেয়, A এবং B একসাথে C এর সমান কাজ করতে পারে। A এর কাজটি করতে কত দিন সময় লাগবে? 

ধরি 
A কাজটি করতে পারে x দিনে 
B কাজটি করতে পারে x - 5 দিনে 
C  কাজটি করতে পারে x - 9 দিনে 

A 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/x অংশ 
B 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/(x - 5) অংশ 
C 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/(x - 9) অংশ

প্রশ্নমতে 
1/x + 1/(x - 5) = 1/(x - 9)
(x - 5 + x)/{x(x - 5)} = 1/(x - 9)
2x - 5/x² - 5x = 1/(x - 9)
x² - 5x = (2x - 5)(x - 9)
x² - 5x= 2x² - 5x - 18x + 45
x² - 18x + 45 = 0
x²  - 3x - 15x + 45 = 0
x(x - 3) - 15(x - 3) = 0
(x - 3)(x - 15 ) = 0
x = 3, 15 

A কাজটি করতে পারে 15 দিনে 
3 গ্রহণ যোগ্য নয়, কারণ 3 গ্রহণ করলে B ও C এর কাজের দিন ঋণাত্মক চলে আসে। 

প্রশ্ন: একটি ফটোকপি মেশিন ১/৩ সেকেন্ডে ২টি ফটোকপি করে। একই হারে ইহা ২ মিনিটে কতগুলো ফটোকপি করতে পারে?

সমাধান: 
এখানে, ২ মিনিট = ২ × ৬০ সেকেন্ড
= ১২০ সেকেন্ড

১/৩ সেকেন্ডে করে ২টি ফটোকপি
∴ ১ সেকেন্ডে করে {(২ × ৩)/১} টি ফটোকপি
∴ ১২০ সেকেন্ডে করে (২ × ৩ × ১২০) টি ফটোকপি
= ৭২০ টি ফটোকপি

ধরি, সংখ্যা দুইটি ৪x ও ৫x ।
প্রশ্নমতে, (৪x-৭) : (৫x-৭) = ৩:৪
বা, (৪x-৭)/(৫x-৭) = ৩/৪
বা, ১৬x - ২৮ = ১৫x -২১
∴ x = ৭
সুতরাং সংখ্যা দুইটি (৪×৭) = ২৮ এবং (৫×৭) = ৩৫।

শুধু পদার্থবিদ্যায় পাস করে = (৮৫ - ৭৬)%
= ৯%
শুধু রসায়নশাস্ত্রে পাস করে = (৮১ - ৭৬)%
= ৫%
পদার্থবিদ্যা, রসায়নশাস্ত্র এবং উভয় বিষয়ে পাস করে = (৯ + ৫ + ৭৬)%
= ৯০%
∴ উভয় বিষয়ে ফেল করে = (১০০ - ৯০)%
= ১০%

প্রশ্ন: আসল P এবং শতকরা বার্ষিক মুনাফা r হলে, ৪র্থ বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, 
চক্রবৃদ্ধির মূলধন, A = P (১ + r)ⁿ
যেখানে,
A = n বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন
P = আসল
r = শতকরা মুনাফার হার
n = সময় (বছর)

প্রশ্নে বলা হয়েছে ৪র্থ বছরান্তে অর্থাৎ ৪ বছর পর।
সুতরাং n = ৪
চক্রবৃদ্ধির মূলধন, A = P(১ + r)^৪ 

সঠিক অপশন: ঘ) P (১ + r)^৪

এখানে,
r = ১০% - ৮% = ২%
I = ২৫৬ টাকা,
n = ৪,
p = ?
I = pnr/১০০
বা, pnr = ১০০ × I
বা, p = (১০০ × I)/nr
= (১০০ × ২৫৬)/(৪ × ২)
= ৩২০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি বই ৫৪০ টাকায় বিক্রয় করে ২০% লাভ হল। বইটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য {(৫৪০ × ১০০)/১২০} টাকা
= ৪৫০ টাকা 

প্রশ্ন: একটি জিনিস ৮০ টাকায় কিনে ৯০ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? 

