পাটিগণিত

প্রশ্ন: যদি একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২০ মিনিট করে সময় বেশি দেখায়, তাহলে কতদিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দিবে?

সমাধান:
যদি কোন ঘড়ি সময় বেশি দেখাতে থাকে তাহলে তাকে সঠিক সময় দিতে হলে ১২ ঘণ্টা বা ৭২০ মিনিট সময় বেশি দেখাতে হবে।

এখন,
ঘড়িটি ২০ মিনিট বেশি দেখায় ১ দিনে
∴ ঘড়িটি ৭২০ মিনিট বেশি দেখাবে (১ × ৭২০)/২০ দিনে
= ৩৬ দিনে

∴ ৩৬ দিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দিবে।

এখানে তামা ও সোনার অনুপাত = ৩ঃ১।
সুতরাং মোট মিশ্রণের অনুপাত = ৩+১ = ৪
মিশ্রণে সোনার অনুপাত = ৩/৪ × ১৬ গ্রাম
= ১২ গ্রাম।
এবং মিশ্রণে তামার অনুপাত = ১/৪ × ১৬ গ্রাম = ৪ গ্রাম।
নতুন মিশ্রণে সোনা মিশাতে হবে, (১২+ক)/৪ = ৪/১
বা, ১২+ক = ১৬
বা, ক = ১৬-১২
বা, ক = ৪ গ্রাম।

প্রশ্ন: কোনো আসল ৫ বছরে মুনাফা-আসলে ৩৯০০ টাকা হয়। মুনাফা আসলের ৪/৯ অংশ হলে মুনাফার হার কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ৯ টাকা
মুনাফা = ৪ টাকা
∴ মুনাফা-আসল = ১৩ টাকা

মুনাফা-আসল ১৩ টাকা হলে মুনাফা = ৪ টাকা
মুনাফা-আসল ১ টাকা হলে মুনাফা = ৪/১৩ টাকা
মুনাফা-আসল ৩৯০০ টাকা হলে মুনাফা = (৪× ৩৯০০)/১৩ টাকা
= ১২০০ টাকা

∴ আসল = (৩৯০০ - ১২০০) = ২৭০০ টাকা

এখন, 
২৭০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা = ১২০০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের মুনাফা = ১২০০/(২৭০০ × ৫)টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা = (১২০০ × ১০০)/(২৭০০ × ৫)টাকা
= ৮.৮%

প্রশ্ন: ১২ জন শ্রমিক একটি দেয়াল ১৫ দিনে তৈরি করতে পারে। একই দেয়াল ৪৫ দিনে তৈরি করতে চাইলে কত জন শ্রমিক ছাঁটাই করা প্রয়োজন?

সমাধান:
১৫ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে শ্রমিক লাগে ১২ জন
১ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে শ্রমিক লাগে = (১৫ × ১২) জন
∴ ৪৫ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে শ্রমিক লাগে =  (১৫ × ১২)/৪৫ জন
= ১৮০/৪৫ জন
= ৪ জন

∴ শ্রমিক ছাঁটাই করা প্রয়োজন = (১২ - ৪) = ৮ জন

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ. সা. গু 3 ও ল. সা. গু 11880। একটি সংখ্যা 297 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গ. সা. গু 3
এবং ল. সা. গু 11880
একটি সংখ্যা 297

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুনফল = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু
বা, 297 × অপর সংখ্যা = 11880 × 3
বা, অপর সংখ্যা = 35640/297
∴ অপর সংখ্যা = 120

৩০ ও ৮০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ৭৯
৩০ ও ৮০ ক্ষুদ্রতম এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ৩১
∴ তাদের পার্থক্য = ৭৯ - ৩১ = ৪৮

প্রশ্ন: টাকায় ১০টি ও টাকায় ১৫টি করে সমান সংখ্যক লিচু কিনে সব লিচু টাকায় ১২টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১০টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/১০ টাকা 

১৫টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/১৫ টাকা 

(১ + ১)টি বা ২টি লিচুর ক্রয়মূল্য = (১/১০) + (১/১৫) টাকা 
২টি লিচুর ক্রয়মূল্য =(৩ + ২)/৩০ টাকা 
২টি লিচুর ক্রয়মূল্য= ৫/৩০ টাকা 
২টি লিচুর ক্রয়মূল্য= ১/৬ টাকা 
১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/(২× ৬)
= ১/১২ টাকা 

