পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি অফিসে মহিলা ও পুরুষ চাকুরীজীবীর অনুপাত ১ : ৪ । চাকুরীজীবীদের শতকরা কত ভাগ পুরুষ? 

সমাধান: 
মহিলা চাকুরীজীবী ১ জন হলে পুরুষ চাকুরীজীবী ৪ জন 
∴ মোট চাকুরীজীবী = (১ + ৪) জন 
= ৫ জন 

এখন, 
মোট চাকুরীজীবী ৫ জন হলে পুরুষ চাকুরীজীবী = ৪ জন 
∴ মোট চাকুরীজীবী ১ জন হলে পুরুষ চাকুরীজীবী = ৪/৫ জন 
∴ মোট চাকুরীজীবী ১০০ জন হলে পুরুষ চাকুরীজীবী = (৪ × ১০০)/৫ জন 
= ৮০ জন 

∴ শতকরা পুরুষ চাকুরীজীবী = ৮০ জন। 

প্রশ্ন: রাজশাহী ও ঢাকা শহরের দূরত্ব ২৭০ কিমি। রাজশাহী থেকে একটি ট্রেন সকাল ৬ টায় ছেড়ে ১২ টায় ঢাকায় পৌঁছালো। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
রাজশাহী ও ঢাকা শহরের দূরত্ব ২৭০ কিমি।
সকাল ৬ টায় ছেড়ে গিয়ে দুপুর ১২ টায় পৌঁছে।

 ∴ মধ্যবর্তী সময়ের পার্থক্য = (১২ - ৬)
= ৬ ঘণ্টা

∴  ট্রেনটির গড় গতিবেগ =  মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব/মোট ব্যয়িত সময়
= ২৭০/৬
= ৪৫ কিমি/ঘণ্টা

∴  ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৪৫ কিমি/ঘণ্টা।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭: ২ এবং ৫ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৮ : ৩। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
বর্তমান বয়স
পিতার বয়স = ৭ক
পুত্রের বয়স = ২ক

৫ বছর পরে অনুপাত,
৭ক + ৫ / ২ক + ৫ = ৮/৩
⇒ ৩(৭ক + ৫) = ৮(২ক + ৫)
⇒ ২১ক + ১৫ = ১৬ক + ৪০
⇒ ২১ক - ১৬ক = ৪০ - ১৫
⇒ ১৫ক = ২৫ 
 ⇒  ক = ৫ 

পিতা = ৭ক = ৭ × ৫ = ৩৫ বছর
পুত্র = ২ক = ২ × ৫ = ১০ বছর

∴ তাদের বর্তমান বয়স (৩৫, ১০) 

২৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা
∴ 〃 ৩৮০ 〃 〃 〃 (১২৫×৩৮০)/১০০〃
                      = ৪৭৫ টাকা
আবার ৫% ছাড়ে,
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে লিখিত মূল্য ১০০ টাকা
∴ 〃 ৪৭৫ 〃 〃 〃 〃 (১০০×৪৭৫)/৯৫〃
                          = ৫০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির গতি সেকেন্ডে ১৫ মিটার হলে, গাড়িটির ঘন্টার গতি বেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
গাড়ির গতি = ১৫ মিটার/সেকেন্ড
= ১৫ × (১৮/৫) কিমি/ঘণ্টা
= (১৫ × ১৮)/৫
= ৫৪ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, গাড়িটির ঘন্টায় গতিবেগ ৫৪ কি.মি. প্রতি ঘণ্টা।

আমরা জানি,
সুদাসল, C = P(1+r)ⁿ
= ৬০০ (১+১০/১০০)^২
= ৬০০ (১.১)^২
= ৭২৬ টাকা।

সাধারণত মূলদ সংখ্যাকে (Rational Number) Q এবং অমূলদ সংখ্যাকে (Irrational Number) I বা Q' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
এবং বাস্তব সংখ্যার(Real Number) সেট গঠিত হয় মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা নিয়ে। সুতরাং বাস্তব সংখ্যার সেট হবে R = {Q ∪ Q′}.

