পাটিগণিত

প্রশ্ন: রবি প্রতি কেজি ৪০ টাকা দরে ৫০ কেজি চাউল কিনে ৪৪ টাকা কেজি দরে বিক্রয় করলে কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১ কেজি চাউলের ক্রয়মূল্য ৪০ টাকা
৫০কেজি চাউলের ক্রয়মূল্য (৪০ × ৫০)
 = ২০০০ টাকা

আবার,
১ কেজি চাউলের বিক্রয়মূল্য ৪৪ টাকা
৫০ কেজি চাউলের বিক্রয়মূল্য (৪৪ × ৫০)
= ২২০০ টাকা

∴ লাভ = (২২০০ - ২০০০) = ২০০ টাকা

রাশি দুইটির যোগফল = ২৪০
তাদের অনুপাত = ১ঃ৩
অনুপাতের রাশি দুইটির যোগফল = ১+৩ = ৪
∴ ১ম রাশি = ২৪০ এর ১/৪ অংশ = ৬০
∴ ২য় রাশি = ২৪০ এর ৩/৪ অংশ = ১৮০
আবার, রাশি দুইটির অনুপাত = ১ঃ৩
∴ ১ম রাশি, ২য় রাশির ১/৩ = (১×১০০)/(৩×১০০) = ৩৩(১/৩)%

রোমান প্রতীকঃ
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১১। লব থেকে ১ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ১/৫ হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১১
লব থেকে ১ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান হয় ১/৫

মনে করি,
ভগ্নাংশের লব ক
ভগ্নাংশের হর খ

∴ ভগ্নাংশটি = ক/খ

শর্ত মতে,
 ক + খ = ১১................. (১)

আবার,
 (ক - ১)/(খ + ২) = ১/৫
বা , ৫ক  - ৫ = খ + ২
বা, ৫ক  - খ = ৭ .................(২)

সমীকরণ (১) ও সমীকরণ (২) যোগ করে পাই,
ক + খ + ৫ক  - খ  = ১১ + ৭
বা, ৬ক = ১৮
বা, ক = ১৮/৬
∴ ক = ৩

ক এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই,
৩ + খ = ১১
বা, খ = ১১ - ৩
∴ খ = ৮

∴ ভগ্নাংশটি = ৩/৮ ।  

প্রশ্ন: একটি পণ্য 10% ক্ষতিতে বিক্রি করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, 30% লাভে বিক্রি করলে তার চেয়ে 40 টাকা বেশি পাওয়া যায়। পণ্যের ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান:
ধরি, পণ্যের ক্রয়মূল্য x টাকা।
10% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য =  x এর 90% =  0.9x টাকা।
30% লাভে বিক্রয়মূল্য =  x এর 130% = 1.3x টাকা।
1.3x - 0.9x = 40
⇒ 0.4x = 40
⇒ x = 40/0.4
⇒ x = 100

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩। ৪ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ২। পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, পিতার বয়স = ৭ক 
 এবং পুত্রের বয়স = ৩ক 

∴ ৪ বছর আগে পিতার বয়স ছিল = (৭ক - ৪)
 ৪ বছর আগে পুত্রের বয়স ছিল = (৩ক - ৪)

প্রশ্নমতে,
(৭ক - ৪) : (৩ক - ৪) = ৫ : ২
⇒ (৭ক - ৪)/(৩ক - ৪) = ৫/২
⇒ ২(৭ক - ৪) = ৫(৩ক - ৪)
⇒ ১৪ক - ৮ = ১৫ক - ২০
∴ ক = ১২ 

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৭ × ১২ = ৮৪ বছর

প্রশ্ন: ১০ টাকায় ১২টি আমলকি ক্রয় করে ১০ টাকায় ১০টি আমলকি বিক্রি করলে শতকরা কত টাকা লাভ হবে? 

সমাধান: 
১২টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ১০ টাকা
∴ ১টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ১০/১২ = ৫/৬ টাকা

আবার, 
১০টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = ১০ টাকা
∴ ১টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = ১০/১০ = ১ টাকা

∴ লাভ হয় = ১ - (৫/৬) = (৬ - ৫)/৬ = ১/৬ টাকা 

∴ ৫/৬ টাকা লাভ হয় = ১/৬ টাকা 
∴ ১ টাকা লাভ হয় = (১/৬)/(৫/৬) = ১/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকা লাভ হয় = ১০০/৫ = ২০ টাকা

সুতরাং, শতকরা লাভের পরিমাণ ২০%। 

প্রশ্ন: 'ক' টাকার ক% হার সরল মুনাফায় ৫ বছরে মুনাফা 'ক' টাকা হলে, ক = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে
আসল = ক টাকা
মুনাফার হার = ক%
সময় = ৫ বছর
মুনাফা = ক টাকা

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (আসল × হার × সময়)/১০০
ক = (ক × ক × ৫)/১০০
⇒ ক = ক^২/২০ 
⇒ ক^২ - ২০ক = ০ 
⇒ ক(ক - ২০) = ০ 
হয়,
∴ ক = ০ ;[যা গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা,
⇒ ক - ২০ = ০ 
∴ ক = ২০ 