১২টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১/১২ টাকা 

১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য
লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না

প্রশ্ন: দুটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে একটি অপরটির দিকে চলছে। যদি একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১২০ মি. হয় এবং তারা একে অপরকে ১২ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। প্রত্যেক ট্রেনের গতিবেগ ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা হলে অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ক মি.
আপেক্ষিক বেগ = (৩৬ + ৩৬) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৭২ কি.মি./ঘণ্টা
= ৭২ × (৫/১৮) মি./সে.
= ২০ মি./সে.

সময় = ১২ সে.
∴ মোট দূরত্ব = (ক + ১২০) মি.

আমরা জানি,
দূরত্ব = সময় × বেগ
বা, ক + ১২০ = ১২ × ২০
বা, ক + ১২০ = ২৪০
বা, ক = ২৪০ - ১২০
∴ ক = ১২০ মি.

প্রশ্ন: ৩২৪ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৩২৪ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩
= ২^২ × ৩^৪ 

এখানে,
২ এর সূচক ২ এবং ৩ এর সূচক ৪।
এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৪ + ১)
= ৩ × ৫
= ১৫ 

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ১৫।

প্রশ্ন: ৫০ কেজি মিশ্রণে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত ৪ : ১। মিশ্রণটিতে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট মিশ্রণ = ৫০ কেজি
বালি : সিমেন্ট = ৪ : ১

∴ মোট অংশ = ৪ + ১ = ৫ অংশ
প্রতি অংশের পরিমাণ = ৫০/৫ = ১০ কেজি

এখন, বালির পরিমাণ = (৪ × ১০) কেজি = ৪০ কেজি
সিমেন্টের পরিমাণ = (১ × ১০) কেজি = ১০ কেজি

সুতরাং, মিশ্রণে বালি ৪০ কেজি এবং সিমেন্ট ১০ কেজি।

বিনিয়োগকারীর মধ্যে ভাগের অনুপাত = ১ঃ২ঃ৪
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ৪ = ৭ 
∴ বৃহত্তম অংশ = ২১,০০০ এর ৪/৭ = ১২,০০০ টাকা

দেওয়া আছে,
পিতার বয়স ৫৬ বছর
পিতার বয়স ঃ পুত্রের বয়স = ১৪ঃ৩
∴ পুত্রের বয়স = (৩/১৪) × পিতার বয়স
= (৩/১৪) × ৫৬
= ১২ বছর
∴ পুত্রের বয়স ১২ বছর।

প্রশ্ন: কোনো স্থানে ৩ কি.মি./ঘণ্টা বেগে গিয়ে এবং ২ কি.মি./ঘণ্টা বেগে ফিরে আসতে মোট সময় লাগে ১৫ ঘণ্টা। তবে যাত্রা পথের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
মোট দুরত্ব = ক কি.মি.

প্রথমে ৩ কি.মি. যায় = ১ ঘণ্টায়
∴ ক কি.মি. যায় = ক/৩ ঘণ্টায়

আবার,
২ কি.মি./ঘন্টা ফিরে আসে = ১ ঘণ্টায়
ক কি.মি./ঘন্টা ফিরে আসে= ক/২ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + (ক/২) = ১৫
বা, (২ক + ৩ক)/৬ = ১৫
বা, ৫ক/৬ = ১৫
বা, ৫ক = ১৫ × ৬
বা, ক = ৯০/৫
∴ ক = ১৮ কি.মি.

-{(-x) - (-y)}
= -(-x + y)
= x - y

এবং -(z - y)
= y - z

∴ যোগফল = x - y + y - z
= x - z

প্রশ্ন: পিতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় অপেক্ষা মাতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় ২ বছর কম। মাতার বয়স ৩২ বছর হলে পিতার বয়স কত?