প্রশ্ন: রুবেল একটি ব্যাংকে বার্ষিক ৮% সরল সুদে ৩০,০০০ টাকা ৫ বছরের জন্য জমা রাখলে, মেয়াদ শেষে মোট কত টাকা তিনি ফেরত পাবেন?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৩০,০০০ টাকা  
সুদের হার, r = ৮%  
সময়, n = ৫ বছর  

আমরা জানি,  
I = (P × r × n)/১০০  
= (৩০,০০০ × ৮ × ৫) / ১০০  
= (১২,০০,০০০)/১০০  
= ১২,০০০ টাকা  

∴ মোট টাকা পাবেন = সুদ + আসল  
= ৩০,০০০ + ১২,০০০  
= ৪২,০০০ টাকা

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্যের উপর লাভের হার ২৫% হলে বিক্রয়মূল্যের উপর লাভের হার কত হবে? 
 
সমাধান:
২৫% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে লাভ ২৫ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে লাভ (২৫/১২৫) টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে লাভ {(২৫ × ১০০)/১২৫} টাকা = ২০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্যের উপর লাভের হার ২০% 

ধরি, পানি ও চিনির পরিমাণ ২ক এবং ক।
প্রশ্নমতে,
২ক + ক = ৩৬
বা, ৩ক = ৩৬
বা, ক = ১২
সুতরাং পানি = ২ × ১২ = ২৪ লিটার এবং চিনির পরিমাণ = ১২ লিটার।

আবার ধরি, খ লিটার চিনি যোগ করতে হবে।
প্রশ্নমতে,
২৪ঃ(১২ + ক) = ১ঃ২
বা, ২৪/(১২ + ক) = ১/২
বা, ১২ + ক = ৪৮
বা, ক = ৪৮ - ১২ = ৩৬ লিটার।

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৮ × ৯
= ৭২

১০০০ কে ৭২ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৭২ = ১৩ (ভাগফল), ১৩ × ৭২ = ৯৩৬
১০০০ - ৯৩৬ = ৬৪ (ভাগশেষ)

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭২ - ৬৪ = ৮

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮ যোগ করলে যোগফল হবে ১০০৮,
যা ৭২ এর গুণিতক এবং ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

প্রশ্ন: যদি ৮টি ছাগল ৫ দিনে ২০ কেজি ঘাস খায়, তবে ১০টি ছাগল ৭ দিনে কত কেজি ঘাস খাবে?

সমাধান:
৮টি ছাগল ৫ দিনে ঘাস খায় ২০ কেজি
∴ ১টি ছাগল ১ দিনে ঘাস খায় ২০/(৮ × ৫) = ২০/৪০ = ০.৫ কেজি

∴ ১০টি ছাগল ৭ দিনে ঘাস খাবে = ০.৫ × ১০ × ৭ 
 = ৩৫ কেজি

প্রশ্ন: রিয়া, সুমি, উমা একটি কাজ ২০, ১২, ১৫ দিনে করতে পারে। তবে তারা একত্রে কাজটি কত দিনে করবে?

সমাধান: 
রিয়া ১ দিনে করে = ১/২০ অংশ
সুমি ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ
উমা ১ দিনে করে = ১/১৫ অংশ

রিয়া, সুমি ও উমা একত্রে ১ দিনে করে = (১/২০) + (১/১২) + (১/১৫) অংশ
= (৩ + ৫ + ৪)/৬০ অংশ
= ১২/৬০ অংশ
= ১/৫ অংশ

তারা একত্রে ১/৫ অংশ করে ১ দিনে
তারা একত্রে ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করে (১ × ৫) দিনে
= ৫ দিনে 

x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y² + (-4)² + 2xy + 2y(-4) + 2(-4)x - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy
অর্থাৎ 2xy যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: একটি নির্বাচনে দুইজন প্রার্থী প্রতিদ্বন্দ্বিতা করেন। বিজয়ী প্রার্থী মোট ভোটের ৬০% ভোট পেয়ে পরাজিত প্রার্থী থেকে ৮০ ভোট বেশি পেয়ে জয়লাভ করেন। ঐ নির্বাচনে মোট ভোটারের সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, মোট ভোট = ১০০%
বিজয়ী প্রার্থী ভোট পান = ৬০%
∴ পরাজিত প্রার্থী ভোট পান = (১০০% - ৬০%) = ৪০%

