পাটিগণিত

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১০, ১২, ১৮ এবং ২৪ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:
১০ = ২ × ৫ = ২^১ × ৫^১
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩^১
১৮ = ২ × ৩ × ৩ = ২^১ × ৩^২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৩ × ৩^১

∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ × ৫^১ = ৩৬০

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে। 
এখানে ২ এর ঘাত = ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত = ২ (জোড়), ৫ এর ঘাত = ১ (বিজোড়)।
∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ২ এবং ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৩৬০ × ২ × ৫ = ৩৬০০

∴ সর্বনিম্ন ৩৬০০টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৪০০ + ১০০ = ৫০০ মিটার
৬০০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
১ '' '' = ৩৬০০/৬০০০০ ''
∴ ৫০০ মিটার যায় = (৩৬০০×৫০০)/৬০০০০ = ৩০ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা 10% হারে 1000 টাকার 2 বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = 1000 টাকা
সময়, n = 2 বছর
সুদের হার, r = 10/100

আমরা জানি
সরল মুনাফা,
I = Pnr
= 1000 × 2 × (10/100)
= 200

চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(1 + r)ⁿ
= 1000(1 + 10/100)²
= 1000 × (110/100)²
= 1000 × 1.1  × 1.1
= 1210

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = 1210 - 1000
= 210
 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (210 - 200) টাকা
= 10 টাকা।

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন 4 : 25 বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?

সমাধান: 
উৎপন্ন কোণ = {|11M - 60H|}/2 
= {| (11 × 25) - (60 × 4)|}/2 
= {|275 - 240|}/2 
= 35/2
= 17.5°

১ম সেকেন্ডে উঠে ৩ মিটার
২য় সেকেন্ডে নামে ১ মিটার
∴ ২ মিটার উঠে ২ সেকেন্ডে
১০ মিটার উঠে ১০ সেকেন্ডে
∴ ১১ তম সেকেন্ডে আরো ৩ মিটার উঠে বাঁশটির চূড়ায় উঠবে অর্থ্যাৎ ১৩ মিটার উঠবে
∴ মোট সময় ১১ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: 4, 8 এবং 16 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =
 
∴ 4, 8 এবং 16 এর জ্যামিতিক গড় = (4 × 8 × 16)^1/3
= (512)^1/3
= (8³)^1/3
= 8

প্রশ্ন: ৬ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর। যদি শিক্ষককে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে তাদের সকলের গড় বয়স ১ বছর বেড়ে যায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৬ জন ছাত্রের গড় বয়স = ১৫ বছর
∴ ৬ জন ছাত্রের মোট বয়স = ১৫ × ৬ = ৯০ বছর

আবার, 
শিক্ষককে যোগ করলে মোট ৭ জনের গড় বয়স = ১৫ + ১ = ১৬ বছর
∴ ৭ জনের মোট বয়স = ১৬ × ৭ = ১১২ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = ৭ জনের মোট বয়স - ৬ জন ছাত্রের মোট বয়স   
= ১১২ - ৯০   
= ২২ বছর

সুতরাং, শিক্ষকের বয়স ২২ বছর। 

প্রশ্ন: একজন দৌড়বিদ ১০ মিটার/সেকেন্ড বেগে দৌড়ালে ২ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গতিবেগ = ১০ মিটার/সেকেন্ড
দূরত্ব = ২ কি.মি. = ২ × ১০০০ = ২০০০ মিটার

∴ সময় = দূরত্ব ÷ গতিবেগ
= ২০০০ ÷ ১০
= ২০০ সেকেন্ড

৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট
∴ ২০০ সেকেন্ড = ৩ মিনিট ২০ সেকেন্ড

∴ ২ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার ৩ মিনিট ২০ সেকেন্ড সময় লাগবে

প্রশ্ন: ক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে এবং খ কাজটি তার দ্বিগুণ সময়ে করে। তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করার কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকী কাজটুকু খ ১৮ দিনে শেষ করে। কাজটি মোট কতদিনে শেষ হয়েছিল?

সমাধান:
ক কাজটি করে = ১২ দিনে
তাহলে খ কাজটি করবে = ১২ × ২ = ২৪ দিনে

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করবে = (১/১২ + ১/২৪) অংশ
= (২ + ১)/২৪
= ৩/২৪
= ১/৮ অংশ

এখন, খ ১ দিনে করে = ১/২৪ অংশ
খ ১৮ দিনে করে = ১৮/২৪ = ৩/৪ অংশ

∴ বাকী কাজ = ১ - (৩/৪) = ১/৪ অংশ

তারা ১/৮ অংশ করে = ১ দিনে
∴ ১ অংশ করে = ৮/১ দিনে
∴ ১/৪ অংশ করে = (৮/১) × (১/৪) = ২ দিনে

∴ মোট সময় = ১৮ + ২ = ২০ দিন

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.) / (হর গুলোর ল.সা.গু.)
এখানে,
লব গুলো ২, ৩ ও ৬ এর গ.সা.গু. = ১
এবং হর গুলো ৫, ৫ ও ১৫ এর ল.সা.গু. ১৫
∴ গ.সা.গু. = ১/১৫

৩/৫ অংশ পূরণ হয় ৯০০ মিনিটে
১ অংশ পূরণ হয় = ১৫০০ মিনিটে = ২৫ ঘন্টায়।

প্রশ্ন: একটি সম্পত্তির ৭/৮ অংশ ২ পুত্র ও ৩ কন্যার মধ্যে এমনভাবে বণ্টন করা হলো যার ফলে প্রত্যেক কন্যা প্রত্যেক পুত্রের অর্ধেক পায়। প্রত্যেক পুত্র সম্পত্তির কত অংশ পেল?