​সমাধান:
ধরি, 
​পিতার বয়স = ক বছর 
​২ পুত্রের বয়স = খ বছর 
​
​∴ পিতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় = (ক + খ)/৩ বছর 
এবং 
​মাতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় = (৩২ + খ)/৩ বছর

​প্রশ্নমতে,
​(৩২ + খ)/৩ = {(ক + খ)/৩} - ২
​⇒ (৩২ + খ)/৩ = {(ক + খ) - ৬}/৩
⇒ ​৩(৩২ + খ) = ৩(ক + খ - ৬)
​⇒ ​৩২ + খ = ক + খ - ৬
⇒ ​ক = ৩২ + খ - খ + ৬
​⇒ ​ক = ৩৮
​
∴ ​পিতার বয়স = ৩৮ বছর 

প্রশ্ন: কামরুল সাহেব ২০০০০ টাকা একটি সঞ্চয়পত্রে জমা রাখলেন। ৬ বছর পর তিনি আসল টাকার ৩/৫ অংশ সুদ পেলেন। বার্ষিক সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
আসল টাকা, P = ২০০০০ টাকা
সময়, n = ৬ বছর
সুদ = (৩/৫) × ২০০০০ = ১২০০০ টাকা
সুদের হার, r = ?

আমরা জানি,
SI = (P × r × n)/১০০
⇒ ১২০০০ = (২০০০০ × r × ৬)/১০০
⇒ ১২০০০ = (১২০০০০ × r)/১০০
⇒ ১২০০০ × ১০০ = ১২০০০০ × r
⇒ ১২০০০০০ = ১২০০০০ × r
⇒ r = ১২০০০০০/১২০০০০
⇒ r = ১২০/১২০
∴ r = ১০

∴ সুদের হার ১০%

২০০ টাকায় ক্ষতি হয় (২০০ - ১৮০) = ২০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (২০×১০০) / ২০০ = ১০ টাকা

গাছটির বর্তমান উচ্চতা = P
ধরি,
n বছর আগে গাছটির উচ্চতা = Q
প্রশ্নমতে,
P = Q (1 + r/100)ⁿ
» Q = P/(1 + r/100)ⁿ

অর্থ্যাৎ, n বছর আগে গাছের উচ্চতা ছিল = P/(1 + r/100)ⁿ

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার দ্বিতীয়টি হলো প্রথমটির দ্বিগুণ এবং তৃতীয়টির তিনগুণ। তিনটি সংখ্যার গড় ৪৪ হলে, সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ক
∴ প্রথম সংখ্যাটি = ক/২ এবং তৃতীয় সংখ্যাটি = ক/৩
দেওয়া আছে,
তিনটি সংখ্যার গড় ৪৪
∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল = ৪৪ × ৩ = ১৩২

 শর্তমতে, ক + (ক/২) + (ক/৩) = ১৩২
⇒ (৬ক + ৩ক + ২ক)/৬ = ১৩২
⇒ ১১ক/৬ = ১৩২ 
⇒ ক = (১৩২ × ৬)/১১
⇒ ক = ১২ × ৬
⇒ ক = ৭২

∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি = ৭২/৩ = ২৪

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ফোন ১২০০ টাকায় ক্রয় করে ১৫% লাভে বিক্রয় করা হয়। যদি ক্রয়মূল্য ১৫% কম হতো তাহলে লাভের পরিমাণ কত হতো?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক্রয়মূল্য = ১২০০ টাকা
লাভ = ১৫%

∴ বিক্রয়মূল্য = ১২০০ × (১১৫/১০০) 
= ১২ × ১১৫
= ১৩৮০ টাকা

আবার, 
নতুন ক্রয়মূল্য = ১২০০ এর ৮৫%   ; [১৫% কম]
= ১২০০ × (৮৫/১০০)
= ১২ × ৮৫
= ১০২০ টাকা

∴ নতুন লাভের পরিমাণ = বিক্রয়মূল্য - নতুন ক্রয়মূল্য
= ১৩৮০ - ১০২০
= ৩৬০ টাকা

অতএব, ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে লাভের পরিমাণ হবে ৩৬০ টাকা।

৬০ ও ৮০ এর ভিতরে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার যথাক্রমে ৭৯ ও ৬১
সংখ্যা ২ টার অন্তর (৭৯-৬১)= ১৮

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা মুনাফার হার ১২.৫ টাকা হলে, ২০,০০০ টাকার ৫ বছরের সরল মুনাফা কত হবে?

