পাটিগণিত

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীতে ১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি। এর মধ্যে ৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি হলে ১০ম ছাত্রের উচ্চতা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ ফুট = ১২ ইঞ্চি

সুতরাং,
৫ ফুট ৬ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৬ = ৬৬ ইঞ্চি
এবং, ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৫ = ৬৫ ইঞ্চি

এখন, 
১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৬ ইঞ্চি
∴ ১০ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৬ × ১০ = ৬৬০ ইঞ্চি

আবার, 
৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৫ ইঞ্চি
∴ ৯ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৫ × ৯ = ৫৮৫ ইঞ্চি

∴ ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬৬০ - ৫৮৫ = ৭৫ ইঞ্চি
 = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

সুতরাং, ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৮০০ মিটার ও ৪০০ মিটার দীর্ঘ দুটি সেতু অতিক্রম করতে যথাক্রমে ৯০ সেকেন্ড ও ৫০ সেকেন্ড সময় নেয়। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
৯০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৮০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য
৫০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৪০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য

∴ (৯০ - ৫০) = ৪০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৮০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) - (৪০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) = ৪০০ মিটার 

∴ বেগ = ৪০০/৪০ = ১০ মিটার/সেকেন্ড

∴ ৫০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৫০ × ১০ = ৫০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
৪০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৫০০
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১০০ মিটার

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৬৬০ থেকে ৭২০ এর মধ্যবর্তী সংখ্যা অর্থাৎ তাদের গড়।
সুতরাং গড় = (৬৬০ + ৭২০) / ২
= ১৩৮০ / ২
= ৬৯০

সংখ্যা তিনটির অনুপাত = ১/২ : ২/৩ : ৩/৪
= ৬ : ৮ : ৯ [১২ দ্বারা গুণ করে]
ধরি,
সংখ্যা তিনটি ৬a, ৮a, ৯a
∴ ৯a - ৬a
= ৩a

প্রশ্নমতে,
৩a = ৩৬৩
∴ a = ১২১
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৬a
= ৬ × ১২১
= ৭২৬

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৫০ সেকেন্ডে একটি ৩২০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে এবং ৪০ সেকেন্ডে ২২০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ৩২০)/৫০ = (ক + ২২০)/৪০
⇒ ৪০(ক + ৩২০) = ৫০(ক + ২২০)
⇒ ৪০ক + ১২৮০০ = ৫০ক + ১১০০০
⇒ ৫০ক - ৪০ক = ১২৮০০ - ১১০০০
⇒ ১০ক = ১৮০০
⇒ ক = ১৮০০/১০ 
∴ ক = ১৮০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার।

প্রশ্ন: রায়তুল ও জাহিদ একত্রে একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। জাহিদ একা কাজটি ৩০ দিনে করতে পারে। রায়তুল একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
রায়তুল ও জাহিদ একত্রে ১৫ দিনে করতে পারে = ১ টি কাজ
রায়তুল ও জাহিদ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজের = ১/১৫ অংশ

জাহিদ একা ৩০ দিনে করতে পারে = ১ টি কাজ
জাহিদ একা ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/৩০ অংশ

∴ রায়তুল একা ১ দিনে করতে পারবে
= কাজের (১/১৫) - (১/৩০) অংশ
= (২ - ১)/৩০ অংশ
= ১/৩০ অংশ

∴ রায়তুল একা ১/৩০ অংশ করতে পারে = ১ দিনে
∴ রায়তুল একা সম্পূর্ণ অংশ করতে পারে = ৩০ দিনে

পেট্রোল ∶ অকটেন = ৪ ∶ ৩
∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৪/(৪+৩) X ৩৫ = ২০ লিটার।
অকটেনের পরিমাণ = ৩/(৪+৩) X ৩৫ = ১৫ লিটার।
নতুন মিশ্রণে,
পেট্রোল ∶ অকটেন = ৪ ∶ ৫
= (৪ X ৫) ∶ (৫ X ৫)
= ২০ ∶ ২৫
∴ অকটেন মিশাতে হবে = ২৫ - ১৫ = ১০ লিটার।

পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
২, ৩, ৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু = ৬০

এখন, ৬০)৯৯৯৯৯(১৬৬৬
                ৯৯৯৬০
                ------------
                        ৩৯

∴ বৃহত্তম সংখ্যার সাথে = ৬০ - ৩৯
= ২১ যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: ১ চেইন সমান কত ফুট?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ চেইন = ২২ গজ
আবার, 
১ গজ = ৩ ফুট

