পাটিগণিত

একটি দ্রব্য ৩৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ৪০ টাকা ক্ষতি হলে ক্রয়মূল্য = ৩৬০ + ৪০ = ৪০০ টাকা
৪০০ টাকায় ক্ষতি হয় ৪০ টাকা
⇒ ১ টাকায় ক্ষতি হয় ৪০/৪০০টাকা
⇒ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (৪০×১০০) / ৪০০ = ১০ টাকা
∴ ১০%

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ২০% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে,
ব্যাস = 2r
ক্ষেত্রফল=πr²

ব্যাস 20% বৃদ্ধিতে,
বৃত্তের নতুন ব্যাস = 2r + 2r এর 20%
= 2r + 2r এর 20/100
= 2r + 2r/5
= (10r + 2r)/5
= 12r/5

বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/5
বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল = π(6r/5)²
= 36πr²/25

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (36πr²/25) - πr²
= (36πr² - 25πr²)/25
= 11πr²/25

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = [{(11πr²/25)/πr²} × 100]% = 44%

এখানে,
r = ৯/২
P = ?
n = ৪
C = ৮২৬
আমরা জানি,
C = P(১+(nr/১০০))
বা, ৮২৬ = P(১+((৪×৯)/(১০০×২)))
বা, ৮২৬ = P(১+(৯/৫০))
বা, ৮২৬ = P((৫০+৯)/৫০)
বা, ৮২৬ = P(৫৯/৫০)
বা, ৫৯P = ৮২৬×৫০
বা, P = (৮২৬×৫০)/৫৯
P = ৭০০ টাকা

প্রশ্ন: টাকায় ৪ টি এবং টাকায় ৬ টি দরে সমান সংখ্যক আমড়া ক্রয় করে, এক ব্যক্তি টাকায় ৫ টি করে বিক্রয় করলে তার লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান:
(১ + ১) = ২ টি আমড়ার ক্রয়মূল্য = (১/৪) + (১/৬) টাকা 
= (৩ + ২)/১২ = ৫/১২ টাকা।

আবার,
২ টি আমড়ার বিক্রয়মূল্য = ২/৫ টাকা।

∴ ক্ষতি = (৫/১২) - (২/৫)
= (২৫ - ২৪)/৬০ 
= ১/৬০ টাকা

∴ ৫/১২ টাকায় ক্ষতি হয় = ১/৬০ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = (১২/৫) × (১/৬০) = ১/২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০০/৫ = ৪ টাকা 

অতএব, তার ৪% ক্ষতি হয়েছে। 

ধরি, 
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে , 
৪x + ২x = ৯৬
বা, ৬x = ৯৬ 
বা, x = ৯৬ / ৬ 
x = ১৬ 

সংখ্যাটি ১৬ 

এখানে, ২+৭ = ৯, ৭২ - ২৭ = ৪৫

প্রশ্ন: একটি বই 10% ক্ষতিতে বিক্রি করা হইল। বিক্রয়মূল্য 60 টাকা বেশী হলে 5% লাভ হত। বইটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
বইটির ক্রয়মূল্য = 100 টাকা
10% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = 100 - 10 = 90 টাকা
5% লাভে, বিক্রয়মূল্য = 100 + 5 = 105 টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = 105 - 90 = 15 টাকা

বিক্রয়মূল্য 15 টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = 100 টাকা
বিক্রয়মূল্য 1 টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = 100/15 টাকা 
বিক্রয়মূল্য 60 টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (100 × 60)/15 টাকা
= 400 টাকা

সুতরাং, বইটির ক্রয়মূল্য 400 টাকা। 

প্রশ্ন: i¹²¹ এর মান কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
i¹ = i, i² = - 1, i³ = - i, i⁴ = 1

প্রদত্ত রাশি, 
i¹²¹ 
= i^{(4 × 30) + 1}
= i^{(4 × 30)} × i¹
= (i⁴)³⁰ × i¹
= 1 × i¹ ; [i⁴ = 1 , 1³⁰ = 1]
= i

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯২ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
​ছোট সংখ্যাটি = ক
​বড় সংখ্যাটি = ক + ২
​
​প্রশ্নমতে,
​(ক + ২)^২ - ক^২ = ৯২
​⇒ ক^২ + ৪ক + ৪ - ক^২ = ৯২
​⇒​ ৪ক = ৯২ - ৪
​​⇒ ৪ক = ৮৮
​⇒ ​ক = ৮৮/৪
​⇒ ​ক = ২২
​
∴ ​ছোট সংখ্যাটি = ২২
​এবং বড় সংখ্যাটি = ২২ + ২ = ২৪

প্রশ্ন: ৬০ জন শ্রমিক একটি পুকুর ৪৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন শ্রমিক ৬০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে?

