পাটিগণিত

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যা থেকে যথাক্রমে ৪০% ও ২৫% কম। প্রথম সংখ্যাটি দ্বিতীয় সংখ্যাটির তুলনায় শতকরা কত ছোট?

সমাধান:
ধরি,
তৃতীয় সংখ্যাটি = ১০০
সুতরাং ১ম সংখ্যাটি = ১০০ - ৪০ = ৬০
এবং ২য় সংখ্যাটি = ১০০ - ২৫ = ৭৫

প্রথম সংখ্যাটি ছোট ৭৫ - ৬০ = ১৫

৭৫ তে কম ১৫
∴ ১ তে কম ১৫/৭৫
∴ ১০০ তে কম (১৫ × ১০০)/৭৫ = ২০

∴ শতকরা ছোট = ২০%

এখানে,
এসিড : পানি = ৩ : ১ তাহলে এসিডের পরিমাণ
= ৩/৪ × ৩২ লিটার
= ২৪ লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ১/৪ × ৩২ লিটার
= ৮ লিটার।

সুতরাং শর্তমতে,
দ্বিতীয় অনুপাতে এসিডের পরিমাণ একই থাকবে এবং শুধু পানির পরিমাণ পরিবর্তন হবে।
২৪/(৮ + ক) = ৩/২
বা, ৮/(৮ + ক) = ১/২
বা, ৮ + ক = ১৬
বা, ক = ৮ লিটার।

প্রশ্ন:
 


সমাধান:

সঠিক উত্তর: ক 

অনুপাতদ্বয়ের বিয়োগফল ৭-১ = ৬
দুধের পরিমাণ ৬ লিটার বেশি হয় পানি ১ লিটার হলে
∴ দুধের পরিমাণ ১২ লিটার বেশি হয় পানি (১X১২)/৬ লিটার=২ লিটার

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হলে‌ অর্থাৎ ১ ভিন্ন কোন সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে তাদেরকে একত্রে সহ-মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন- (৩, ৪), (৮, ৯), (৬, ১৩) (৯,১৬), (১৬, ২৫) ইত্যাদি।
এখানে, ৩ = ১ × ৩
৪ = ১ × ২ × ২
যেহেতু ১ ভিন্ন কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই সুতরাং (৩, ৪) পরস্পর সহ-মৌলিক।

মনে করি,
১০ টি ডিমের ক্রয়মূল্য x টাকা
∴ ১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য x/১০ টাকা
আবার,
১ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = x/৮ টাকা
∴ লাভ = (x/৮) - (x/১০) = x/৪০ টাকা
x/১০ টাকায় লাভ হয় ২x/৪০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (x × ১০ × ১০০)/(৪০ × x)
= ২৫ টাকা

স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে ৮০/(১৫+৫) = ৪ ঘন্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগবে ৮০/(১৫-৫) = ৮ ঘন্টা।
সুতরাং, যেতে আসতে মোট সময় লাগবে ৪+৮ = ১২ ঘন্টা।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৩ টাকা হারে সরল সুদে ১৮০০ টাকা ২ বছরে সুদে-আসলে কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ১৮০০ টাকা
সুদের হার, R = ৩% = ৩/১০০
সময়, N = ২ বছর

আমরা জানি,
সুদ, I = PNR
= (১৮০০ × ২ × ৩)/১০০ 
= ১৮ × ৬
= ১০৮

∴ সুদ-আসল = I + p = (১০৮ + ১৮০০) টাকা 
= ১৯০৮ টাকা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩২ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৮ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু।
সুতরাং ১২, ১৮, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু এর সাথে ভাগশেষ ৮ যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩
৩২ = ২^৫

ল.সা.গু = ২^৫ × ৩^২ = ২৮৮

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ভাগশেষ
= ২৮৮ + ৮
= ২৯৬

১০% বৃদ্ধিতে লোকসংখ্যা হবে = ১০০+১০ = ১১০ জন।

বর্তমানে ১১০ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০ জন
বর্তমানে ১ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০/১১০ জন
বর্তমানে ১৬৫০ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০ × ১৬৫০/১১০ জন।
= ১৫০০ জন।

ধরি,
তিশার বয়স ৫ক বছর এবং আশার ৪ক বছর।
শর্তমতে, ৫ক = ৩০
বা, ক = ৬
সুতরাং ৪ক = ৪×৬ = ২৪ বছর।

প্রশ্ন: চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ২৫, ৩০, ৪০ ও ৪৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২৫ = ৫^২
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২^৩ × ৫
৪৫ = ৩^২ × ৫

∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ × ৫^২
= ১৮০০ সেকেন্ড

আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ সময় = ১৮০০/৬০ মিনিট = ৩০ মিনিট।

∴ ৩০ মিনিট পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: যদি ২০ জন ছাত্র গণিতে গড়ে ৭৫ নম্বর পায় এবং ৩০ জন ছাত্র গড়ে ৮৫ নম্বর পায়, তাহলে মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
২০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭৫ × ২০) = ১৫০০
৩০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৮৫ × ৩০) = ২৫৫০
মোট ছাত্র সংখ্যা = ২০ + ৩০ = ৫০
মোট প্রাপ্ত নম্বর = ১৫০০ + ২৫৫০ = ৪০৫০

সুতরাং, ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর = ৪০৫০/৫০
= ৮১

অতএব, মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৮১।

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, (x এর ২৭%) - ২৭ = ২৭
বা, (x × ২৭/১০০ = ২৭ + ২৭
বা, x = (৫৪ × ১০০)/২৭
বা, x = ২০০
∴ x = ২০০