সুতরাং,
১ চেইন = ২২ × ৩ = ৬৬ ফুট

প্রশ্ন: ৪% হার মুনাফায় ৬,২৫০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, P = ৬,২৫০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৪% = ৪/১০০ = ১/২৫
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৬,২৫০(১ + ১/২৫)^২
= ৬,২৫০ × (২৬/২৫)^২
= ৬,২৫০ × (২৬/২৫) × (২৬/২৫)
= ৬,৭৬০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৬,৭৬০ টাকা।

A, B, C, D এর লাভের টাকার পরিমান যথাক্রমে ৫x, ২x, ৪x, ৩x টাকা
∴ ৫x - ৩x = ২০০০
বা, ২x = ২০০০
∴ x = ১০০০
∴ মোট লাভ = ৫x + ২x + ৪x + ৩x
= ১৪x
= ১৪ × ১০০০
= ১৪০০০ টাকা।

২০ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২০ x ১২) বছর।
= ২৪০ বছর।
২৪ জন ছাত্রীর বয়সের গড় = (১২ - ৪/১২) বছর।
= ৩৫ / ৩ বছর।
২৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (৩৫/৩ x ২৪) বছর।
= ২৮০ বছর।
৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২৮০ - ২৪০) বছর।
= ৪০ বছর।
৪ জন ছাত্রীর গড় বয়স = ৪০/৪ বছর।
= ১০ বছর।

প্রশ্ন: ২২০ এর ৩০%, p এর ৬% এর সমান। p এর মান কত? 

সমাধান: 
p এর ৬% = ২২০ এর ৩০%  
বা, p × (৬/১০০) = ২২০ × (৩০/১০০)  
বা, ৬p/১০০ = (২২০ × ৩০)/১০০  
বা, ৬p × ১০০ = ২২০ × ৩০ × ১০০  
বা, p = (২২০ × ৩০ × ১০০)/(৬ × ১০০)  
∴ p = ১১০০

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ২৪০০ হলে, তাদের গ.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি, তিনটি সংখ্যা যথাক্রমে ৩ক, ৪ক এবং ৫ক

এখন, ৩ক, ৪ক, ৫ক এর ল.সা.গু = ৬০ক

শর্তমতে,
৬০ক = ২৪০০
⇒ ক = ২৪০০/৬০
⇒ ক = ৪০

∴ প্রথম সংখ্যা = ৩ক = ৩ × ৪০ = ১২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৪০ = ১৬০
তৃতীয় সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ৪০ = ২০০

এখন গ.সা.গু নির্ণয় করি:
১২০ = ২^৩ × ৩ × ৫
১৬০ = ২^৫ × ৫
২০০ = ২^৩ × ৫²

∴ গ.সা.গু = ২^৩ × ৫ = ৮ × ৫ = ৪০

অতএব, তাদের গ.সা.গু = ৪০

ধরি, ১ টি টিভির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
৪৫% লাভে টিভি বিক্রির সংখ্যা 'ক' টি
১ টি টিভিতে লাভ করে ৪৫ টাকা
'ক' টি টিভিতে লাভ করে ৪৫ক টাকা
১০% বেশি বিক্রিতে টেলিভিশনের সংখ্যা (ক + ক এর ১০%)
= ১১ক/১০ টি
৪০% লাভে মোট লাভের পরিমাণ (৪০ X ১১ক/১০) টাকা
= ৪৪ক টাকা
নতুন লাভ : আগের লাভ = ৪৪ক : ৪৫ক = ৪৪ : ৪৫

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হারে সরল সুদে ১৩০০ টাকা তিন বছরে সুদে-আসলে কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = ১৩০০ টাকা 
সুদের হার, r = ৫%
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি,
সুদ, I = pnr/১০০ 
বা,  I = (১৩০০ × ৩ × ৫)/১০০
বা, I = ১৯৫

∴ সুদ-আসল = I + p = (১৯৫ + ১৩০০) টাকা = ১৪৯৫ টাকা

প্রশ্ন: ৩২৪১৬ টি গাছের চারাকে বর্গাকারে রোপণ করতে গিয়ে দেখা যায় ১৬ চারা অবশিষ্ট আছে। প্রতি সারিতে কতটি করে গাছ রোপণ করা হয়েছে?

