পাটিগণিত

প্রশ্ন: মাতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৮ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে মাতার বয়স কত?

সমাধান:
মাতা ও দুই সন্তানের মোট বয়স = (৩ × ২৮) বছর
= ৮৪ বছর
দুই সন্তানের মোট বয়স = (২ × ২২) বছর
= ৪৪ বছর 
∴ মাতার বয়স (৮৪ – ৪৪) বছর = ৪০ বছর

প্রশ্ন: একটি সাইকেল ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৬৬০ টাকা বেশি হলে ১৪% লাভ হতো। সাইকেলটির ক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
সাইকেলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) = ৯০ টাকা
১৪% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ১৪) = ১১৪ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১৪ - ৯০) = ২৪ টাকা

বিক্রয়মূল্য ২৪ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৪ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০/২৪) টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০/২৪) × ৬৬০ টাকা
= ২৭৫০ টাকা

৮০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (২০ X ৮০০) / ১০০ = ১৬০ টাকা।
৫০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১০ X ৫০০) / ১০০ = ৫০ টাকা।
সুতরাং ১ বছরের মোট সুদ = ১৬০+৫০ = ২১০ টাকা।

ক এর বেতন ১৩৫ টাকা হলে খ এর বেতন ১০০ টাকা
অর্থাৎ, ১৩৫ টাকায় খ এর বেতন কম ৩৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় বেতন কম (৩৫×১০০)/১৩৫ = ২৫.৯৩ টাকা

প্রশ্ন: ৫০% নম্বর পেতে একজন শিক্ষার্থী ২০টি প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়েছে। যদি সে ৮০% নম্বর পেতে চায়, তবে তাকে কয়টি প্রশ্ন ঠিক করতে হবে?

সমাধান: 
৫০% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = ২০ টি প্রশ্নের  
∴ ১% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = ২০/৫০ টি প্রশ্নের 
∴ ৮০% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = (২০ × ৮০)/ ৫০ টি প্রশ্নের 
= ৩২ টি প্রশ্নের 

∴ ছাত্রটির প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে = ৩২ টি।

৩ কেজি মিষ্টির মূল্য ৩ × ৩৫০ = ১০৫০ টাকা
১০০ টাকায় ভ্যাট ৪ টাকা
∴ ১০৫০ টাকায় ভ্যাট ১০৫০ × (৪/১০০) = ৪২ টাকা

সুতরাং, মোট খরচ = ১০৫০ + ৪২ = ১০৯২ টাকা

সরল করুন: {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(২৮/৭) ÷ (১৬/৪)}

সমাধান:
{(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(২৮/৭) ÷ (১৬/৪)}
= {(১/২) ÷ (১/২)} × (৪ ÷ ৪)
= {(১/২) × (২/১)} × ১
= ১ × ১
= ১

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ২/৩ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ১০০
∴ ক = ১০

অতএব,
ছোট সংখ্যাটি = ২ × ১০ = ২০

মনেকরি, রানা, রনি এবং রিনির মার্বেল সংখ্যা যথাক্রমে ১৯a, ৫a, ৭a
∴ ১৯a - ৫a = ৫৬
বা, ১৪a = ৫৬
∴ a = ৪
∴ রিনির মার্বেল সংখ্যা = ৭ × ৪ = ২৮টি

প্রশ্ন: আরিফ ৩ বছরের জন্য ৬০০ টাকা এবং ৪ বছরের জন্য ৮০০ টাকা ঋণ নিল এবং মোট ২৫০ টাকা সুদ দিল। উভয় ক্ষেত্রে সুদের হার সমান হলে, সুদের হার কত ছিল?

সমাধান:
৬০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৬০০ × ৩) = ১৮০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৮০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ((৮০০ × ৪) = ৩২০০ টাকার ১ বছরের সুদ

এখন,
(১৮০০ + ৩২০০) বা ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ২৫০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ (২৫০/৫০০০) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ (২৫০/৫০০০) × ১০০ টাকা
= ৫ টাকা

∴ সুদের হার ৫%।

প্রশ্ন: ৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ৪২ জন ফেল করলে পাসের হার কত? 