সমাধান: 
৪৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = ৬০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = ৬০ × ৪৫ জন
∴ ৬০ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = (৬০ × ৪৫)/৬০ জন
= ৪৫ জন।

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ৪৫ জন।

সুদ = সুদাসল - আসল = ১৩৩৩২ - ৮৮৮৮ = ৪৪৪৪
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × বছর × সুদের হার)/১০০
বাঁ, বছর = (সুদ × ১০০) / (আসল × সুদের হার)
= (৪৪৪৪ × ১০০) / (৮৮৮৮ × ১২.৫)
= ৪ বছর

প্রশ্ন: ১৫টি ছাগলের মূল্য ৩টি গরুর মুল্যের সমান। ২০টি ছাগলের পরিবর্তে কয়টি গরু পাওয়া যায়?

সমাধান: 
১৫টি ছাগলের মূল্য = ৩টি গরুর মুল্য
১টি ছাগলের মূল্য = ৩/১৫টি গরুর মুল্য
২০ টি ছাগলের মূল্য = (৩ × ২০)/১৫টি গরুর মুল্য
= ৪টি 

প্রশ্ন: রিয়া জুন মাসে প্রতিদিন গড়ে ২৮০০ টাকা আয় করে। মাসের প্রথম ১৫ দিন সে প্রতিদিন গড়ে ২০০০ টাকা খরচ করে এবং বাকি দিনগুলোতে প্রতিদিন গড়ে ২৫০০ টাকা খরচ করে। মাস শেষে তার আয় ও সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
জুন মাসে মোট দিন = ৩০
∴ ৩০ দিনে মোট আয় = (২৮০০ × ৩০) টাকা
= ৮৪,০০০ টাকা

প্রথম ১৫ দিনের খরচ = ১৫ × ২০০০ টাকা
= ৩০,০০০ টাকা

পরবর্তী ১৫ দিনের খরচ = ১৫ ×  ২৫০০ টাকা
= ৩৭,৫০০ টাকা

∴ মোট খরচ = ৩০,০০০ + ৩৭,৫০০ = ৬৭,৫০০ টাকা
∴ সঞ্চয় = ৮৪,০০০ − ৬৭,৫০০ = ১৬,৫০০ টাকা

∴ আয় : সঞ্চয় = ৮৪,০০০ : ১৬,৫০০
= ১৬৮ : ৩৩
= ৫৬ : ১১

প্রশ্ন: ৭৫৬ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৭৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^৩ × ৭^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৭ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ৩ × ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।

অর্থাৎ, ৭৫৬ × ২১ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ২১ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: বার্ষিক কত চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হারে ১৬০০ টাকা ৩ বছরে ১৮৫২.২০ টাকা হবে?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১৬০০ টাকা
চূড়ান্ত পরিমাণ, A = ১৮৫২.২০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি, 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, A = P × (১ + r/১০০)ⁿ
⇒ ১৮৫২.২০ = ১৬০০ × (১ + r/১০০)^৩ 
⇒ (১ + r/১০০)^৩ = ১৮৫২.২০/১৬০০
⇒ (১ + r/১০০)^৩ = ১৮৫২২০/১৬০০০
⇒ (১ + r/১০০)^৩ = ৯২৬১/৮০০০ 
⇒ (১ + r/১০০)^৩ = (২১/২০)^৩ 
⇒ ১ + r/১০০ = ২১/২০
⇒ r/১০০ = (২১/২০) - ১ 
⇒ r/১০০ = ১/২০
⇒ r = ১০০/২০
∴ r = ৫%

সুতরাং, বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হার = ৫%

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত ১২ : ৫। মাতার বয়স ৪৮ বছর হলে মাতা ও কন্যার বয়সের পার্থক্য কত?