সমাধান:
যেহেতু ১৬ টি চারা অবশিষ্ট রয়েছে, 
সুতরাং রোপণ করা চারার সংখ্যা = ৩২৪১৬ - ১৬ = ৩২৪০০ টি 

আবার,
চারাগুলো বর্গাকারে রোপণ করায় সারির সমান সংখ্যক চারা রোপণ করা হয়েছে।
ধরি,
প্রতি সারিতে রোপণ করা চারার সংখ্যা = ক টি 

∴ ক^২ = ৩২৪০০
⇒ ক = ১৮০ টি 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৪ অংশ স্ত্রীকে দিলেন এবং অবশিষ্ট সম্পত্তি তার ২ মেয়ের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিলেন। যদি স্ত্রী ও ১ মেয়ের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট মূল্য ৩,৭৫,০০০ টাকা হয়, তবে মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, মোট সম্পত্তি = ক টাকা
স্ত্রী পান = ক/৪ টাকা
∴ অবশিষ্ট = (ক) - (ক/৪) = ৩ক/৪ টাকা
∴ প্রত্যেক মেয়ে পায় = (৩ক/৪) ÷ ২ = ৩ক/৮ টাকা

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + (৩ক/৮) = ৩,৭৫,০০০
⇒ (২ক + ৩ক)/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক = ৩,৭৫,০০০ × ৮
⇒ ক = (৩,৭৫,০০০ × ৮)/৫
⇒ ক = ৬,০০,০০০

∴ মোট সম্পত্তির পরিমাণ ৬,০০,০০০ টাকা।

১০১ থেকে ১১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি। সংখ্যাগুলো হচ্ছে - ১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯।

প্রশ্ন: সরল মুনাফায় কোনো আসল ৮ বছরে মুনাফা-আসলে দ্বিগুণ হলে বার্ষিক মুনাফার হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সময়, n = ৮ বছর

মনে করি,
আসল = P
মুনাফা-আসল = ২P

∴ মুনাফা  = ২P - P = P টাকা।

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
⇒ P = (P × r × ৮)/১০০
⇒ r = ১০০/৮
⇒ r = ১২.৫

∴ মুনাফার হার ১২.৫%

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় ৮০% শিক্ষার্থী গনিতে, ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করে এবং ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে?

সমাধান:
গনিতে পাশ করে = ৮০%
বাংলায় পাশ করে = ৭০%

∴ কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করে = মোট শিক্ষার্থী - উভয় বিষয়ে ফেল 
= ১০০% - ১০% 
= ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে পাশ করে = (গনিতে পাশ + বাংলায় পাশ) - কমপক্ষে একটিতে পাশ 
= ৮০% + ৭০% - ৯০% 
= ১৫০% - ৯০% 
= ৬০%

প্রশ্ন: রোমান সংখ্যায় MMDCCL = ?

সমাধান:
রোমান সংখ্যায়, 
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50

∴ সমষ্টি = (2 × 1000) + 500 + (2 × 100) + 50
= 2000 + 500 + 200 + 50
= 2750

একজন ট্রাক ড্রাইভারকে ৪ ঘণ্টায় ১৯০ মাইল যেতে হবে
প্রথম ৩ ঘণ্টায় ৫২ মাইল বেগে যায় ৩ × ৫২ = ১৫৬ মাইল
বাকি থাকে ১৯০ - ১৫৬ = ৩৪ মাইল, যা তাকে শেষ এক ঘণ্টায় যেতে হবে।

সুতরাং উত্তর হবে ৩৪ মাইল প্রতি ঘণ্টা বেগ

প্রশ্ন: A-এর আয় C-এর আয়ের ৬/৫ অংশ এবং C-এর আয় B-এর আয়ের ৩/৪ অংশ। A ও B-এর আয়ের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 A-এর আয় C-এর আয়ের ৬/৫ অংশ
∴ A : C = ৬ : ৫ ...... (১) 
এবং 
C-এর আয় B-এর আয়ের ৩/৪ অংশ 
∴ C : B = ৩ : ৪ ......(২)

এখন, (১) নং কে ৩ দ্বারা গুণ করে পাই, 
  A : C = (৬ × ৩) : (৫ × ৩) = ১৮ : ১৫ 

এবং (২) নং কে ৫ দ্বারা গুণ করে পাই,
C : B = (৩ × ৫) : (৪ × ৫) = ১৫ : ২০ 

∴A : C : B = ১৮ : ১৫ : ২০

∴ A : B = ১৮ : ২০ = ৯ : ১০ 

সুতরাং, A ও B এর আয়ের অনুপাত ৯ : ১০

এখানে,
৬৩ = ২১ × ৩,
৬৯ = ২৩ × ৩,
৮৭ = ২৯ × ৩,
৯৭ = ৯৭ × ১
∴ ৯৭ মৌলিক সংখ্যা।