পাটিগণিত

প্রশ্ন: ১০% হারে সরল সুদে ১২০০ টাকার ৩ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ১২০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ১০%
সুদ, I = ?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
= (১২০০ × ৩ × ১০)/১০০
= ১২০০ × ৩ × (১০/১০০)
= ১২ × ৩ × ১০
= ৩৬০

∴ সুদ = ৩৬০ টাকা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৫' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
এককের স্থানে ৫ আছে: ৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫, ৫৫, ৬৫, ৭৫, ৮৫, ৯৫ (১০টি)
দশকের স্থানে ৫ আছে: ৫০, ৫১, ৫২, ৫৩, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৫৯ (১০টি)

৫৫ সংখ্যাটিতে ৫ অংকটি দুইবার (একক ও দশক উভয় স্থানে) আছে। উপরের তালিকা দুটিতে ৫৫ সংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে এর দুটি ৫-কেই গণনা করা হয়েছে।

∴ মোট ৫ আসার সংখ্যা = ১০ + ১০ = ২০ বার

৩০০০ টাকায় ৮% হারে ৬ বছরের মুনাফা = (৩০০০ × ৮ × ৬) /১০০ = ১৪৪০ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক ২০% হারে ৫০০ টাকা ২ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
মূলধন, P = ৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ২০% = ২০/১০০
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
SI = P × r × n
= ৫০০ × (২০/১০০) × ২
= ২০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায়,
C = P(1 + r)ⁿ
= ৫০০ × (১ + ২০/১০০)^২
= ৫০০ × (১.২০)^২
= ৫০০ × ১.৪৪
= ৭২০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= ৭২০ − ৫০০
= ২২০ টাকা

∴ পার্থক্য = ২২০ − ২০০ = ২০ টাকা

প্রশ্ন: ১০ বছর আগে A-এর বয়স B-এর বয়সের অর্ধেক ছিল। এখন A-এর বয়স ৩০ বছর হলে, B-এর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A এর বর্তমান বয়স = ৩০ বছর

ধরি,
B এর বর্তমান বয়স = ক বছর।

১০ বছর পূর্বে,
A এর  বয়স ছিলো = (৩০ - ১০) = ২০ বছর 
B এর বয়স ছিলো = (ক - ১০) বছর

প্রশ্নমতে,
২০ = (ক - ১০)/২
বা, ২০ × ২ = ক - ১০
বা, ৪০ = ক - ১০
বা, ক = ৪০ + ১০ 
বা, ক = ৫০

অতএব, B এর বর্তমান বয়স = ৫০ বছর।

p মৌলিক সংখ্যা বিধায় পূর্নবর্গ নয়, সুতরাং √p একটি অমূলদ সংখ্যা।

দেওয়া আছে,
মুনাফা, I = ৪৮০ টাকা
আসল, p = ৮০০ টাকা
সুদের হার, r = ৬/১০০
এবং সময়, n = ?

আমরা জানি,
মুনাফা, I = pnr
বা, n = I/pr
বা, n = ৪৮০/(৮০০×৬/১০০)
বা, n = ৪৮০/৪৮
বা, n = ১০

প্রশ্ন: কোনো ভাগ অঙ্কের ভাজক ৭৮, ভাগফল ২৫ এবং ভাগশেষ ০ হলে ভাজ্য কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ভাজক = ৭৮  
ভাগফল = ২৫  
ভাগশেষ = ০  

আমরা জানি, 
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
ভাজ্য = ৭৮ × ২৫ + ০  
= ৭৮ × ২৫
= ১৯৫০

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হারে ১০০০ টাকা ২ বছর ব্যাংকে রাখলে সরল সুদ এবং চক্রবৃদ্ধি সুদের মধ্যে কতটা পার্থক্য হবে?