সমাধান:
মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত ১২ : ৫

ধরি, 
মাতার বয়স ১২ক 
কন্যার বয়স ৫ক

প্রশ্নমতে, 
১২ক = ৪৮ 
⇒ ক = ৪৮/১২
∴ ক = ৪

∴ কন্যার বয়স = ৫ × ৪ = ২০ বছর

∴ মাতা ও কন্যার বয়সের পার্থক্য = (৪৮ - ২০) বছর
= ২৮ বছর

আসল ১০০ টাকা হলে ১২ বছরে সুদ = (১২ × ৫) টাকা
= ৬০ টাকা
সুতরাং সুদ-আসল = (১০০ + ৬০) টাকা = ১৬০ টাকা।
সুদ-আসল ১৬০ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
সুদ-আসল ১ টাকা হলে আসল ১০০/১৬০ টাকা
সুদ-আসল ১২৪৮ টাকা হলে আসল (১০০×১২৪৮) / ১৬০ টাকা
= ৭৮০ টাকা।

মোট সৈন্য সংখ্যা = ৫৬৭২৮
এর বর্গমূলঃ
       ৫৬৭২৮ । ২৩৮
       ৪
       ^__________
  ৪৩। ১৬৭
       । ১২৯
        ^__________
৪৬৮।৩৮২৮
        ।৩৭৪৪
       ^___________
        ।    ৮৪
৮৪ অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, ৮৪ জন সৈন্যকে সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে

প্রশ্ন: ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম দূরত্ব ২৪০ কি.মি.। একটি বাস ৬ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম চলে আসলো পথে বাসটি ১ ঘন্টা যাত্রা বিরতি করলো। বাসটির কার্যকর গতিবেগ কত কিলেমিটার/ঘণ্টা?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দূরত্ব = ২৪০ কি.মি.
মোট সময় = ৬ ঘণ্টা (যাত্রা + বিরতি)
যাত্রা বিরতি = ১ ঘণ্টা
এবং বাস ১ ঘণ্টা বিরতি দিয়েছে, তাই আসল যাত্রার সময় = ৬ - ১ = ৫ ঘন্টা

আমরা জানি, 
গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ২৪০/৫ 
= ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, বাসটির কার্যকর গতিবেগ ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে আপেল ও কমলা ৪ : ৩ অনুপাতে রয়েছে। ঝুড়ি থেকে ১৬টি আপেল সরিয়ে নেওয়া হয় এবং ১২টি কমলা যোগ করা হয়। ফলে আপেল ও কমলার অনুপাত ১ : ১ হয়। ঝুড়িতে প্রথমে মোট কতগুলো ফল ছিল? 

সমাধান:
ধরি, আসল অবস্থায়,
আপেলের সংখ্যা = ৪ক টি
কমলার সংখ্যা = ৩ক টি

এখন, ১৬টি আপেল সরানোর পর এবং ১২টি কমলা যোগ করার পর,
আপেল থাকে = (৪ক - ১৬) টি
কমলা থাকে = (৩ক + ১২) টি

এখন নতুন অনুপাত ১ : ১ অর্থাৎ, আপেল = কমলা
সুতরাং,
৪ক - ১৬ = ৩ক + ১২
⇒ ৪ক - ৩ক = ১২ + ১৬
∴ ক = ২৮

অতএব, আসল সংখ্যা,
আপেল = ৪ × ২৮ = ১১২ টি
কমলা = ৩ × ২৮ = ৮৪ টি

∴ ঝুড়িতে প্রথমে মোট ফল ছিল = ১১২ + ৮৪ = ১৯৬ টি।

প্রশ্ন: করিম সাহেব মাসিক বেতন থেকে প্রভিডেন্ট ফান্ডের জন্য শতকরা ১৫ ভাগ কর্তনের পর তিনি ৩৪০০ টাকা পান। তার মাসিক বেতন কত?

সমাধান:
মনে করি,
মাসিক বেতন = ১০০ টাকা
প্রভিডেন্ট ফান্ডের জন্য ১৫ টাকা কর্তনের পর করিম সাহেব পান = ১০০ - ১৫ = ৮৫ টাকা

এখন,
করিম সাহেব ৮৫ টাকা পান যখন মাসিক বেতন ১০০ টাকা
করিম সাহেব ১ টাকা পান যখন মাসিক বেতন ১০০/৮৫ টাকা
করিম সাহেব ৩৪০০ টাকা পান যখন মাসিক বেতন (১০০× ৩৪০০)/৮৫ টাকা
 = ৪০০০ টাকা ।

∴ তার মাসিক বেতন ৪০০০ টাকা।

লাভের হার = (১০-৮)/৮ × ১০০%
= ২/৮ × ১০০%
= ২৫%