সমাধান: 
৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = ৪২ জন 
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = ৪২/৬০ জন 
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = (৪২ × ১০০)/৬০ জন 
= ৭০ জন 

∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে পাস করে = (১০০ - ৭০) জন 
= ৩০ জন। 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৬০% এর সাথে ৩৬ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটির সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৬০% + ৩৬ = ক
⇒ ক × (৬০/১০০) + ৩৬ = ক
⇒ (৩ক/৫) + ৩৬ = ক
⇒ ৩৬ = ক - (৩ক/৫)
⇒ ৩৬ = (৫ক - ৩ক)/৫
⇒ ৩৬ = ২ক/৫
⇒ ২ক = ৩৬ × ৫
⇒ ক = ১৮০/২
∴ ক = ৯০

প্রশ্ন: কতজন বালিকাকে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে আমরা এমন সংখ্যা খুঁজছি যা ১২৫ এবং ১৪৫ উভয়কেই সমানভাবে ভাগ করতে পারে। অর্থাৎ, আমাদের খুঁজতে হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু.।

১২৫ এর গুণক: ১, ৫, ২৫, ১২৫
১৪৫ এর গুণক: ১, ৫, ২৯, ১৪৫

সাধারণ গুণক: ১, ৫
সর্বাধিক সাধারণ গুণক / গ.সা.গু. = ৫

∴ ৫ জন বালিকাকে সমানভাবে ভাগ করা যাবে।

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দু’জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশি লাগবে?

সমাধান: 
২ জন লোক কমে যাওয়ায় মোট লোক হয় =(৮ - ২)= ৬জন।

৮ জন লোক একটি কাজ করে = ১২ দিনে
১ জন লোক একটি কাজ করে = ৮ × ১২ দিনে
৬ জন লোক একটি কাজ করে = (৮ × ১২)/৬ দিনে
= ১৬

পূর্বের চেয়ে সময় বেশি লাগে =(১৬ - ১২)=৪দিন

শতকরা সময় বেশি লাগে = {(৪/১২) × ১০০}% = (১০০/৩)% 

প্রশ্ন: ৩০ জন লোক একটি কাজ ৩ ঘণ্টায় শেষ করে। ১৫ জন লোক ঐ কাজ অতিরিক্ত কত সময়ে শেষ করবে?

সমাধান: 
মোট কাজ = ৩০ × ৩ = ৯০ জন-ঘন্টা

আবার,
১৫ জন কাজ করতে সময় লাগবে,
মোট কাজ = জন × ঘণ্টা
⇒ ৯০ = ১৫ × ঘন্টা
⇒ ৯০/১৫ = ঘন্টা
⇒ ঘন্টা = ৬ 

অতিরিক্ত সময় = (৬ - ৩) ঘণ্টা = ৩ ঘণ্টা

∴অতিরিক্ত সময় = ৩ ঘণ্টা 

এখানে, ৩, ১, ২ লবগুলোর ল.সা.গু = ৬।
এবং ৫, ৪, ৩ হরগুলোর গ.সা.গু = ১
আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু।
সুতরাং ৩/৫, ১/৪, ২/৩ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬/১
= ৬

43, 23, 19 এই সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা। 
16 মৌলিক সংখ্যা নয়। 

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশের মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটির লব = x এবং হর = y

দেওয়া আছে,
লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশের মান 2 হয়
⇒ (x + 7)/y = 2

এবং,
হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান 1 হয়
⇒ x/(y - 2) = 1

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই,
x = y - 2

এখন প্রথম সমীকরণে x এর মান বসাই,
(x + 7)/y = 2
⇒ (y - 2 + 7)/y = 2
⇒ (y + 5)/y = 2
⇒ y + 5 = 2y
⇒ y = 5

∴ x = y - 2
= 5 - 2
= 3

অতএব, ভগ্নাংশটি = 3/5

সঠিক উত্তর:
ক) 3/5

প্রশ্ন: ৫০০ এর ২০% এর ২৫% কত?