সমাধান: 
লাভ = (৯০ - ৮০) টাকা
= ১০ টাকা 

৮০ টাকায় লাভ হয় = ১০ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ১০/৮০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০ × ১০০)৮০ টাকা 
= ১২.৫ টাকা। 

প্রশ্ন: যদি ৩ জন পুরুষ বা ৫ জন মহিলা একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে তবে ৬ জন পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
৫ জন মহিলা = ৩ জন পুরুষ
∴ ১ জন মহিলা = ৩/৫ জন পুরুষ
∴ ১০ জন মহিলা = (৩/৫) × ১০ = ৬ জন পুরুষ

সুতরাং ৬ জন পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা = (৬ + ৬) = ১২ জন পুরুষ

এখন,
৩ জন পুরুষ কাজটি করে ২০ দিনে
∴ ১ জন পুরুষ কাজটি করে ৩ × ২০ = ৬০ দিনে
∴ ১২ জন পুরুষ কাজটি করে ৬০/১২ = ৫ দিনে

∴ ৬ জন পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা ঐ কাজটি ৫ দিনে করতে পারবে।

প্রশ্ন: ৬ এর কত শতাংশ ৯ হবে?

সমাধান:
৬ × ক% = ৯
⇒ ৬ × ক/১০০ = ৯
⇒ ক/১০০ = ৬/৯
⇒ ক/১০০ = ১.৫
⇒ ক = ১৫০

প্রশ্ন: (- 1, - 4) এবং (4, 8) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

ক এর বেতন ১৩০ টাকা হলে খ এর বেতন ১০০ টাকা
অর্থাৎ, ১৩০ টাকায় খ এর বেতন কম ৩০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় বেতন কম (৩০×১০০)/১৩০ = ২৩.০৮ টাকা

প্রশ্ন: ৭২ টি কলম এবং ৯৬ টি পেন্সিল এমনভাবে বাক্সে রাখতে হবে যাতে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যক কলম ও পেন্সিল থাকে এবং কোনোটি অবশিষ্ট না থাকে। সর্বাধিক কতটি বাক্স তৈরি করা যাবে?

সমাধান: 
আমরা এমন সর্বাধিক সংখ্যক বাক্স চাই যেখানে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যা হবে।
∴ সর্বাধিক বাক্সের সংখ্যা = ৭২ এবং ৯৬ গ.সা.গু 

এখন, ৭২ এবং ৯৬ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করে পাই, 
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ 

∴ ৭২ এবং ৯৬ গ সা গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪ 

সুতরাং, সর্বাধিক বাক্সের সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩০১ থেকে যত বড় ৩৮১ থেকে তত ছোট, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
৩০১ থেকে বড় এবং ৩৮১ থেকে ছোট সংখ্যা 
= (৩০১ + ৩৮১)/ ২
= ৬৮২/২
= ৩৪১ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৪১

প্রশ্ন: ৩০ গ্রাম লোহা ও সিসার ওজনের মিশ্রণে লোহা ৬০%। মিশ্রণে কি পরিমাণ সিসা মিশালে সিসার পরিমাণ ৬০% হবে?

সমাধান:
লোহা ও সিসার ওজনের মিশ্রণে লোহা ৬০% হলে, সিসা হবে (১০০ - ৬০)% = ৪০%

মনে করি, মিশ্রণে সিসা মিশাতে হবে ক গ্রাম।

 ∴ লোহার পরিমাণ = ৩০ এর ৬০%
= ৩০ × (৬০/১০০) গ্রাম 
= ১৮ গ্রাম
 
এবং, সিসার পরিমাণ = ৩০ এর ৪০%
= ৩০ × (৪০/১০০) গ্রাম 
= ১২ গ্রাম 

প্রশ্নমতে, ১৮/(১২ + ক) = ৪০/৬০
⇒ ১৮/(১২ + ক) = ২/৩
⇒ ৯/(১২ + ক) = ১/৩
⇒ ১২ + ক = ২৭
⇒ ক = ২৭ - ১২
⇒ ক = ১৫

