পাটিগণিত

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণ অপেক্ষা ৪ বছর বেশি। ৭ বছর পর পিতা এবং পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০৬ বছর হলে পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
পিতার বর্তমান বয়স = ৩ক + ৪ বছর

৭ বছর পর পুত্রের বয়স = ক + ৭ বছর
৭ বছর পর পিতার বয়স = ৩ক+ ৪ + ৭ বছর

প্রশ্নমতে,
ক + ৭ + ৩ক + ৪ + ৭ = ১০৬
⇒ ৪ক = ১০৬ - ১৮
⇒ ৪ক = ৮৮
∴ ক = ২২

পুত্রের বর্তমান বয়স = ২২ বছর

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা প্রতিটি শার্ট বিক্রির উপর ১৮% কমিশন পান। তিনি যদি ২৫টি শার্ট বিক্রি করে মোট ২৭০০ টাকা কমিশন উপার্জন করেন, তবে প্রতিটি শার্টের বিক্রয় মূল্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
১টি শার্টের বিক্রয় মূল্য = ক টাকা

১টি শার্টের কমিশন = (১৮/১০০) × ক = (৯/৫০) × ক
∴ ২৫টি শার্টের কমিশন = (৯/৫০) × ক × ২৫
= ২২৫ক/৫০ = ৯ক/২

দেওয়া আছে,
প্রদত্ত মোট কমিশন = ২৭০০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৯ক/২ = ২৭০০
⇒ ৯ক = ২৭০০ × ২
⇒ ৯ক = ৫৪০০
∴ ক = ৫৪০০/৯ = ৬০০ টাকা

∴ প্রতিটি শার্টের বিক্রয় মূল্য ৬০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৫ : ৬। যদি প্রথম ট্রেনটি ৫ ঘণ্টায় ৬০০ কি.মি. যায়। তাহলে, দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে
দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত = ৫ : ৬

ধরি
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৫ক
২য় ট্রেনের গতিবেগ = ৬ক

আবার
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৬০০/৫ কি.মি./ঘণ্টা
= ১২০ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্নমতে
৫ক = ১২০
∴ ক = ২৪

২য় ট্রেনের গতিবেগ = (৬ × ২৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৪৪ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির মাসিক আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২৫ : ২০ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ? 

সমাধান: 
ধরি, 
ব্যক্তির আয় = ২৫x টাকা
ব্যক্তির ব্যয় = ২০x টাকা 
∴ সঞ্চয় = (২৫x - ২০x) টাকা
= ৫x টাকা 

∴ সঞ্চয় আয়ের শতকরা = {(৫x/২৫x) × ১০০}%
= ২০%

∴ তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা ২০% ।

বর্তমান বেতন ১৩০ টাকা হলে আগের বেতন ১০০ টাকা।
বর্তমান বেতন ১ টাকা হলে আগের বেতন ১০০/১৩০ টাকা।
বর্তমান বেতন ১১০৫০ টাকা হলে আগের বেতন (১০০ Χ ১১০৫০)/১৩০ টাকা = ৮৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৫০ জন শ্রমিক একটি গুদামের খাদ্য ২৪ দিনে শেষ করতে পারে। যদি শ্রমিক সংখ্যা বেড়ে ৭৫ জন হয় তবে গুদামের খাদ্য কত দিনে শেষ হবে?

সমাধান:
মনে করি,
গুদামের খাদ্য ক দিনে শেষ হবে।
৫০ × ২৪ = ৭৫ × ক
বা, ৭৫ক = ১২০০
বা, ক = ১২০০/৭৫
∴ ক = ১৬

∴ গুদামের খাদ্য ১৬ দিনে শেষ হবে।

আমরা জানি,
I = pnr
বা ১৪০ = ৭০০ × ৫ × r
বা r = ১৪০/(৭০০ × ৫) = ০.০৪ = ৪%

অথবা, হার = (সুদ × ১০০)/(আসল × সময়)
∴ হার = ( ১৪০ × ১০০)/(৭০০ × ৫) = ৪

ছাত্রী আছে, ৪৫০ এর ২২% = ৪৫০ × ২২/১০০ = ৯৯ জন
সুতরাং, ছাত্র আছে = ৪৫০ - ৯৯ = ৩৫১ জন

ধরি,
সংখ্যাটি = a
∴ ২০a/১০০ = ২৮৮
বা, a = (২৮৮×১০০)/২০
= ১৪৪০

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলো হলো –
২/৭ , ৩/৬ , ৫/২১ , ১/৩

হরগুলোর ল.সা.গু = ৪২

এখন সব ভগ্নাংশকে ৪২ সমহরে রূপান্তর করি—

২/৭ = (২×৬)/(৭×৬) = ১২/৪২
৩/৬ = (৩×৭)/(৬×৭) = ২১/৪২
৫/২১ = (৫×২)/(২১×২) = ১০/৪২
১/৩ = (১×১৪)/(৩×১৪) = ১৪/৪২