২৫০ × ১/২% + ১০০
= ২.৫ × ০.৫ + ১০০
= ১.২৫ + ১০০
= ১০১.২৫

সংখ্যাটি, (৬৫০+৮২০)/২ = ৭৩৫

প্রশ্ন: সুমন সাহেব প্রতি বছর তার আয়ের ২০% সঞ্চয় করেন। যদি পরের বছর তার আয় ১০% বৃদ্ধি পায়, তবে ঐ বছর তার সঞ্চয় শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
সমুনের আয় = ১০০ টাকা
সঞ্চয় করেন = ১০০ এর ২০%
= ১০০ এর ২০/১০০
= ২০ টাকা

২য় বছর সুমনের আয় = ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + ১০০ এর ১০/১০০
= ১০০ + ১০
= ১১০ টাকা

২য় বছর সুমনের সঞ্চয় = ১১০ এর ২০%
= ১১০ এর ২০/১০০
= ২২ টাকা

∴ সঞ্চয় বৃদ্ধি = ২২ - ২০ = ২ টাকা

∴ সঞ্চয় শতকরা বৃদ্ধি পাবে = {(২/২০) × ১০০%}
= ১০% 

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৪ টাকা সুদে ৩ বছরে ৬৫০০ টাকার সরল সুদের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ৪% = ৪/১০০
সময়, n = ৩ বছর
আসল, p = ৬৫০০ টাকা 
সুদ = I

 ∴ I = pnr
= (৬৫০০ × ৩ × ৪)/১০০
= (৬৫ × ১২)
= ৭৮০ টাকা  

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৫৯ হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বর্গের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা:
ক,  ক + ১, ক + ২

তাদের যোগফল দেওয়া আছে:
ক,  ক + ১, ক + ২ = ১৫৯
⇒ ৩ক + ৩ = ১৫৯
⇒ ৩ক = ১৫৬
⇒ ক = ১৫৬/৩
⇒ ক = ৫২

সংখ্যাগুলো:
৫২, ৫৩, ৫৪

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বর্গের পার্থক্য:
৫৪^২ - ৫২^২
= (৫৪ + ৫২)(৫৪ - ৫২) [a² - b² = (a + b)(a - b) সূত্র ব্যবহার করে]
= ১০৬ × ২
= ২১২

প্রশ্ন: কতজন শিশুর মধ্যে কোনো ফল না ভেঙ্গে ১১৫টি কমলা এবং ১৩৫টি কলা ভাগ করে দেয়া যায়?

সমাধান: 
১১৫ এর গুণিতক ৫, ২৩
এবং ১৩৫ এর গুণিতক ৫, ২৭

∴ ১১৫ ও ১৩৫ এর গ.সা.গু = ৫

অতএব, ৫ জন শিশুর মধ্যে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪.৫% লাভে কত টাকা বিনিয়োগ কররে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে?

সমাধান:
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৪.৫ × ৪) টাকা =১৮ টাকা

সুদাসল = (১০০ + ১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা

সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
সুদাসল ১ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল = (১০০ × ৮২৬)/১১৮ টাকা
= ৭০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৭ : ৪ কে শতকরায় প্রকাশ করলে কত হবে?

সমাধান: 
এখানে, 
৭ : ৪
= ৭/৪

∴ শতকরায় প্রকাশ করলে,
= (৭/৪) × ১০০%
= (৭ × ২৫)%
= ১৭৫% 

প্রশ্ন: যদি x : y = 4 : 3, y : z = 5 : 4 এবং x = 200 হয়, তবে z এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
x : y = 4 : 3,  y : z = 5 : 4 এবং x = 200

এখন,
x : y = 4 : 3 
⇒ x/y = 4/3
⇒ 200/y = 4/3 [x = 200]
⇒ y = 200 × (3/4)
∴ y = 150

আবার,
y : z = 5 : 4
⇒ y/z = 5/4
⇒ 150/z = 5/4
⇒ z = 150 × (4/5)
∴ z = 120

ট্রেনের বেগ = ৭৮ কি.মি./ ঘন্টা
= (৭৮ × ১০০০)/৩৬০০ = ২১.৬৭ মি/সে.
এখন ১ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ২১.৬৭ মি
∴ ১ মিনিটে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ২১.৬৭ × ৬০ = ১৩০০ মি.
প্রশ্নমতে, ট্রেনের দের্ঘ্য + প্লাটফরমের দৈর্ঘ্য = ১৩০০ মি.
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (১৩০০ – ৯০০) মি. = ৪০০

৬ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ১০২ এবং শেষ তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ৯৯৬।
শেষ তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ৯৯৬ হবে এটা বোঝার উপায় হচ্ছে  শেষ তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ৯৯৯ কে ৬ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে।
কাজেই ৯৯৯ থেকে ৩ বাদ দিলে ৯৯৬ পাওয়া যায়।

সুতরাং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে মোট সংখ্যা
= {(৯৯৬ - ১০২)/৬ + ১} টি
= ১৫০ টি।
এই ১৫০ টির প্রতিটি জোড় সংখ্যা।
সুতরাং, জোড় সংখ্যাগুলো বাদ রেখে তিন অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে -
= (১৫০ - ১৫০) টি
= ০ টি

(৭৩৮ + ৮৩৪)/২
= ৭৮৬ যেখানে,
৭৮৬ - ৭৩৮ = ৮৩৪ - ৭৮৬
= ৪৮

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে,
3x + 2x = 90
⇒ 5x = 90
∴ x = 18