∴ মিশ্রণে সিসা মিশাতে হবে ১৫ গ্রাম।  

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১১ এবং তাদের ল.সা.গু. ৬৯৩। একটি সংখ্যা ৭৭ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ৬৯৩ × ১১ 
বা, ৭৭ × অপর সংখ্যা = ৬৯৩ × ১১
বা, অপর সংখ্যা = (৬৯৩ × ১১)/৭৭ 
∴  অপর সংখ্যা = ৯৯

প্রশ্ন: ১৫ জন লোক একটি কাজ ৩ ঘণ্টায় শেষ করতে পারে। ৫ জন লোক ঐ কাজ শেষ করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
১৫ জন লোক একটি কাজ শেষ করতে পারে = ৩ ঘণ্টায় 
∴ ১ জন লোক একটি কাজ শেষ করতে পারে = ৩ × ১৫ ঘণ্টায় 
∴ ৫ জন লোক একটি কাজ শেষ করতে পারে = (৩ × ১৫)/৫ ঘণ্টায় 
= ৯ ঘণ্টায় 

∴ কাজ শেষ করতে কত সময় লাগবে = ৯ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি এনালগ ঘড়িতে সাড়ে পাঁচটার সময় ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘণ্টার সময় = ৫ 
মিনিটের সময় = ৩০ 

∴ ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = {(১১ × মিনিট) - (৬০ × ঘণ্টা)}/২ 
= ।(১১ × ৩০) - (৬০ × ৫)।/২ 
= ।(৩৩০ - ৩০০)।/২
= ।৩০।/২ 
= ১৫° 

∴ সাড়ে পাঁচটার সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ১৫°।

ধরি,
নির্মাতা খরচ a টাকা।
∴ ২০% লাভে ১ম বিক্রয়মূল্য = (১২০ × a)/১০০
আবার, ২০% লাভে ২য় বিক্রয় মূল্য = (১২০ × a)/১০০ × ১২০/১০০
= ১৪৪a/১০০
∴ ১৪৪a/১০০ = ৭২০
বা, a = (৭২০ × ১০০)/১৪৪
= ৫০০ টাকা

মোটর গাড়িটির ১০০ কিলোমিটার যেতে ডিজেল প্রয়োজন ১০ লিটার
মোটর গাড়িটির ১ কিলোমিটার যেতে ডিজেল প্রয়োজন ১০/১০০ লিটার
∴ মোটর গাড়িটির ১৫ কিলোমিটার যেতে ডিজেল প্রয়োজন = (১৫×১০)/১০০
= ৩/২ লিটার = ১.৫  লিটার

প্রশ্ন: যদি তিনজন টাইপিষ্ট তিনমিনিটে তিন পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে, তবে কতজন টাইপিষ্ট ৬ মিনিটে ২৪ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে?

সমাধান:
৩ মিনিটে ৩ পৃষ্ঠা টাইপ করে ৩ জন টাইপিষ্ট
১ মিনিটে ৩ পৃষ্ঠা টাইপ করে (৩ × ৩) জন টাইপিষ্ট
১ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করে (৩ × ৩)/৩ জন টাইপিষ্ট
৬ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করে (৩ × ৩)/(৬ × ৩) জন টাইপিষ্ট
৬ মিনিটে ২৪ পৃষ্ঠা টাইপ করে (৩ × ৩ × ২৪)/(৬ × ৩) জন টাইপিষ্ট
= ১২ জন

সুতরাং, ১২ জন টাইপিষ্ট ৬ মিনিটে ২৪ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে। 

মনেকরি,
ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় x, x + 1
∴ (x + 1)² - x² = 999
বা, x² + 2x + 1 - x² = 999
বা, 2x = 999 - 1
বা, 2x = 998
বা, x = 499
∴ x + 1 = 499 + 1 = 500
যা নির্ণেয় বড় সংখ্যাটি।

প্রশ্ন: একটি বই ২৪% লাভে বিক্রি করা হলো। যদি বইটি ৬০ টাকা কমে বিক্রি করা হতো, তাহলে ৮% ক্ষতি হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, বইটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