সমাধান:
মূলধন, P = ১০০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
SI = P × r × n
= ১০০০ × (১/১০) × ২
= ২০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায়,
C = P(1 + r)ⁿ
= ১০০০ × (১ + ১/১০)^২
= ১০০০ × (১১/১০)^২
= ১০০০ × (১১/১০) × (১১/১০)
= ১২১০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= ১২১০ - ১০০০
= ২১০ টাকা

∴ পার্থক্য = ২১০ - ২০০ = ১০ টাকা

১২ মাসে জমা রাখেন = ২৪০০ টাকা।
সুতরাং ১ মাসে জমা রাখেন = ২০০ টাকা।
এখন,
বেতনের ২% = ২০০ টাকা
সুতরাং বেতনের ১% = ১০০ টাকা
সুতরাং বেতনের ১০০% = ১০০০০ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০-১০) = ৯০ টাকা। এবং
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০+৫) = ১০৫ টাকা
দুই বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য (১০৫-৯০) = ১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴   〃     ৪৫০ 〃     〃   〃     〃 (১০০×৪৫০) / ১৫ টাকা
                                         = ৩০০০ টাকা

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় শতকরা ৮৫ জন ইংরেজিতে পাস করেছে। ইংরেজিতে ফেলের মোট সংখ্যা ৭৫ জন হলে, পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
১০০ জনে ফেল করে = (১০০ - ৮৫) জন 
= ১৫ জন 

১৫ জন ইংরেজিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০ জন 
∴ ১ জন ইংরেজিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০/১৫ জন 
∴ ৭৫ জন ইংরেজিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৭৫)/১৫ জন 
= ৫০০ জন 

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫০০ জন । 

মনে করি সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
⇒ ক - ২০% এর ক = ৪৪
⇒ ক - ক/৫ = ৪৪
⇒ ৪ক/৫ = ৪৪
⇒ ক = (৪৪× ৫)/৪ = ৫৫
∴ সংখ্যাটি ৫৫

প্রশ্ন: আজ থেকে ৬ বছর পর কামালের বয়স রিনার বয়সের ৪ গুণ হবে। বর্তমানে কামালের বয়স রিনার বয়সের ৭ গুণ এবং মাহীর বয়স রিনার বয়সের ৬ গুণ। মাহীর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
রিনার বর্তমান বয়স = R বছর
তাহলে,
কামালের বর্তমান বয়স = ৭R বছর
এবং মাহীর বর্তমান বয়স = ৬R বছর

এখন,
৬ বছর পরে, 
কামালের বয়স = ৭R + ৬
রিনার বয়স = R + ৬

প্রশ্নমতে,
৭R + ৬ = ৪(R + ৬)
⇒ ৭R + ৬ = ৪R + ২৪
⇒ ৭R - ৪R = ২৪ - ৬
⇒ ৩R = ১৮
⇒ R = ১৮/৩ = ৬ 
∴ R = ৬

∴ মাহীর বর্তমান বয়স = ৬ × ৬ = ৩৬ বছর

প্রশ্ন: কোনো একটি শ্রেণিতে ১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ বছর। ৫ শিক্ষার্থী নতুন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় হলো ১৩ বছর। নতুন ৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি কত বছর?

সমাধান:
১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ বছর
∴ ১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (১৪ × ১৫) বছর = ২১০ বছর

২০ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৩ বছর
∴ ২০ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (১৩ × ২০) বছর = ২৬০ বছর

∴ ৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (২৬০ - ২১০) বছর
= ৫০ বছর

প্রশ্ন: প্রতি বছর কোনো শহরের লোকসংখ্যার ৭% জন্মগ্রহণ করে এবং ৩% মারা যায়। এক বছরে শহরে ৪০০ জন লোক বৃদ্ধি পেলে ঐ শহরের মোট লোকসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
লোকসংখ্যা বৃদ্ধির হার = (৭ - ৩)%
= ৪%

৪ জন লোক বৃদ্ধি পেলে শহরের লোকসংখ্যা = ১০০ জন
∴ ১ জন লোক বৃদ্ধি পেলে শহরের লোকসংখ্যা = ১০০/৪ জন
∴ ৪০০ জন লোক বৃদ্ধি পেলে শহরের লোকসংখ্যা = (১০০ × ৪০০)/৪ জন
= ১০০০০ জন।

প্রশ্ন: ১৫৬ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৬, ৮ এবং ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ১৫৬ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৬, ৮ এবং ১০ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৬, ৮ এবং ১০ এর ল.সা.গু বের করে ১৫৬ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।
এখন, ৬, ৮ এবং ১০ এর ল.সা.গু = ১২০
১৫৬ কে ১২০ দ্বারা ভাগ করলে,
১২০ × ১ = ১২০ 

