পাটিগণিত

প্রশ্ন: একজন নির্মাতা এবং একজন খুচরা বিক্রেতা উভয় ২০% লাভে একটি দ্রব্য বিক্রয় করে, যদি ঐ দ্রব্যের নির্মাণ খরচ ৩০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত? 

সমাধান: 
নির্মাতার ২০% লাভে, 
নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা 
∴ নির্মাণ খরচ ১ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা 
∴ নির্মাণ খরচ ৩০০ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = (১২০ × ৩০০)/১০০ টাকা
= ৩৬০ টাকা 

আবার, 
খুচরা বিক্রেতার ২০% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে খুচরা বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে খুচরা বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা হলে খুচরা বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৩৬০)/১০০ টাকা 
= ৪৩২ টাকা 

∴ খুচরা মূল্য = ৪৩২ টাকা । 

৩টি সংখ্যার গড় ৩৩ হলে এদের সমষ্টি = ৩ × ৩৩ = ৯৯
দুইটি সংখ্যা ২৬ এবং ৩৭ হলে অপর সংখ্যাটি হবে = ৯৯ - (২৬ + ৩৭) = ৩৬

(০.১ × ০.০১ × ০.০০৪) / (০.০২ × ০.০০২)
= ০.০০০০০৪ / ০.০০০০৪
= ০.৪ / ৪
= ০.১

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ৫ × ৪ = ২০ টাকা
∴ ১০০ টাকা ৫ বছরে সুদে আসলে হলে (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা।
প্রশ্নমতে, সুদাসল ১২০ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৯০০ টাকা হলে আসল ১০০/১২০ × ৯০০ = ৭৫০ টাকা।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির পারিশ্রমিক তার পুত্রের পারিশ্রমিক অপেক্ষা ২০% বেশি। পুত্রের পারিশ্রমিক পিতার পারিশ্রমিকের শতকরা কত ভাগ? 

সমাধান: 
পুত্রের বেতন ১০০ টাকা হলে পিতার বেতন = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা 

পিতার বেতন ১২০ টাকা হলে পুত্রের বেতন = ১০০ টাকা 
∴ পিতার বেতন ১ টাকা হলে পুত্রের বেতন = ১০০/১২০ টাকা 
∴ পিতার বেতন ১০০ টাকা হলে পুত্রের বেতন = (১০০ × ১০০)/১২০ টাকা 
= ৮৩.৩৩ টাকা 

এখানে, ৭১, ৭৩ সংখ্যা দু’টি মৌলিক সংখ্যা যাদের অন্তরফল ২।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বাস্তব সংখ্যা?

সমাধান:
সঠিক উত্তর - π
কারণ, π একটি অমূলদ সংখ্যা এবং সকল অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত। 

প্রশ্ন: (০.০১)^২ এর মান কোন ভগ্নাংশটির সমান?

সমাধান:
(০.০১)^২
= (১/১০০)^২
= (১/১০০) × (১/১০০)
= ১/১০০০০

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের ৫ গুণ। ৮ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৯ গুণ ছিল। পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বয়স = ক বছর
পিতার বয়স = ৫ক বছর

৮ বছর পূর্বে,
পুত্রের বয়স (ক - ৮) বছর
পিতার বয়স (৫ক - ৮) বছর

প্রশ্নমতে,
৫ক - ৮ = ৯ (ক - ৮)
বা, ৫ক - ৮ = ৯ক - ৭২
বা, ৯ক -  ৫ক = ৭২ - ৮
বা, ৪ক= ৬৪
বা, ক = ৬৪/৪
বা, ক = ১৬

∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫ × ১৬) বছর = ৮০ বছর

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য 130 মিটার এবং গতি ঘণ্টায় 45 কিলোমিটার। ট্রেনটি 30 সেকেন্ডে যে সেতুটি পার হয়, সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 130 মিটার
গতি = 45 কিমি/ঘণ্টা
সময় = 30 সেকেন্ড

আমরা জানি, 
গতি = দূরত্ব × সময় = (45 × 1000)/(60 × 60) = 12.5 মিটার/সেকেন্ড

আবার, 
৩০ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব 
= 12.5 × 30= 375 মিটার

আমরা জানি, 
মোট দূরত্ব = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য)
⇒ সেতুর দৈর্ঘ্য = মোট দূরত্ব - ট্রেনের দৈর্ঘ্য
= 375 - 130 = 245 মিটার