সমাধান,
দেওয়া আছে,
আসল (P) = ২০,০০০ টাকা,
সময় (n) = ৫ বছর,
মুনাফার হার (r) = ১২.৫

∴ মুনাফা (I) = ?
 
আমরা জানি,
I = Prn/১০০ টাকা
= (২০,০০০ × ৫ × ১২.৫)/১০০ টাকা
= ১২,৫০০ টাকা,

∴ মুনাফা (I) = ১২,৫০০ টাকা।

১০ টাকা মুনাফা হয় ১ বছরে ১০০ টাকায়
১৪০ টাকা মুনাফা হয় ৪ বছরে = (১০০×১৪০) / (১০×৪)
= ৩৫০ টাকা 

প্রশ্ন: ২/৩, ৩/৫ ও ৪/৭ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = (লব গুলোর ল.সা.গু.)/(হর গুলোর গ.সা.গু.)

এখানে,
লব ২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু. = ১২ 
এবং হর ৩, ৫ ও ৭ এর গ.সা.গু. = ১

∴ ল.সা.গু. = ১২/১ = ১২ 

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর ক্ষেত্রফল = a²
২৫% বৃদ্ধিতে বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২৫a/১০০ = ৫a/৪
এক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল = (৫a/৪)²
= ২৫a²/১৬

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (২৫a²/১৬) - a²
= (২৫a² - ১৬a²)/১৬
= ৯a²/১৬

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (৯a² × ১০০)/১৬a²
= ৫৬.২৫%

প্রশ্ন: কোন একটি পণ্যকে নির্মাতা ৪০% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ পণ্যের নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হয়, তাহলে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্যের নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা
নির্মাতা ৪০% লাভে বিক্রয় করলে,
বিক্রয়মূল্য = ২০০ + ২০০ এর ৪০% = ২০০ + ৮০ 
= ২৮০ টাকা

এখন, নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ২৮০ টাকা
আবার,
খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করলে,
বিক্রয়মূল্য = ২৮০ + ২৮০ এর ২০% = ২৮০ + ৫৬ টাকা
= ৩৩৬ টাকা

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে 8 যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির তিনগুণ থেকে 77 বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = P

শর্তমতে,
(P/2) + 8 = 3P - 77
⇒ 3P - (P/2) = 77 + 8
⇒ (6P - P)/2 = 85
⇒ 5P/2 = 85
⇒ 5P = 85 × 2
⇒ 5P = 170
⇒ P = 170/5
∴ P = 34

∴ সংখ্যাটি 34 ।

এখানে ক্রয়মূল্যের চেয়ে বিক্রয়মূল্যের পরিমাণ কম। তাই ক্ষতি হবে। সুতরাং ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
= ৫-৪ = ১
সুতরাং শতকরা ক্ষতি = ক্ষতি/ক্রয়মূল্য × ১০০
= ১/৫ × ১০০
= ২০%

C = ৮০০(১ + ২৫%)^২
C = ৮০০ × ১২৫ × ১২৫ ÷ (১০০ × ১০০)
C = ১২৫০
নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১২৫০ - ৮০০ = ৪৫০

প্রশ্ন: ২০টি কমলা ৮০ টাকায় বিক্রি করায় ২০% লাভ হলো। তাহলে প্রতি ডজন কমলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% লাভে, বিক্রয় মূল্য = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (৮০ × ১০০)/১২০ টাকা
= ৮০০০/১২০ = ২০০/৩ টাকা

এখন,
২০ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০০/৩ টাকা
∴ ১ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০০/(৩ × ২০)  টাকা
∴ ১২ টি কমলার ক্রয়মূল্য = (২০০ × ১২)/(৩ × ২০) টাকা
= ৪০ টাকা

0.001 / (0.1 X 0.1)
= 0.001 / 0.01
= 0.1

Speed downstream = (5 + 1) kmph = 6 kmph
Speed upstream = (5 - 1) kmph = 4 kmph
Let the required distance be x km
Then,
(x/6)+(x/4) = 1
⇒ 2x + 3x = 12
⇒ 5x = 12
⇒ x = 2.4 km