অবশিষ্ট = ১৫৬ - ১২০ = ৩৬
যেহেতু ১২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ১২০ - ৩৬ = ৮৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৮৪

এখানে,
p =?
r = ৩% = ৩/১০০,
n = ১২,
I = ১৬২
∴ I = pnr
বা, ১৬২ = p × ১২ × ৩/১০০
বা, p = (১৬২ × ১০০)/(১২ × ৩)
= ৪৫০ টাকা

প্রশ্ন: আপনার ইন্টারনেট সংযোগের মাসিক বিল এসেছে ৫৬০ টাকা। যদি ১ বছর পর ৫% বৃদ্ধি পায় এবং আরাে ৬ মাস পর ১০% বৃদ্ধি পায়, তাহলে ১৮ মাস পর আপনার বিল কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাসিক বিল ৫৬০ টাকা

১ বছর পর ৫% বৃদ্ধিতে বিল = ৫৬০ + ৫৬০ এর ৫/১০০
= ৫৮৮ টাকা

আরো ৬ মাস পর, ১০% বৃদ্ধিতে বিল
= ৫৮৮ + ৫৮৮ এর ১০/১০০
= ৫৮৮ + ৫৮.৮ 
= ৬৪৬.৮ টাকা 

প্রশ্ন: পরীক্ষায় সাকিবের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৭০, ৮৫ ও ৭৫। চতুর্থ পরীক্ষায় তাকে কত নম্বর পেতে হবে যেন তার গড় প্রাপ্ত নম্বর ৮০ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ক

প্রশ্নমতে,
(৭০ + ৮৫ + ৭৫ + ক)/৪ = ৮০
বা, ২৩০ + ক = ৩২০
বা, ক = ৩২০ - ২৩০
∴ ক = ৯০

∴ চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৯০।

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১৪ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার।
∴ কাদায় আছে = ক এর ১/৫ = ক/৫ মিটার
∴ পানিতে আছে = ক এর ১/৩ = ক/৩ মিটার

কাদায় ও পানিতে মোট আছে = (ক/৫ + ক/৩) মিটার
= (৩ক/১৫ + ৫ক/১৫) মিটার
= ৮ক/১৫ মিটার

∴ পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = ক - (৮ক/১৫) মিটার
= (১৫ক - ৮ক)/১৫ মিটার
= ৭ক/১৫ মিটার

প্রশ্নমতে, পানির উপরে অবশিষ্ট অংশ = ১৪ মিটার
∴ ৭ক/১৫ = ১৪
⇒ ৭ক = ১৪ × ১৫
⇒ ক = (১৪ × ১৫)/৭
⇒ ক = ২ × ১৫
⇒ ক = ৩০

∴ বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার।

ধরি, ব্যাসার্ধদ্বয় যথাক্রমে a, b
∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত πa² : πb² = ৯ঃ৪
বা, a² : b² = ৯ঃ৪
∴ a : b = ৩ঃ২

সাহিদার আয় ১৬ টাকা হলে সঞ্চয় (১৬-১২) = ৪ টাকা
সাহিদার আয় ১ টাকা হলে সঞ্চয় ৪/১৬ টাকা
সাহিদার আয় ১০০ টাকা হলে সঞ্চয় ৪×১০০/১৬ টাকা
= ২৫ টাকা‌।

প্রশ্ন: ২৫০ টাকার শতকরা কত সমান ১০ টাকা?

