পাটিগণিত

প্রশ্ন: ৪০০ জন শ্রমিক ৩০ দিনে একটি বাঁধ তৈরি করতে পারে। একই কাজ ২০ দিনে শেষ করতে হলে কতজন অতিরিক্ত শ্রমিক প্রয়োজন?
​
​সমাধান:
​বাঁধ তৈরি করতে,
৩০ দিনে শ্রমিক লাগে= ৪০০ জন 
∴ ১ দিনে শ্রমিক লাগে = (৪০০ × ৩০) জন
​∴ ২০ দিনে শ্রমিক লাগে = (১২০০০)/২০ জন = ৬০০ জন

অতএব, অতিরিক্ত শ্রমিক প্রয়োজন হবে = (৬০০ - ৪০০) জন = ২০০ জন

প্রশ্ন: যদি ২ জন টাইপিষ্ট ২ মিনিটে ২ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে তবে কতজন টাইপিষ্ট ৬ মিনিটে ১২ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে?

সমাধান:
২ মিনিটে ২ পৃষ্ঠা টাইপ করে ২ জন টাইপিষ্ট
১ মিনিটে ২ পৃষ্ঠা টাইপ করে (২ × ২) জন টাইপিষ্ট
১ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করে (২ × ২)/২ জন টাইপিষ্ট
৬ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করে (২ × ২)/(৬ × ২) জন টাইপিষ্ট
৬ মিনিটে ১২ পৃষ্ঠা টাইপ করে (২ × ২ × ১২)/(৬ × ২) জন টাইপিষ্ট
= ৪ জন

প্রশ্ন: একটি গ্রামের লোকসংখ্যা ১৮% হারে বৃদ্ধি পেয়ে ২৫৯৬ জন হলে পূর্বের লোকসংখ্যা কত ছিল? 

সমাধান: 
১৮% বৃদ্ধিতে- 
বর্তমান লোকসংখ্যা ১১৮ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০ জন 
∴ বর্তমান লোকসংখ্যা ১ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০/১১৮ জন 
∴ বর্তমান লোকসংখ্যা ২৫৯৬ জন হলে পূর্বে ছিল = (১০০ × ২৫৯৬)/১১৮ জন 
= ২২০০ জন 

∴ পূর্বের লোকসংখ্যা = ২২০০ জন।

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৪৮ কি.মি। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার হলে ট্রেনটি ১৫০ মিটার সেতু অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে হয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য এবং সেতুর দৈর্ঘ্য মিলিয়ে মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে।
মোট দৈর্ঘ্য = (২৫০ + ১৫০) মিটার = ৪০০ মিটার

আমরা জানি,
১ কি.মি = ১০০০ মিটার
৪৮ কি.মি = (১০০০ × ৪৮) মিটার = ৪৮০০০ মিটার

৪৮০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৪৮০০০ সেকেন্ডে
∴ ৪০০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪০০)/৪৮০০০
= ৩০ সেকেন্ডে

অর্থাৎ ট্রেনটি সেতু অতিক্রম করতে ৩০ সেকেন্ড সময় নেবে।

প্রশ্ন: 20% কমে একটি পণ্য 1280 টাকায় বিক্রয় হলে, পণ্যটির পূর্বের বিক্রয় মূল্য কত টাকা ছিল?

সমাধান:
ধরি,
পণ্যটির পূর্বের বিক্রয়মূল্য ছিল 100%।
20% ছাড় দেওয়ায় পণ্যটির বর্তমান বিক্রয়মূল্য হলো (100% - 20%) = 80%।
প্রশ্ন অনুযায়ী, এই 80% মূল্য হলো 1280 টাকা।

সুতরাং,
80% = 1280 টাকা
1% = (1280/80) টাকা = 16 টাকা
100% = (16 × 100) টাকা = 1600 টাকা

অতএব, পণ্যটির পূর্বের বিক্রয়মূল্য ছিল 1600 টাকা।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৩.৫?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে, 
ক/৩ - ক/৪ = ৩.৫
বা, (৪ক - ৩ক)/১২ = ৩.৫
বা, ক/১২ = ৩.৫
বা, ক = ৩.৫ × ১২
∴ ক = ৪২

প্রশ্ন: a : b = 3 : 5 এবং a : c = 5 : 7 হলে b : C এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a : b = 3 : 5
a : c = 5 : 7

এখানে উভয় অনুপাতে a পদটি সাধারণ। b : c এর মান বের করার জন্য a এর মানকে সমান করতে হবে।

3 এবং 5 এর ল.সা.গু = 15

প্রথম অনুপাত: a : b = 3 : 5
উভয় পদকে ৫ দ্বারা গুণ করলে: a : b = 15 : 25

দ্বিতীয় অনুপাত: a : c = 5 : 7
উভয় পদকে ৩ দ্বারা গুণ করলে: a : c = 15 : 21

∴ a : b : c = 15 : 25 : 21
∴ b : c = 25 : 21

৫২, ৯৭ এর গ.সা.গু. = ১
∴ সংখ্যাদ্বয় সহমৌলিক।

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি পানির ট্যাংক ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুইটি খুলে দেওয়ার ১০ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দিলে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরো ২০ মিনিট সময় লাগলে শুধু দ্বিতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুইটি নল দ্বারা,
১৫ মিনিটে ট্যাংক পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/১৫ অংশ
∴ ১০ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১০/১৫ অংশ
= ২/৩ অংশ

১০ মিনিট পর অবশিষ্ট থাকে = ১ - (২/৩)  অংশ
= ১/৩ অংশ

দ্বিতীয় নলটি,
১/৩ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ২০ মিনিট
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ২০ × ৩ মিনিট
= ৬০ মিনিট

∴ শুধু দ্বিতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ করতে সময় লাগবে = ৬০ মিনিট

ধরি,
সংখ্যাটি = x
∴ x এর ২০% = ২০x/১০০
= x/৫
∴ x/৫ = ৪৮
বা, x = ২৪০

প্রশ্ন: একটি ৪৫ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-সপ্তমাংশ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = ক এর (২/৭) ফুট
 = ২ক/৭ ফুট

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৭) = ৪৫
⇒ (৭ক + ২ক)/৭ = ৪৫
⇒ ৯ক = ৪৫ × ৭
⇒ ক = (৪৫ × ৭)/৯
⇒ ক = ৩৫

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২/৭) × ৩৫ = ১০ ফুট

প্রশ্ন: প্রদত্ত

সমাধান:

প্রশ্ন: এক ক্লাসে ২০ ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর। পরবর্তী মাসে ৫ নতুন ছাত্র যোগ হলে গড় বয়স ১৫.৫ বছর হয়ে যায়। নতুন ৫ ছাত্রের গড় বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২০ জন ছাত্রের গড় বয়স = ১৫ বছর
∴ মোট বয়স = ২০ × ১৫ = ৩০০ বছর

আবার, 
পরবর্তী মাসে ৫ জন নতুন ছাত্র যোগ হলে মোট ছাত্র = ২৫ জন
এবং গড় বয়স = ১৫.৫ বছর
∴ নতুন মোট বয়স = ২৫ × ১৫.৫ = ৩৮৭.৫ বছর

∴ নতুন ৫ জন ছাত্রের মোট বয়স = নতুন মোট বয়স - পুরোনো মোট বয়স
= ৩৮৭.৫ - ৩০০
= ৮৭.৫ বছর

∴ নতুন ৫ জন ছাত্রের গড় বয়স = ৮৭.৫ ÷ ৫ = ১৭.৫ বছর

সুতরাং, নতুন ৫ ছাত্রের গড় বয়স ১৭.৫ বছর।

প্রশ্নঃ একজন ব্যবসায়ী প্রতি ডজন কলম ৯৬ টাকায় কেনেন। তিনি ৪ ডজন ৮০ টাকায় এবং ৮ ডজন ২০০ টাকায় বিক্রি করেন। তাহলে তিনি প্রতি ডজনে কত টাকা লাভ করবেন?

সমাধানঃ
১ ডজনের ক্রয়মূল্য = ৯৬ টাকা 
১২ ডজনের ক্রয়মূল্য = ৯৬ × ১২ টাকা 
= ১১৫২ টাকা 

৪ ডজনের বিক্রয়মূল্য = ৯৬ × ৪ = ৩৮৪ টাকা 
৮ ডজনেরবি ক্রয়মূল্য = ৯৬ × ৮ = ৭৬৮ টাকা 
মোট বিক্রয়মূল্য = (৮০ × ৪) + (২০০ × ৮) 
= (৩২০ + ১৬০০) টাকা 
= ১৯২০ টাকা

লাভ = ১৯২০ − ১১৫২ = ৭৬৮ টাকা

∴ প্রতি ডজনে লাভ = ৭৬৮ ÷ ১২ = ৬৪ টাকা

A/D = A/B × B/C × C/D
= 4/3 × 5/4 × 9/10
= 3/2
∴ D:A = 2:3

প্রশ্ন: মালেক সাহেব ৮০০ টাকা ব্যাংকে রাখলেন। ৫ বছর ৬ মাস পর তিনি ৮৮০ টাকা সরল মুনাফা পেলেন। মুনাফার হার কত?

সমাধান:
সময়, n = ৫ বছর ৬ মাস = ৫ বছর + (৬/১২) বছর = ৫.৫ বছর
আসল, p = ৮০০ টাকা
মুনাফা, I = ৮৮০ টাকা

আমরা জানি, 
I = pnr/১০০
⇒ r = (I × ১০০)/pn 
⇒ r = (৮৮০ × ১০০)/(৮০০ × ৫.৫) 
⇒ r = (১১০ × ১০)/৫৫
∴ r = ২০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৩ এবং তাদের ল.সা.গু ৫২০। একটি সংখ্যা ৬৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, ৬৫ × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, অপর সংখ্যা = (৫২০ × ১৩)/৬৫

∴ অপর সংখ্যা = ৫২০/৫ = ১০৪

প্রশ্ন: 

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x এর ৩/৭ = ৫৪
∴ x = (৫৪ × ৭)/৩ = ১২৬

Let Speed of the man is x kmph.
Distance covered in 10 minutes at 20 kmph = distance covered in 8 minutes at (20 + x) kmph.
Or, 20×(10/60) = 8/(60(20+x))
Or, 200 = 160 + 8x
Or, 8x = 40
Hence, x = 5kmph.

প্রশ্ন: ৮টি কলম ও ১২টি পেন্সিল সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

সমাধান:
নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা হবে ৮ ও ১২ এর গ.সা.গু এর সমান।

এখন,
৮ ও ১২ এর গ.সা.গু = ৪

∴ নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা = ৪ টি

প্রশ্ন: আনিস, বাপ্পি এবং জামাল তিনজন একসাথে একটি কাজ করতে পারে যথাক্রমে 10, 15 এবং 30 দিনে। তারা একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
আনিস, বাপ্পি এবং জামাল 1 দিনে কাজ করতে পারে যথাক্রমে 1/10, 1/15 এবং 1/30 অংশ

3 জন একত্রে 1 দিনে করে = 1/10 + 1/15 + 1/30 অংশ
= 1/10 + 1/15 + 1/30
= 3/30 + 2/30 + 1/30
= 6/30
= 1/5 অংশ 1 দিনে

∴ তারা একত্রে 1 কাজ করতে পারবে = 1 ÷ (1/5) = 5 দিন

∴ কাজটি সম্পূর্ণ করতে লাগবে = 5 দিন

প্রশ্ন: কমিশনের হার ২.৫০ টাকা হলে ২০০০ টাকা মূল্যের জিনিস বিক্রয় করে কত কমিশন পাওয়া যাবে? 

সমাধান: 
১০০ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = ২.৫০ টাকা 
∴ ১ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = ২.৫০/১০০ টাকা 
∴ ২০০০ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = (২.৫০ × ২০০০)/১০০ টাকা 
= ৫০ টাকা 

২৩/৩০ = ০.৭৭
১৩/১৫ = ০.৮৭
৪/৫ = ০.৮
২/৩ = ০.৬৭
সুতরাং বৃহত্তম ভগ্নাংশটি = ১৩/১৫।

প্রশ্ন: রাজশাহী থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৬০ কিলোমিটার। একটি ট্রেন ৬ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে রাজশাহী চলে আসল। যাত্রা পথে ট্রেনটি ২ ঘণ্টা বিরতি নেয়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট দূরত্ব = ২৬০ কিলোমিটার
∴ ট্রেনটি মোট (৬ - ২) ঘণ্টা = ৪ ঘণ্টা যাত্রা করে

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময় 
= ২৬০/৪
= ৬৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা     

ধরি, ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা,
২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য ১২৫ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য ও ক্রয় মূল্য এর অনুপাত = ১২৫ : ১০০ = ৫ : ৪

১ ডজন = ৩ হালি
১ হালি লেবুর বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ১ ডজন এর বিক্রয় মূল্য (৫×৩) = ১৫ টাকা
সুতরাং, লাভ = (১৫-১২) = ৩ টাকা
১২ টাকায় লাভ হয় ৩ টাকা
∴১০০ টাকায় লাভ হয় (৩×১০০)/১২ টাকা
                      = ২৫ টাকা

(১২ + ৭ + ১৫)/৩
= ১১.৩৩

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১২০ এবং অনুপাত ৩ : ৫। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ১২০
সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৫

ধরি, সংখ্যা দুটি = ৩x এবং ৫x
এখন, ৩x এবং ৫x এর ল.সা.গু. = ১৫x

প্রশ্নমতে, 
১৫x = ১২০ 
বা, x = ১২০/১৫
∴ x = ৮ 

এখন সংখ্যা দুটি হলো, 
৩x = ৩ × ৮ = ২৪ এবং ৫x = ৫ × ৮ = ৪০

∴ যোগফল = ২৪ + ৪০ = ৬৪