২৪% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২৪ = ১২৪ টাকা
৮% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ৮ = ৯২ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১২৪ - ৯২ = ৩২ টাকা

৩২ টাকা কমলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ১ টাকা কমলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৩২ টাকা
∴ ৬০ টাকা কমলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬০)/৩২ টাকা
= ১৮৭.৫০ টাকা

∴ বইটির ক্রয়মূল্য ১৮৭.৫০ টাকা

এখানে,
a = ২b/৫
আবার,
b = ৫c/৭
বা, c = ৭b/৫
∴ a : c = ২b/৫ : ৭b/৫
= ২ঃ৭

প্রশ্ন: সম্পূর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘণ্টায় সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। দ্বিতীয় একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করা যায় ৩ ঘণ্টায়। দুই পাইপ এক সাথে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটির ২/৩ অংশ ভর্তি করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
পাইপ দুটি একত্রে 1 ঘন্টায় পূর্ণ করে = (১/৫) + (১/৩) অংশ
= (৩ + ৫)/১৫ অংশ 
= ৮/১৫ অংশ

∴ পাইপ দুটি একত্রে,
৮/১৫ অংশ পূর্ণ করে ১ ঘণ্টায়
১ অংশ পূর্ণ করে {১/(৮/১৫)} ঘণ্টায়
২/৩ অংশ পূর্ণ করে {(১৫ × ২)/(৮ × ৩)} ঘণ্টায়
= ৫/৪ ঘণ্টায় 

প্রশ্ন: ৩৬ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু.-এর গুণফল কত?

সমাধান:
গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয়,
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৩০ = ২ × ৩ × ৫
সাধারণ উৎপাদক ২ এবং ৩
∴ গ.সা.গু. = ২ × ৩ = ৬

এবং 
ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয়, 
৩৬ এবং ৩০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ৪ × ৯ × ৫
= ১৮০

∴ গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
= ৬ × ১৮০
= ১০৮০

অতএব, ৩৬ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু.-এর গুণফল = ১০৮০

প্রশ্ন: সমীকরণ দুটি থেকে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
x/2 + y/3 = 1
বা, (3x + 2y)/6 = 1
3x + 2y = 6 ---------------- (1)

আবার,
x/3 + y/2 = 1
বা, (2x + 3y)/6 = 1
2x + 3y = 6  ---------------- (2)

(1) × 2 ও  (2) × 3 করে বিয়োগ করি,
6x + 4y = 12
6x + 9y = 18
- 5y = - 6
∴ y = 6/5

y এর মান (1) নং বসিয়ে পাই,
3x + 2 . (6/5) = 6
বা, 15x + 12 = 30
বা, 15x = 30 - 12
বা, 15x = 18
বা, x = 18/15
∴ x = 6/5

∴ (x, y) = (6/5, 6/5)

প্রশ্ন: করিম, রহিম এবং নাজিম যথাক্রমে ২৭০০, ৮১০০ এবং ৭২০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করলো। ১ বছর পর রহিম ৩৬০০ টাকা মুনাফা পেলে তাদের মোট মুনাফা কত? 

সমাধান: 
করিম, রহিম এবং নাজিম বিনিয়োগের অনুপাত = ২৭০০ : ৮১০০ : ৭২০০ 
= ২৭ : ৮১ : ৭২ 
= ৩ : ৯ : ৮ 

∴ অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ৮ 
= ২০ 

মনে করি, 
মোট মুনাফা = p টাকা 

প্রশ্নমতে, 
৯p/২০ = ৩৬০০ 
বা, ৯p= ৩৬০০ × ২০
বা, p = (৩৬০০ × ২০)/৯
∴ p = ৮০০০ টাকা

∴ মোট মুনাফা = ৮০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১ টাকা, ৫০ পয়সা ও ২৫ পয়সার মুদ্রা সংখ্যার অনুপাত ১ : ২ : ৪। ঐ বাক্সে ৩৯৩ টাকা থাকলে মোট কতগুলি মুদ্রা আছে?