সমাধান:
ধরি, শতকরা হার = ক%

প্রশ্নমতে,
২৫০ টাকার ক% = ১০ টাকা
বা, (২৫০ × ক)/১০০ = ১০
বা, ২৫০ক = ১০০০
বা, ক = ১০০০/২৫০
বা, ক = ৪

সুতরাং, ২৫০ টাকার ৪% = ১০ টাকা

ধরি, ক্রয় মূল্য x টাকা
আমরা জানি, লাভ = বিক্রয় মূল্য - ক্রয় মূল্য
লাভ = x এর ১/৬ অংশ
প্রশ্নমতে, x + x/৬ = ১৬১
x = ১৩৮

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১০ ও ১৫ ঘণ্টায় পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
১০ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১০ অংশ 

১৫ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় (১/১০) + (১/১৫) অংশ
=(৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

দুইটি নল দ্বারা
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায় 
১ অংশ বা সম্পূর্ণ  পূর্ণ হয় (১ × ৬)/১  = ৬ ঘণ্টায়

প্রশ্ন: ৩০০ টাকায় ৫ ডজন কলা কিনে প্রতিটি কলা ৭ টাকায় বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
৫ ডজন = ৫ × ১২ = ৬০ টি কলা

৬০টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০০ টাকা
∴ ১টি কলার ক্রয়মূল্য = (৩০০/৬০) = ৫ টাকা

১টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৭ টাকা

∴ প্রতি কলায় লাভ = ৭ - ৫ = ২ টাকা

∴ শতকরা লাভের হার = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= (২/৫) × ১০০%
= ৪০%

∴ লাভের হার = ৪০%

প্রশ্ন: দুটি পাইপ একটি ট্যাংক ভরতে যথাক্রমে ২০ মিনিট এবং ২৪ মিনিট সময় নেয় এবং অন্য একটি পাইপ প্রতি মিনিটে ৩ গ্যালন পানি বের করে। যখন পাইপ তিনটি একসাথে চালানো হয়, তখন ট্যাংকটি ১৫ মিনিটে ভরে যায়। ট্যাংকের ধারণক্ষমতা কত? 

সমাধান:
ধরি, খালি করার পাইপটি ট্যাংকটি 'ক' মিনিটে সম্পূর্ণ খালি করতে পারে।

প্রশ্নমতে,
(১/২০) + (১/২৪) - (১/ক) = ১/১৫
⇒ ১/ক = (১/২০) + (১/২৪) - (১/১৫)
⇒ ১/ক = ১/৪০
∴ ক = ৪০ মিনিট

যেহেতু খালি করার পাইপ প্রতি মিনিটে ৩ গ্যালন পানি বের করে, তাই ৪০ মিনিটে এটি খালি করতে পারে, 
= ৩ × ৪০ = ১২০ 

∴ ট্যাংকের মোট আয়তন = ১২০ গ্যালন।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল ২১০ হলে, সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলো হলো পর্যায়ক্রমিক।

২১০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করি:
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭

এখন, এই উৎপাদকগুলো থেকে তিনটি ধারাবাহিক সংখ্যা তৈরি করি:
৫ × (২ × ৩) × ৭ = ২১০
⇒ ৫ × ৬ × ৭ = ২১০

এখানে সংখ্যা তিনটি হলো ৫, ৬ এবং ৭।

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৫ + ৬ + ৭
∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১৮

নিয়ম-১ঃ
নতুন মেশানো কমলার রসের পরিমাণ= {60X(2-1)}/1=60 লিটার।

নিয়ম-২ঃ
৬০ লিটার মিশ্রণে আমের রস আছে (৬০×২) / (২+১) = ৪০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস আছে (৬০-৪০) = ২০ লিটার।
মিশ্রণটিতে আম ও কমলার রসের অনুপাত ১:২ হতে হলে কমলার রস থাকতে হবে (৪০×২) = ৮০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস মিশাতে হবে (৮০-২০) = ৬০ লিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
যে সংখ্যাকে ১ ও সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ইত্যাদি। সবচেয়ে ক্ষুদ্র মৌলিক সংখ্যা হলো ২ ।

এখানে,
৯১ ÷ ৭ = ১৩ ; মৌলিক সংখ্যা নয়।
৮১ ÷ ৩ = ২৭ ; মৌলিক সংখ্যা নয়।
৮৯ ÷ ১ = ৮৯ ; মৌলিক সংখ্যা।
৭৭ ÷ ১১ = ৭ ; মৌলিক সংখ্যা নয়।

৮৯ কে ১ এবং ৮৯ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা ছাড়া ভাগ করা যায় না, তাই ৮৯ একটি মৌলিক সংখ্যা।