সুতরাং, সেতুর দৈর্ঘ্য = 245 মিটার

মনে করি,
জুইয়ের বয়স = ৫a বছর
জিসানের বয়স = ৪a বছর
প্রশ্নমতে,
৪a + ৮ = ২৪
বা, ৪a = ১৬
∴ a = ৪
∴ জুইয়ের বর্তমান বয়স = ৫ × ৪
= ২০ বছর

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স তার ছেলের বয়সের চারগুণ। ৬ বছর আগে পিতার বয়স ছেলের বয়সের ছয়গুণ ছিল। ছেলের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, ছেলের বর্তমান বয়স = ক বছর
পিতার বর্তমান বয়স = ৪ক বছর

৬ বছর আগে,
ছেলের বয়স = ক - ৬
পিতার বয়স = ৪ক - ৬

প্রশ্নমতে,
৪ক - ৬ = ৬(ক - ৬)
⇒ ৪ক - ৬ = ৬ক - ৩৬
⇒ ৬ক - ৪ক = ৩৬ - ৬
⇒ ২ক = ৩০
⇒ ক = ১৫

∴ ছেলের বর্তমান বয়স = ১৫ বছর

সমাধান:
মনে করি, সুলেমানের মোট সম্পত্তির পরিমান = ১ অংশ

জমি ক্রয় করেন = ৩/৭ অংশ টাকা দিয়ে
এবং বাড়ি ক্রয় করেন = (৩/৭) × (১/৩) = ১/৭ অংশ টাকা দিয়ে।

∴ জমি ও বাড়ি ক্রয় করার পর অবশিষ্ট রইল = ১ - (৩/৭) - (১/৭) অংশ
= {(৭ - ৩ - ১)/৭}
= (৭ - ৪)/৭
= ৩/৭ অংশ

ক, খ এবং গ রাশি তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী হলে মধ্যসমানুপাতী হবে, খ^২ = ক×গ
বা, খ = √(ক×গ)
সুতরাং ১৬ এবং ২৫ এর মধ্যসমানুপাতী = √(১৬×২৫)
= ৪×৫
= ২০.

(০.২ + ০.৪ + ১ + x)/৪ = ০.৬
বা, x + ১.৬ = ২.৪
বা, x = ২.৪ - ১.৬
= ০.৮

৮০০ টাকায় ৩ বছরের মুনাফা (৯২০ - ৮০০) = ১২০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ১ বছরের মুনাফা (১০০ × ১২০)/(৮০০ × ৩) = ৫ টাকা
সুদের হার ৩% বৃদ্ধি পেয়ে নতুন সুদের হার (৫ + ৩)% = ৮% 
∴ ৮০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা = (৮০০ × ৮ × ৩)/১০০ = ১৯২ টাকা
∴৮০০ টাকার ৩ বছরের সুদে-আসলে (৮০০ + ১৯২) = ৯৯২ টাকা

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ১২ বৎসরে সুদে-আসলে ৭ গুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৭ গুণ = ৭x টাকা 
∴ সুদ = (৭x - x) টাকা 
= ৬x টাকা 

x টাকার ১২ বৎসরের সুদ = ৬x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ৬x/(x × ১২) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (৬x × ১০০)/(x × ১২) টাকা 
= ৫০ টাকা 

∴ সুদের হার = ৫০% ।

সঞ্চয় = ৫০০০ - ৪৫০০ = ৫০০ টাকা।
∴ আয় ∶ সঞ্চয় = ৫০০০ ∶ ৫০০ = ১০ ∶ ১

প্রশ্ন: চিনির মূল্য ১০% কমে যাওয়ায় চিনির ব্যবহার শতকরা কত ভাগ বাড়ালে চিনি বাবদ খরচ একই থাকবে?

সমাধান:
মনেকরি,
চিনির মূল্য ১০০ টাকা
১০% কমে চিনির মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা

বর্তমান মূল্য ৯০ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০/৯০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকায় পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/৯০
= ১১১(১/৯) টাকা

∴ চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে = [(১০০০/৯) - ১০০]%
= (১০০/৯)%
​= ১১.১১%

২, ৩, ৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০
এখন,
৬০)৯৯৯৯৯৯(১৬৬৬৬
       ৯৯৯৯৬০
              ৩৯
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৩৯ = ২১

প্রশ্ন: টাকায় ৩টি করে আপেল কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
৩টি আপেলের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আপেলের ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা

আবার,
২টি আপেলের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আপেলের ক্রয়মূল্য ১/২ টাকা

∴ লাভ = (১/২ – ১/৩) টাকা
= (৩ - ২)/৬ টাকা
= ১/৬ টাকা

এখন,
১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১ × ৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১ × ৩ × ১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা

 ∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?