সমাধান:
৫০০ এর ২০% এর ২৫%
= ৫০০ × (২০/১০০) × (২৫/১০০)
= ৫ × ২০ × (২৫/১০০)
= ১০০ × (২৫/১০০)
= ২৫

অতএব, ৫০০ এর ২০% এর ২৫% হলো ২৫।

২১ = ক এর ৭০%
বা, ২১ = ক এর ৭০/১০০
বা, ৭০ক = ২১০০
বা, ক = ৩০

৬০ লিটার মিশ্রণে আমের রস আছে (৬০×২) / (২+১) = ৪০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস আছে (৬০-৪০) = ২০ লিটার।
মিশ্রণটিতে আম ও কমলার রসের অনুপাত ১:২ হতে হলে কমলার রস থাকতে হবে (৪০×২) = ৮০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস মিশাতে হবে (৮০-২০) = ৬০ লিটার

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ২১ জন ছাত্রের ৩২ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ২৪ দিনে ঐ খাদ্য শেষ হয়ে গেলো। নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত?

সমাধান:
৩২ দিনের খাদ্য আছে ২১ জন ছাত্রের
১ দিনের খাদ্য আছে   (২১ × ৩২) জন ছাত্রের
২৪ দিনের খাদ্য আছে  (২১ × ৩২)/২৪ জন ছাত্রের
= ২৮ জন ছাত্রের

∴ নতুন ছাত্রের সংখ্যা = (২৮ - ২১) = ৭ জন

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৩। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৩৩
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৩৩
বা, ২ক + ১ = ৩৩
বা, ২ক = ৩৩ - ১
বা, ২ক = ৩২
বা, ক = ৩২/২
∴ ক = ১৬

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৬ + ১ = ১৭

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
ক্রমিক সংখ্যার গড় নির্ণয়ের সূত্র:
গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/২

এখানে, প্রথম পদ = ১, শেষ পদ = ১০০

অতএব, গড় = (১ + ১০০)/২
= ১০১/২
= ৫০.৫

∴ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় হল ৫০.৫

যে সকল সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা এবং এক(১) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
এবং অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় না সেগুলো মৌলিক সংখ্যা।

এক মাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হলো ২।

প্রশ্ন: একটি খামারে কিছু সংখ্যক মুরগির জন্য ৩০ দিনের খাবার আছে। যদি আরও ২০টি মুরগি ক্রয় করা হয়, তবে ঐ একই পরিমাণ খাবার ২৫ দিনেই শেষ হয়ে যায়। প্রথমে খামারে কতগুলো মুরগি ছিল?
 
সমাধান:
ধরি,
প্রথমে খামারে মুরগি ছিল 'ক' টি

শুরুতে, ক সংখ্যক মুরগির জন্য ৩০ দিনের খাবার ছিল।
এর অর্থ হলো, মোট খাবারের পরিমাণ ছিল = ৩০ক  [(মুরগি × দিন)]

আবার,
আরও ২০টি মুরগি কেনা হলে মোট মুরগির সংখ্যা দাঁড়ায় (ক + ২০)টি।
এখন, ঐ একই পরিমাণ খাবার (ক + ২০) টি মুরগির জন্য ২৫ দিনেই শেষ হয়ে যায়। 

যেহেতু খাবারের মোট পরিমাণ একই আছে,
⇒ ৩০ক = ২৫(ক + ২০)
⇒ ৩০ক = ২৫ক + ৫০০
⇒ ৩০ক - ২৫ক = ৫০০
⇒ ৫ক = ৫০০
∴ ক = ১০০ ​

সুতরাং, প্রথমে খামারে ১০০টি মুরগি ছিল।

প্রশ্ন: একজন লোক সপ্তাহে 450 টাকা আয় করেন এবং 300 টাকা ব্যয় করেন। তার আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
 একজন লোক সপ্তাহে 450 টাকা আয় করেন 
300 টাকা ব্যয় করেন

সঞ্চয় করেন = (450 - 300) টাকা
= 150 টাকা

∴ আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত = 450 : 150
= 3 : 1

প্রশ্ন: ৫০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৫০ × (৩/৫)} = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৫০ × (২/৫)} = ২০ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩০ : (২০ + x) = ২ : ৩
বা, ৩০/(২০ + x) = ২/৩ 
বা, ৯০ = ৪০ + ২x 
বা, ২x = ৯০ - ৪০ 
বা, ২x = ৫০ 
বা, x = ৫০/২ 
∴ x = ২৫ 

∴ ২৫ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

আমরা জানি,
মুনাফা, I = pnr
দেওয়া আছে,
আসল, p = ১৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০/১০০
সময়, n = ৩ বছর
এবং মুনাফা, I = ?
এখন, I = pnr
= ১৫০০×৩×১০/১০০
= ৪৫০ টাকা।