বিজয়ী প্রার্থী বেশি ভোট পান = (৬০% - ৪০%) = ২০%

প্রশ্নমতে,
২০% = ৮০ জন
⇒ ১% = ৮০/২০ জন
∴ ১০০% = (৮০ × ১০০)/২০ জন
= ৪ × ১০০
= ৪০০ জন

∴ মোট ভোটারের সংখ্যা ৪০০ জন।

প্রশ্ন: ৫, ০, ৯, ৩ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৫, ০, ৯, ৩ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৫৩০
৫, ০, ৯, ৩ অংকগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০৫৯

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় = (৯৫৩০ + ৩০৫৯)/২
= ১২৫৮৯/২
= ৬২৯৪.৫

প্রশ্ন: দুইটি টেবিল একই মূল্যে বিক্রয় করলে একটিতে লাভ হয় ৫%, অন্যটিতে ক্ষতি হয় ৬%। শতকরা মোট কত লাভ বা ক্ষতি হলো?

সমাধান:

ধরি, প্রতিটি টেবিলের বিক্রয়মূল্য = 100 টাকা
∴ মোট বিক্রয়মূল্য = 200 টাকা

প্রথম টেবিল (৫% লাভে):
ক্রয়মূল্য = 100 / 1.05 = 95.238 টাকা

দ্বিতীয় টেবিল (৬% ক্ষতিতে):
ক্রয়মূল্য = 100 / 0.94 = 106.383 টাকা

∴ মোট ক্রয়মূল্য = 95.238 + 106.383 = 201.621 টাকা
∴ ক্ষতি = 201.621 – 200 = 1.621 টাকা

শতকরা ক্ষতি = (1.621 / 201.621) × 100 ≈ 0.80% ক্ষতি

প্রশ্ন: ২৬৪ টি কলার সাথে আর কতগুলো কলা যোগ করলে তা ৬, ৭ বা ৮ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে? 

সমাধান: 
৬, ৭ এবং ৮ এর ল.সা.গু = (২ × ৩ × ৭ × ৪)
= ১৬৮

এখন, 
১৬৮) ২৬৪ (১
         ১৬৮
       ______
           ৯৬

∴ কলা যোগ করতে হবে = (১৬৮ - ৯৬) টি
= ৭২ টি।

যে বাস্তব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
আবার অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
এখানে,
√27/√48
=3√3/4√3
=3/4 একটি মূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৩ ও ১২ হলে মধ্য সমানুপাতিক কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক্রমিক সমানুপাতের ১ম রাশি = ৩ 
ক্রমিক সমানুপাতের ৩য় রাশি = ১২ 
ক্রমিক সমানুপাতের দ্বিতীয় রাশিটিকে প্রথম ও তৃতীয় রাশির মধ্য সমানুপাতিক বলে। 
∴ (দ্বিতীয় রাশি)^২ = প্রথম রাশি × তৃতীয় রাশি 
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ৩ × ১২ 
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ৩৬ 
বা, দ্বিতীয় রাশি = √(৩৬) 
∴ দ্বিতীয় রাশি = ৬ 

∴ মধ্য সমানুপাতিক = ৬।

ধরি, ক্রয়মূল্য = ২৫x টাকা, বিক্রয়মূল্য = ১৯x টাকা
∴ ক্ষতি = ২৫x - ১৯x = ৬x টাকা
∴ ক্ষতির হার = (৬x × ১০০) / ২৫x = ২৪%

প্রশ্ন: সরল সুদের হার কত হলে, কোনো মূলধন ১৬ বছরে সুদে আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন, P = ১০০ টাকা
সুদাসল = ৩ × ১০০ = ৩০০ টাকা

∴ সুদ, I = ৩০০ - ১০০ = ২০০ টাকা

আমরা জানি,
I = (P × r × n)/১০০
⇒ r = (I × ১০০)/(P × n)
⇒ r = (২০০ × ১০০)/(১০০ × ১৬)
⇒ r = ২০০০০/১৬০০
⇒ r = ১২.৫%