সমাধান:
√০.৩ = ০.৫৪
 ০.৩ = ০.৩
১/৩ = ০.৩৩
১/৫ = ০.২

সুতরাং, √০.৩ সংখ্যাটি বৃহত্তম। 

প্রশ্ন: কোনো শহরের জনসংখ্যা ১২০০০০ জন। যদি জনসংখ্যা বার্ষিক ৫% হারে বৃদ্ধি পায়, তবে ২ বছর পর জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
বর্তমান জনসংখ্যা, P = ১২০০০০ জন 
সময়, n = ২ এবং r = ৫%

n বছর পরের জনসংখ্যা = P{1 + (r/100)}ⁿ
= ১২০০০০ × {১ + (৫/১০০)}^২ জন
= ১২০০০০ × (১০৫/১০০)^২ জন
= ১২০০০০ × (১০৫/১০০) × (১০৫/১০০) জন
=  ১৩২৩০০ জন

প্রশ্ন: ১২টি হাঁসের মূল্য ৪টি মুরগির মূল্যের সমান। ৩টি মুরগির মূল্য ২৭০০ টাকা হলে ৮টি হাঁসের মূল্য কত?

সমাধান:
৩টি মুরগির মূল্য ২৭০০ টাকা
১টি মুরগির মূল্য ২৭০০/৩ টাকা
∴ ৪টি মুরগির মূল্য = (২৭০০ × ৪)/৩ টাকা 
= ৩৬০০ টাকা

১২টি হাঁসের মূল্য ৩৬০০ টাকা
∴ ১টি হাঁসের মূল্য ৩৬০০/১২ টাকা
∴ ৮টি হাঁসের মূল্য (৩৬০০ × ৮)/১২ টাকা
 = ২৪০০ টাকা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। ১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৭ গুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনে করি, বর্তমানে পুত্রের বয়স = ক বছর।
তাহলে, বর্তমানে পিতার বয়স = (৬০ - ক) বছর।

১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = (ক - ১০) বছর।
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = (৬০ - ক - ১০)
= (৫০ - ক) বছর।

প্রশ্নমতে,
৫০ - ক = ৭(ক - ১০)  
⇒ ৫০ - ক = ৭ক - ৭০  
⇒ ৫০ + ৭০ = ৭ক + ক  
⇒ ১২০ = ৮ক  
⇒ ক = ১২০/৮  
⇒ ক = ১৫

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ১৫ বছর।
পিতার বর্তমান বয়স = ৬০ - ১৫ = ৪৫ বছর।

সুতরাং, বর্তমানে পুত্রের বয়স ১৫ বছর এবং পিতার বয়স ৪৫ বছর।

প্রশ্ন: কোনটি বাস্তব সংখ্যা নয়?  

সমাধান: 
খ) √- ১৬ বাস্তব সংখ্যা নয়। 
কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল একটি অবাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যা।
অর্থাৎ,
√- ১৬ 
= √(১৬ × i^২)
= ৪i  ; যা একটি অবাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যা। 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের যোগফল ৮৪০ । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ক
বৃহত্তম সংখ্যা = ৪ক 

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক = ৮৪০
⇒ ৭ক = ৮৪০
⇒ ক = ৮৪০/৭
⇒ ক = ১২০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪ × ১২০ = ৪৮০

প্রশ্ন: ৩/৭, ৪/৫, ২/৩৫  এর গ. সা. গু কত?

সমাধান:
এখানে,
ভগ্নাংশের লবগুলো হলো = ৩, ৪, ২
ভগ্নাংশের হরগুলো হলো = ৭, ৫, ৩৫
এখানে,
৩, ৪, ২ লবগুলোর গ. সা. গু = ১
৭, ৫, ৩৫ হরগুলোর ল. সা. গু = ৩৫


আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ. সা. গু = লবগুলোর গ. সা. গু/হরগুলোর ল. সা. গু
= ১/৩৫

প্রশ্ন: আলীর এর কাছে ৫২০ টাকা আছে। এর সাথে কত টাকা যোগ করলে সে সমস্ত টাকাকে ৪, ৫ অথবা ৬ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিতে পারবে?

সমাধান:
৪, ৫, ৬ এর লসাগু = ৬০

৫২০ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ৪০ থাকে।

∴ যোগ করতে হবে = ৬০ - ৪০ = ২০