সমাধান:
মনেকরি,
প্রত্যেক পুত্র পায় 'ক' অংশ।
তাহলে, প্রত্যেক কন্যা পায় = ক/২ অংশ। 

প্রশ্নমতে,
২ক + ৩ক = ৭/৮
⇒ ২ক + ৩(ক/২) = ৭/৮
⇒ ৪ক + ৩ক = ১৪/৮ = ৭/৪
⇒ ৭ক = ৭/৪
⇒ ক = ৭/(৪ × ৭)
∴ ক = ১/৪

সুতরাং, প্রত্যেক পুত্র সম্পত্তির ১/৪ অংশ পেল।

৬৩ = ৭ × ৯ = ১ম × ২য়
৯৯ = ৯ × ১১ = ২য় × ৩য়
∴ ২য় সংখ্যাটি = ৯।

প্রশ্ন: 'ক' একটি কাজ ৩ দিনে করতে পারে। 'খ' ঐ একই কাজ ৬ দিনে করতে পারে। 'ক' ও 'খ' ঐ কাজটি কয় দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
'ক' ৩ দিনে করতে পারে কাজটির ১ অংশ
'ক' ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/৩ অংশ

'খ' ৬ দিনে করতে পারে কাজটির ১ অংশ
'খ' ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/৬ অংশ

'ক' ও 'খ' একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজটির = (১/৩) + (১/৬) অংশ
= (২ + ১)/৬ অংশ
= ৩/৬ অংশ
= ১/২ অংশ

'ক' ও 'খ' ১/২ অংশ কাজ করে ১ দিনে
'ক' ও 'খ' ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে ১ ÷ (১/২) দিনে = ২ দিনে

১১/১৪ = ০.৭৮৫৭
৫/৮ = ০.৬২৫
১২/১৭ = ০.৭১
১৫/২০ = ০.৭৫
সুতরাং, বৃহত্তম ভগ্নাংশ হচ্ছে ১১/১৪

প্রশ্ন: একটি স্কুলে মোট ৬০০ জন শিক্ষার্থী রয়েছে। মোট শিক্ষার্থীর মধ্যে ২৫% ছেলে। একটি পরীক্ষায় ৩০ জন ছেলে অনুপস্থিত ছিল। ঐ পরীক্ষায় শতকরা কতজন শিক্ষার্থীর উপস্থিত ছিল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মোট শিক্ষার্থী = ৬০০ জন

∴ ছেলে আছে = ৬০০ এর ২৫% =  ৬০০ × (২৫/১০০) = ১৫০ জন 
∴ মেয়ে আছে = ৬০০ - ১৫০ = ৪৫০ জন 

আবার, 
অনুপস্থিত ছেলে আছে = ৩০ জন 
∴ উপস্থিত ছেলে আছে = ১৫০ - ৩০ = ১২০ জন 

∴ মোট উপস্থিত শিক্ষার্থী আছে = ৪৫০ + ১২০ = ৫৭০ জন 

∴ শতকরা উপস্থিত = (উপস্থিত শিক্ষার্থী/মোট শিক্ষার্থী) ​× ১০০
= (৫৭০/৬০০) ​× ১০০ = ৯৫%

∴ পরীক্ষায় উপস্থিত শিক্ষার্থীর আছে ৯৫%

অনুপাতটি = ১/৩ ঃ ২/৫ : ৪/৯ = ১৫ : ১৮ : ২০ [৪৫ দ্বারা গুণ করা]
∴ বড় টুকরাটির দৈর্ঘ্য = ৩৭১ × ২০/(১৫ + ১৮ + ২০)
= (৩৭১×২০)/৫৩
= ১৪০ সে.মি.

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ২৫০ টাকায় বিক্রয় করায় বিক্রেতার ২৫% লাভ হয়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা 
=  ১২৫ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ২৫০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২৫০)/১২৫ টাকা 
= ২০০ টাকা 

∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা।

উৎপাদন খরচ = ১৪৪০ টাকা × (১০০/১২০) × (১০০/১২০)
= ১০০০ টাকা

প্রশ্ন: ৩৪০ টাকায় একটি দ্রব্য ক্রয় করলে যদি ১৫% কমিশন পাওয়া যায়, তবে দ্রব্যটির প্রকৃত মূল্য কত?