এখন ভগ্নাংশগুলো হলো—
১২/৪২ , ২১/৪২ , ১০/৪২ , ১৪/৪২

এখানে লবগুলোর মধ্যে ১০ সবচেয়ে ছোট।

অতএব ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ = ১০/৪২ = ৫/২১

ধরি, ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য = x টাকা
12 টি পেনসিলের ক্রয়মূল্য x টাকা
∴1 টি পেনসিলের ক্রয়মূল্য x/12 টাকা
8 টি পেনসিলের বিক্রয়মূল্য x টাকা
∴1 টি পেনসিলের বিক্রয়মূল্য x/8 টাকা
এখন,
লাভ = x/8 - x/12 = x/24 টাকা
x/12 টাকায় লাভ হয় x/24 টাকা
1 টাকায় লাভ হয় (x/24) × (12/x) টাকা
∴ 100 টাকায় লাভ হয় (x/24) × (12/x) × 100 = 50 টাকা।

৬০% থেকে ৬০ বিয়োগ করে বিয়োগফল ৬০ হলে বিয়োগ করার আগে ছিল ৬০ + ৬০ = ১২০,
এখন ৬০% = ১২০ হলে, ১০০% = (১২০ × ১০০)/৬০ = ২০০.

২/৩ = ০.৬৭
৪/৫ = ০.৮
১৩/১৫ = ০.৮৭
২৩/৩০ = ০.৭৭

একই পরিমাণ চালের বর্তমান মূল্য ১২০ টাকা হলে পূর্ব মূল্য ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ৭৫০ টাকা হলে পূর্বমূল্য (৭৫০ × ১০০) / ১২০ = ৬২৫ টাকা 

সুতরাং, মূল্য বৃদ্ধি পায় = ৭৫০ - ৬২৫ = ১২৫ টাকা

৫ কেজি চালের পূর্বমূল্য ১২৫ টাকা হলে
১ কেজি চালের পূর্বমূল্য ১২৫ / ৫ = ২৫ টাকা

প্রশ্ন: কোনো আসল ৩ বছরে সুদে-আসলে ৬৫২ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৭০০ টাকা হয়। আসল কত?

সমাধান: 
আসল + ৫ বছরের সুদ =৭০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৫২ টাকা
-----------------------------------------
∴ ২ বছরের সুদ = (৭০০ - ৬৫২) = ৪৮ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ =৪৮/২ টাকা
∴ ৫ বছরের সুদ = (৪৮ × ৫)/২ টাকা
= ১২০ টাকা

∴ আসল = (৭০০ - ১২০)
= ৫৮০ টাকা।

প্রশ্ন: শফিক সাহেবের মাসিক আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২৫ : ২০ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ? 

সমাধান: 
ধরি, 
শফিক সাহেবের আয় = ২৫x টাকা
শফিক সাহেবের ব্যয় = ২০x টাকা 
∴ শফিক সাহেবের সঞ্চয় = (২৫x - ২০x) টাকা
= ৫x টাকা 

∴ সঞ্চয় আয়ের শতকরা = {(৫x/২৫x) × ১০০}%
= ২০%

∴ শফিক সাহেবের মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা ২০% ।

আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু।
এখানে, ৩, ১, ২ লবগুলোর ল.সা.গু = ৬ এবং ৫, ৪, ৩ হরগুলোর গ.সা.গু = ১।
সুতরাং ৩/৫, ১/৪, ২/৩ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬/১ = ৬।

পনির : তপন = ২ : ৩ = ১০ : ১৫ [ ৫ দ্বারা গুণ করে ]
তপন : রবিন = ৫ : ৪ = ১৫ : ১২ [ ৩ দ্বারা গুণ করে ]
∴ পনির : তপন : রবিন = ১০ : ১৫ : ১২
পনিরের আয় ১০ টাকা হলে রবিনের আয় ১২ টাকা
∴ পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে রবিনের আয় (১২ × ১২০) / ১০
= ১৪৪ টাকা

প্রশ্ন: ৬/৫ এবং ৮/৭ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু

লব ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু = ২৪
হর ৫ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

অতএব, ৬/৫ এবং ৮/৭ এর ল.সা.গু = ২৪/১
= ২৪

প্রশ্ন অনুসারে,
a² = ৭ × ৩৪৩ = ২৪০১
বা, a = √২৪০১ = ৪৯

ধরি, যাত্রা পথের দুরত্ব = ক
৩ কি.মি. যায় ১ ঘণ্টায়
∴ ক কি.মি. যায় ক/৩ ঘণ্টায়
তদ্রুপ ২কি.মি./ঘন্টা বেগের ক্ষেত্রে সময় লাগে = ক/২ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + (ক/২) = ১০
বা, (২ক+৩ক)/৬ = ১০
∴ ক = ১২

ধরি, শফিকের বর্তমান বয়স x বছর
∴ রফিকের বর্তমান বয়স 2x বছর
প্রশ্নমতে,
2x-3 = 3(x-3)
⇒ 2x-3 = 3x-9
∴ x = 6 বছর।