∴ সুদের হার = ১২.৫%

প্রশ্ন: শতকরা ক্ষতির পরিমাণ ৫০% হলে ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ক্রয়মূল্য = x টাকা

৫০% ক্ষতিতে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৫০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৫০/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য x টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৫০ × x)/১০০ টাকা 
= x/২ টাকা 

∴ ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = x : x/২ 
= ১ : ১/২ 
= ২ : ১ । 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৭০% থেকে ১৪০ বিয়োগ করলে ফলাফল হবে ৭০। তবে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
(ক এর ৭০%) - ১৪০ = ৭০ 
⇒ ক × (৭০/১০০) = ১৪০ + ৭০ 
⇒ ৭০ক/১০০ = ২১০
⇒ ৭০ক = ২১০ × ১০০ 
⇒ ক = (২১০ × ১০০)/৭০
∴ ক = ৩০০

∴ সংখ্যাটি = ৩০০ 

প্রশ্ন: ১২, ১৮ ও ২৮ এর চতুর্থ সমানুপাতি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
১ম রাশি = ১২ 
২য় রাশি = ১৮ 
৩য় রাশি = ২৮
৪র্থ রাশি = ? 

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি 
⇒ ১২ × ৪র্থ রাশি = ১৮ × ২৮
⇒ ৪র্থ রাশি = (১৮ × ২৮)/১২
∴ ৪র্থ রাশি = ৪২ 

প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি হালি কলা ৩০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ২ হালি ৭৫ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
১ হালি কলার ক্রয়মূল্য ৩০ টাকা
∴ ২ হালি কলার  ক্রয়মূল্য = ৩০ × ২ = ৬০ টাকা।

দেওয়া আছে,
২ হালি কলার বিক্রয়মূল্য = ৭৫ টাকা 
যেহেতু কলার ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি, সুতরাং লাভ হবে।

∴  লাভ = (৭৫  - ৬০) টাকা = ১৫ টাকা।

এখন,
৬০ টাকায় লাভ হয় = ১৫ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ১৫/৬০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায়  লাভ হয় = (১৫ × ১০০)/৬০ = ২৫ টাকা। 

অর্থাৎ লাভের পরিমাণ = ২৫%

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ এবং ল.সা.গু ৫৪ হলে সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৫৪ এবং অনুপাত = ২ : ৩ 

ধরি,
সংখ্যাগুলো হলো ২ক ও ৩ক
∴ ​ল.সা.গু = ৬ক 

প্রশ্নমতে,
৬ক = ৫৪
⇒ ক = ৫৪/৬ 
⇒ ​ক = ৯ 

∴ একটি সংখ্যা = (২ × ৯) = ১৮ 
​এবং অপর সংখ্যা = (৩ × ৯) = ২৭ 

∴ সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১৮ + ২৭ = ৪৫

২, ৮, ৮ এর গ.সা.গু. = ২, ৫, ৯, ১৫ এর ল.সা.গু = ৪৫
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ২/৪৫

রহিম ১ দিনে করে ১/৫ অংশ
সে ২০ দিনে করবে ১/৫ × ২০ = ৪ অংশ

প্রশ্ন: A একটি কাজ ৫ দিনে, B একটি কাজ ৪ দিনে এবং A, B, C একত্রে ২ দিনে করতে পারে। C একা ঐ কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান: 
A-এর ১ দিনের কাজ = ১/৫ অংশ 
B-এর ১ দিনের কাজ = ১/৪ অংশ
এবং A + B + C একত্রে ১ দিনের কাজ = ১/২ অংশ

∴ C-এর ১ দিনের কাজ = (A + B + C এর ১ দিনের কাজ) - (A + B এর ১ দিনের কাজ) অংশ
= (১/২) - {(১/৫) + (১/৪)} অংশ
= (১০ - ৪ - ৫)/২০ অংশ
= ১/২০ অংশ

∴ C একা পুরো কাজ করবে = ১/(১/২০) = ২০ দিন

সুতরাং, C একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারবে।