পাটিগণিত

HCF = 17
Let numbers are = 17x, 17y
LCM = 17xy = 714 (given)
xy = 42
Possible pairs are (1, 42), (2, 21), (3, 14), (6, 7)
Possible numbers are (17, 714), (34, 357), (51, 238), (102, 119)
but given that both numbers are of three digits
∴ numbers are = (102, 119)
∴ sum of numbers = 102 + 119 = 221

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-চতুর্থাংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ। ভাগফল ৯৬ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের এক চতুর্থাংশ = ৯৬/৪ = ২৪
ভাগশেষ = ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ = ২৪/৩ = ৮

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৪ × ৯৬) + ৮
= ২৩০৪ + ৮ 
= ২৩১২

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যার ০.৬ অংশ হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা ক
এবং অপর সংখ্যাটি খ।

প্রশ্নমতে,
ক = খ এর ০.৬ অংশ
বা, ক = খ × ০.৬
বা, ক/খ = ০.৬
বা, ক/খ = ৬/১০
বা, ক/খ = ৩/৫

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৫

প্রশ্ন: একজন দোকান মালিক সাধারণত ৪০% লাভ রেখে জিনিস বিক্রি করেন। ব্যবসা গুটিয়ে ফেলার কারণে বর্তমান মূল্যের ১০% কমে জিনিস বিক্রি শুরু করেন। এতে তাঁর শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
৪০% লাভে
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৪০  টাকা = ১৪০ টাকা

বর্তমান মূল্যের ১০% কমে
বিক্রয়মূল্য  = ১৪০ - ১৪০ এর ১০%
= ১৪০ - ১৪
= ১২৬ টাকা

তাঁর শতকরা লাভ = (১২৬ - ১০০)% = ২৬%

৬৪ কেজি মিশ্রণে বালির পরিমাণ (৬৪ × ২৫/১০০) = ১৬ কেজি
∴ পাথরের পরিমাণ = (৬৪-১৬) = ৪৮ কেজি।
এখন, ৪০% = ৪৮ কেজি
∴ ১০০% = (৪৮×১০০)/৪০ কেজি
= ১২০ কেজি
১২০ কেজিতে বালির পরিমাণ (১২০-৪৮) = ৭২ কেজি
∴ বালি মিশাতে হবে (৭২-১৬) = ৫৬ কেজি

৩টি কমলার ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি কমলার ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি কমলার বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি কমলার বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২) - (১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ । ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ১ : ২ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মিশ্রণে এসিড : পানির অনুপাত = ২ : ৩ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = [৬০ × (২/৫)] = ২৪ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = [৬০ × (৩/৫)] = ৩৬ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ১ : ২ 

প্রশ্নমতে, 
২৪ : (৩৬ + x) = ১ : ২
বা, ২৪/(৩৬ + x) = ১/২
বা, ৪৮ = ৩৬ + x 
বা, x = ৪৮ - ৩৬ 
বা, x = ১২
∴ x = ১২ 

∴ ১২ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি ট্রাক ভর্তি অবস্থায় X থেকে Y পর্যন্ত ৬০ কি.মি./ঘন্টায় যায় এবং খালি অবস্থায় Y থেকে X পর্যন্ত ৯০ কি.মি./ঘন্টায় ফিরে আসে। ট্রাকটির গড় গতিবেগ কত কি.মি./ঘন্টা?

সমাধান:
ভর্তি অবস্থায় বেগ v₁ = ৬০ কি.মি./ঘন্টা
খালি অবস্থায় বেগ v₂ = ৯০ কি.মি./ঘন্টা

গড় গতিবেগ = {2 × (v₁ × v₂)} / (v₁ + v₂)
= {2 × (৬০ × ৯০} / (৬০ + ৯০)
= ১০৮০০ / ১৫০
= ৭২ কি.মি./ঘন্টা

∴ ট্রাকটির গড় গতিবেগ ৭২ কি.মি./ঘন্টা। 

এখানে,
৫১ = ৩ × ১৭,
৮৫ = ৫ × ১৭,
১৫৩ = ৯ × ১৭
এবং ১৮৭ = ১১ × ১৭
∴ গ.সা.গু = ১৭

ধরি, দৈর্ঘ্য ক ও প্রস্থ খ
তাহলে, ক্ষেত্রফল = কখ
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১.২০ক
ও প্রস্থ ২০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ০.৮০খ
নতুন ক্ষেত্রফল = ০.৯৬ কখ
ক্ষেত্রফল হ্রাস= কখ - ০.৯৬কখ = ০.০৪ কখ
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস = (০.০৪ × ১০০)/১০০ = ৪%

প্রশ্ন: একটি ভ্রমণকারী দলের ৫ জনের গড় বয়স ২৫ বছর। ঐ দলে নতুন ১ জন যোগ দিলে দলের সদস্যদের গড় বয়স হয় ২৭ বছর। ষষ্ঠ জনের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৫ জনের গড় বয়স = ২৫ বছর
∴ ৫ জনের মোট বয়স = (৫ × ২৫) বছর = ১২৫ বছর

মনে করি, ষষ্ঠ জনের বয়স = ক বছর
ষষ্ঠ জন যোগ দিলে ৬ জনের মোট বয়স = (১২৫ + ক) বছর

প্রশ্নমতে,
(১২৫ + ক)/৬ = ২৭
বা, ১২৫ + ক = ১৬২
বা, ক = ১৬২ - ১২৫
বা, ক = ৩৭

∴ ষষ্ঠ জনের বয়স = ৩৭ বছর

প্রশ্ন: একটি শহরের জনসংখ্যা ১২% বৃদ্ধি পেয়ে ২২৪০ জন হলে পূর্বের জনসংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
১২% বৃদ্ধিতে-
বর্তমান জনসংখ্যা ১১২ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০ জন
∴ বর্তমান জনসংখ্যা ১ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০/১১২ জন
∴ বর্তমান জনসংখ্যা ২২৪০ জন হলে পূর্বে ছিল = (১০০ × ২২৪০)/১১২ জন
= ২০০০ জন

∴ পূর্বের জনসংখ্যা = ২০০০ জন।

৭% লাভে জামাটির বিক্রয়মূল্য ১০৭ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে বিক্রয়মূল্য ৫৩৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০×৫৩৫/১০৭ = ৫০০ টাকা

আবার ২০% ক্ষতিতে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮০/১০০ X ৫০০ = ৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৪ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে । তার ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় গতিবেগ কত? 

সমাধান: 
মোট দূরত্ব = (১৪ + ১৪) মাইল = ২৮ মাইল
মোট সময় = (৪ + ৩) ঘণ্টা = ৭ ঘণ্টা 

∴ ঘন্টায় গড় গতিবেগ = (২৮/৭) মাইল/ঘণ্টা
= ৪ মাইল/ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: একটি পাইপ খালি ট্যাঙ্ক ১৫ মিনিটে ভর্তি করতে পারে। অন্য একটি পাইপ প্রতি মিনিটে ১০ লিটার পানি বের করে দেয়। দুটি পাইপ একসাথে খোলা হলে খালি ট্যাঙ্কটি ৩০ মিনিটে ভর্তি হয়। ট্যাঙ্কটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:
ধরি,
অন্য পাইপটি ট্যাঙ্কটি খালি করতে 'ক' মিনিট সময় নেয়।

প্রশ্নানুসারে,
(১/১৫) - (১/ক) = ১/৩০
⇒ (১/১৫) - (১/৩০) = ১/ক
⇒ ১/৩০ = ১/ক
∴ ক = ৩০

অতএব, অন্য পাইপটি ট্যাঙ্কটি ৩০ মিনিটে খালি করে।
∴ ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা = ৩০ × ১০ = ৩০০ লিটার

সুতরাং, ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা = ৩০০ লিটার। 

Question: An express train is 2.5 times faster than a private car. If a person wants to travel 1330 km, but he wants to spend the same amount of time in both train and car. How far will he travel by car?

Solution:
Given,
Speed of train: v_t = 2.5 × v_c(car speed)
Total distance = 1330 km

Distance traveled by train = 1330 - x km
Time spent in car = Time spent in train

Distance traveled by car = x km


∴ He will travel 380 KM by car. 

প্রশ্ন: ৫ : ৬, ৩ : ২ এবং ৪ : ৩ এই অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
অনুপাতগুলো = ৫ : ৬, ৩ : ২ এবং ৪ : ৩

অনুপাতগুলোর পূর্ব রাশির গুণফল = ৫ × ৩ × ৪ = ৬০
অনুপাতগুলোর উত্তর রাশির গুণফল = ৬ × ২ × ৩ = ৩৬

∴ মিশ্র অনুপাত = ৬০ : ৩৬
= ৫ : ৩

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা অবশ্যই ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

ক) ১২০৪৫৮: শেষ অঙ্ক ৮, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ০ + ৪ + ৫ + ৮ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ১৩৫৭৯২: শেষ অঙ্ক ২, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ + ২ = ২৭, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

গ) ১৪৮৬১০: শেষ অঙ্ক ০, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৪ + ৮ + ৬ + ১ + ০ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

ঘ) ১৬২৮৪৪: শেষ অঙ্ক ৪, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৬ + ২ + ৮ + ৪ + ৪ = ২৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ অপশন (খ) ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

প্রশ্ন: P = x² - 16, Q = x² + 7x + 12, R = 4x + 16 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 16
Q = x² + 7x + 12
R = 4x + 16

∴ P = x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4) (x - 4)

∴ Q = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 4x + 16
= 4(x + 4)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 4)

প্রশ্নমতে, ২x/৩ - x/৩=১৫০০
বা, (২x - x)/৩ = ১৫০০
∴ x= ৪৫০০ টাকা

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যেকোনো মূলধন ৮ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
আসল = x টাকা
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা
= ২x টাকা

x টাকার ৮ বৎসরের সুদ = ২x টাকা
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ৮) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ৮) টাকা
= ২৫ টাকা

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২৫ টাকা ।

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (২১৩ - ৫), এবং (৯৪১ - ৫) এর গ.সা.গু.
অর্থাৎ ২০৮, ৯৩৬ এর গ.সা.গু.

এখন, ২০৮)৯৩৬(৪
                  ৮৩২
                 -------
                  ১০৪)২০৮(২
                          ২০৮
                         ------
                            ×

 ∴ গ.সা.গু. ১০৪।

প্রশ্ন: ১৬ নিচের কোন সংখ্যার ৪% এর সমান?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৪% = ১৬
⇒ ক × (৪/১০০) = ১৬
⇒ ৪ক = (১৬ × ১০০)
⇒ ক = (১৬ × ১০০)/৪
∴ ক = ৪০০

√(x²) = x

সমীকরণের চলকের ক্ষেত্রে যেকোনো চলকের বর্গমূল ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দুইটাই ধরা হয়ে থাকে। তবে, যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার মূল (Principal Square Root) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
অর্থাৎ,
√(x²) এর মান হবে x

(√x)² = ±x

এক্ষেত্রে, x এর মান ঋণাত্মক হলে জটিল সংখ্যা চলে আসবে।
x = -3 হলে,
(√-1)²  (√3)²
= (i)² (√3)²
= -1 (√3)²
= -3
অর্থাৎ,
(√x)² এর মান x বা -x যেকোনো একটা হতে পারে।

প্রশ্ন: সাভার থেকে রংপুরের দূরত্ব ২৫০ কিলোমিটার। রাহুল সাভার থেকে মোটরসাইকেলে রওয়ানা দেয়। ২০০ কিলোমিটার যাওয়ার পর মোটরসাইকেল নষ্ট হলে সে বাকি পথ অটোরিকশায় গেল। মোটরসাইকেলের গতি ৫০ কিমি/ঘণ্টা এবং অটোরিকশার গতি ২০ কিমি/ঘণ্টা হলে মোট সময় কত লেগেছে?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ২৫০ কিমি
মোটরসাইকেলে গিয়েছে = ২০০ কিমি
∴ মোটরসাইকেলে সময় = ২০০/৫০ = ৪ ঘণ্টা

অটোরিকশায় বাকি পথ = ২৫০ - ২০০ = ৫০ কিমি
∴ অটোরিকশায় সময় = ৫০/২০ = ২.৫ ঘণ্টা

মোট সময় = ৪ + ২.৫ = ৬.৫ ঘণ্টা
অর্থাৎ, ৬ ঘন্টা ৩০ মিনিট।