সমাধান:
১৫% কমিশনে,
দ্রব্যটির প্রকৃত মূল্য ১০০ টাকা হলে,
ক্রয়মূল্য = (১০০ - ১৫) টাকা
= ৮৫ টাকা

অর্থাৎ,
ক্রয়মূল্য ৮৫ টাকা হলে, দ্রব্যটির প্রকৃত মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে, দ্রব্যটির প্রকৃত মূল্য = ১০০/৮৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৩৪০ টাকা হলে, দ্রব্যটির প্রকৃত মূল্য = (১০০ × ৩৪০)/৮৫ টাকা
= ৪০০ টাকা

বর্তমান বেতন ১৩০ টাকা হলে আগের বেতন ১০০ টাকা
বর্তমান বেতন ১ টাকা হলে আগের বেতন ১০০/১৩০ টাকা
বর্তমান বেতন ১১০৫০ টাকা হলে আগের বেতন (১০০ Χ ১১০৫০)/১৩০ টাকা = ৮৫০০ টাকা

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ৪৫০ মিটার দীর্ঘ একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৭২ কি.মি. হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৪৫০ + ১৫০) মিটার = ৬০০ মিটার

ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও এর নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

আমরা জানি,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড
১ কি.মি = ১০০০ মিটার
∴ ৭২ কি.মি = ৭২,০০০ মিটার

৭২,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৭২,০০০ সেকেন্ডে
∴ ৬০০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৬০০)/৭২,০০০ সেকেন্ডে = ৩০ সেকেন্ডে

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির ৩০ সেকেন্ড সময় লাগবে।

n টাকায় পাওয়া যায় m সংখ্যক নারকেল
∴ 1 টাকায় পাওয়া যায় m/n সংখ্যক নারকেল
∴ m টাকায় পাওয়া যায় (m × m)/n = m²/n সংখ্যক নারকেল

ধরি, বিক্রি করতে হবে = x টি
প্রশ্নমতে,
(২০ - x)/x = ১/৩
বা, ৬০ - ৩x = x
বা, ৪x = ৬০
বা, x = ১৫ টি

প্রশ্ন: যদি মাসের ২য় দিন সোমবার হয় তাহলে মাসের ১৮ তম দিন কী বার হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো নির্দিষ্ট দিনের সাথে ৭ দিন যোগ করলে একই বার ফিরে আসে।

মাসের ২য় দিন সোমবার হলে ,
২ + ৭ = ৯ তম,
৯ + ৭ = ১৬ তম,
১৬ + ৭ = ২৩ তম দিন গুলোও হবে সোমবার।

∴ ১৬ + ২ = ১৮ তম দিন হবে সোমবার + ২ দিন = বুধবার

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৫/৮ অংশ ৬০ এর সমান?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

শর্ত অনুযায়ী,
ক এর ৫/৮ অংশ = ৬০
⇒ ৫ক/৮ = ৬০
⇒ ৫ক = ৬০ × ৮
⇒ ক = (৬০ × ৮)/৫
∴ ক = ৯৬

∴ সংখ্যাটি = ৯৬

উভয় বিষয়ে ফেল x হলে,
১০০% = ৭০% + ৫০% - ৪০% + x
=> x = ১৪০% - ১২০%
∴ x = ২০%

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ৭৫% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৬৫% শিক্ষার্থী বিজ্ঞান বিষয়ে পাশ করেছে। উভয় বিষয়ে পাশ করেছে ৫৫%। শতকরা কতজন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে পাস করেছে = (৭৫ - ৫৫)% = ২০%
শুধু বিজ্ঞানে পাস করেছে = (৬৫ - ৫৫)% = ১০%

যেকোনো একটি বিষয় এবং উভয় বিষয়ে পাস করেছে = (২০ + ১০ + ৫৫)%
= ৮৫%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল = (১০০ - ৮৫)% = ১৫%

অনুপাতের রাশিসমূহের যোগফল = (২ + ৪ + ৫) = ১১
∴ ১ম জেলে মাছ পায় = (৮৮০ এর ২/১১) টি = ১৬০ টি
২য় জেলে মাছ পায় = (৮৮০ এর ৪/১১) টি = ৩২০ টি
৩য় জেলে মাছ পায় = (৮৮০ এর ৫/১১) টি = ৪০০ টি

বছরে হ্রাসকৃত সুদ = ৩৫×১২
= ৪২০ টাকা
সুদের হার হ্রাস পায় = ৮% - ৬%
= ২%
হ্রাসকৃত সুদ ২ টাকা হলে আসল = ১০০ টাকা
∴ হ্রাসকৃত সুদ ৪২০ টাকা হলে আসল = (১০০×৪২০)/২
= ২১,০০০/-

প্রশ্ন: তেলের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি তেলের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি তেলের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন?

সমাধান:
ধরি,
২৫% বৃদ্ধিতে তেলের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা

এখন,
বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ x ১০০)/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ তেলের ব্যবহার কমাতে হবে = (১০০ - ৮০)% = ২০%

অর্থাৎ, তিনি পূর্বের ব্যবহারের তুলনায় ২০% কম তেল ব্যবহার করবেন।