সমাধান:
ধরি,
 ১ টাকা, ৫০ পয়সা ও ২৫ পয়সার মুদ্রা সংখ্যা = ক : ২ক : ৪ক

প্রশ্নমতে, 
ক + (২ক × ০. ৫) + (৪ক × ০. ২৫) = ৩৯৩ 
⇒ ক + ক + ক = ৩৯৩ 
⇒ ৩ক = ৩৯৩ 
⇒ ক = ৩৯৩/৩ 
∴ ক = ১৩১ 

∴ মোট মুদ্রার সংখ্যা = ক + ২ক + ৪ক = ৭ক = ৭ × ১৩১ = ৯১৭ টি 

ধরি, রাজু পাবে = ক টাকা
তাহলে আসাদ পাবে = ২ক টাকা এবং রাসেল পাবে = ২ক এর ৩/৫ = ৬ক/৫
প্রশ্নমতে,
ক + ২ক + ৬ক/৫ = ৩১৫
বা, (৫ক + ১০ক + ৬ক)/৫ = ৩১৫
বা, ২১ক = ৩১৫ × ৫
বা, ক = (৩১৫ × ৫)/২১ = ৭৫ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি প্রতিদিন ৩৬ মিনিট সময় হারায়। কতদিন পর ঘড়িটি সঠিক সময় নির্দেশ করবে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘড়ির কাঁটার সম্পূর্ণ ঘন্টা = ১২ ঘন্টা
অর্থাৎ ১২ ঘণ্টা = ১২ × ৬০ মিনিট
= ৭২০ মিনিট সময় হারালে ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

এখন, ৩৬ মিনিট সময় হারায় = ১ দিনে
∴ ৭২০ মিনিট সময় হারায় = ৭২০/৩৬ দিনে
= ২০ দিনে

অতএব, ঘড়িটি ২০ দিন পর সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

প্রশ্ন: কোন বস্তু ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
আমরা জানি,
লাভ বা ক্ষতি ক্রয়মূল্যের উপর নির্ভর কর।

ক্রয়মূল্যের চেয়ে বিক্রয়মূল্য বেশি হলে লাভ হয়।
ক্রয়মূল্যের চেয়ে বিক্রয়মূল্য কম হলে ক্ষতি হয়।

∴ ক্ষতির ক্ষেত্রে,
ক্রয়মূল্য > বিক্রয়মূল্য

১২ - ৫ = ৭; ১৬ - ৯ = ৭
এখন,
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
∴ ১২, ১৬ এর লসাগু = ২ × ২ × ৩ × ২ × ২ = ৪৮
সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যা = ৪৮ - ৭ = ৪১

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। 

এখানে, 
৪৮২০৬৪ সংখ্যাটির শেষ দুইটি অঙ্ক অর্থাৎ ৬৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।অর্থাৎ (৬৪ ÷ ৪) = ১৬ 
(৪৮২০৬৪ ÷ ৪) = ১২০৫১৬ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য একটি সংখ্যা।

৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯৫ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ১৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ১৯০)/৯৫ = ২০০ টাকা।

প্রশ্নঃ কোন স্কুলের 80%  গনিতে এবং 90% বাংলায় পাস করেছে। কিন্তু 5% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে 150 জন পাস করে থাকে তবে স্কুলের পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধানঃ
গনিতে ফেল করেছে = (100 - 80)% = 20%
বাংলায় ফেল করেছে = (100 - 90)% = 10%

শুধু গনিতে ফেল করেছে = (20 - 5)% = 15%
শুধু বাংলায় ফেল করেছে = (10 - 5)% = 5%

∴ উভয় বিষয়ে পাস করেছে = 100% - (15% + 5% + 5%) = 75%

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = (100 × 150) / 75 = 200

ক, খ এবং গ রাশি তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী হলে মধ্যসমানুপাতী হবে, খ^২ = ক×গ
বা, খ = √(ক×গ)
সুতরাং ২৫ এবং ৩৬ সংখ্যা দুটির মধ্যসমানুপাতী = √(২৫ × ৩৬)
= ৫ × ৬
= ৩০