অতএব, মূলধন, ক = ২০ টাকা

এখানে,
ক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা।
১৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ৫৬০)/১০০
= ৬৪৪ টাকা
আবার,
৮% কমিশনে,
ধার্যমূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ৮ = ৯২ টাকা
অর্থাৎ, বিক্রয়মূল্য ৯২ টাকায় ধার্যমূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য ৬৪৪ টাকায় ধার্যমূল্য = (১০০ × ৬৪৪)/৯২
= ৭০০ টাকা

প্রশ্ন:

সমাধান:

√(0.000009)
=0.000009^1/2
=0.003

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭ হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে, n এবং n + ১

প্রশ্নমতে, 
(n + ১)^২ - n^২ = ৪৭
n^২ + ২n + ১ - n^২ = ৪৭
⇒ ২n + ১ = ৪৭
⇒ ২n = ৪৬
⇒ n = ৪৬/২ = ২৩
∴ n = ২৩ 

সুতরাং সংখ্যা দুটি হলো ২৩ এবং ২৪

২০০০ সালের ফেব্রুয়ারী মাস ২৯ দিনের।
∴ মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = (২৯ X ০.৫৫) সেমি
= ১৫.৯৫ সেমি।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১৫ ও ২০ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা,
২০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১/২০ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১৫) + (১/২০) অংশ
= (৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ৭/৬০ অংশ 

দুইটি নল দ্বারা,
৭/৬০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৬০)/৭ মিনিটে
= ৬০/৭ মিনিটে

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার ঘড়ি ৮৪০ টাকায় বিক্রি করলে ২০% লাভ হয়। তবে ঘড়ির ক্রয়মূল্য কত ছিল?

সমাধান:
২০% লাভে
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৮৪০)/১২০ টাকা
= ৭০০ টাকা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়েসের অনুপাত ১২ : ৫। পুত্রের বয়স ১৫ বছর হলে পিতার বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, পিতার বয়স ক বছর

শর্তমতে,
ক/১৫ = ১২/৫
⇒ ৫ক = ১২ × ১৫
⇒ ক = (১২ × ১৫)/৫
⇒ ক = ১২ × ৩
⇒ ক = ৩৬ 

∴ পিতার বয়স ৩৬ বছর।

৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ৯৭
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ৪১

∴ সংখ্যা দুইটির গড় = (৯৭ + ৪১)/২ = ৬৯

(a+b)²= a²+ 2ab+ b²

প্রশ্ন: ৫০০ টাকা বার্ষিক ৫% সরল সুদে কত বছরে সুদে-আসলে ৬৫০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০ টাকা
বার্ষিক সুদের হার, r = ৫% = ০.০৫
সুদে-আসল, A = ৬৫০ টাকা
∴ সুদ = ৬৫০ - ৫০০ = ১৫০ টাকা 

আমরা জানি,
সময় = (সুদ × ১০০)/(আসল × সুদের হার)
= (১৫০ × ১০০)/(৫০০ × ৫)
= ১৫০/২৫ 
= ৬ বছর

সুতরাং, ৫০০ টাকা বার্ষিক ৫% সরল সুদে ৬ বছরে সুদে-আসলে ৬৫০ টাকা হবে।

প্রশ্ন: একটি ছাগল ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। ছাগলটি আরও ৮০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে ৮% লাভ হতো। ছাগলটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
ছাগলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৮) টাকা = ৯২ টাকা
৮% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৮) টাকা = ১০৮ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য বেশি হয় = (১০ ৮- ৯২) টাকা = ১৬ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ১৬ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৬ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮০০)/১৬ টাকা  
= ৫০০০ টাকা 

∴ ছাগলটির ক্রয়মূল্য = ৫০০০ টাকা । 

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৪ : ৭। পূর্ব রাশি ২৮ হলে, উত্তর রাশি কত?

সমাধান:
ধরি, উত্তর রাশি = ক

প্রশ্নমতে,
৪ : ৭ = ২৮ : ক
⇒ (৪/৭) = (২৮/ক)
⇒ ৪ক = ২৮ × ৭
⇒ ক = (২৮ × ৭)/৪
∴ ক = ৪৯

∴ উত্তর রাশি ৪৯

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৪৭, ৭৯, ১১১ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৪, ৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৪৭, ৭৯, ১১১ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৪, ৬ ভাগশেষ থাকবে।

এখানে,
৪৭ - ২ = ৪৫
৭৯ - ৪ = ৭৫
১১১ - ৬ = ১০৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৪৫, ৭৫ ও ১০৫ এর গ. সা. গু।

৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৭৫ = ৩ × ৫ × ৫ 
১০৫ = ৩ × ৫ × ৭

∴ গ. সা. গু. = ৩ × ৫ = ১৫
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১৫।

আমরা জানি মুনাফা-আসল = p(1+nr)
প্রশ্নমতে, 2p = p (১ + ৬r)
∴ r = ১/৬
∴ মূলধন p = ২০২৫/(১ +৪/৬)
= (২০২৫ × ৩)/৫ = ১২১৫

প্রশ্ন: একটি চকলেটের দাম ০.৫০ টাকা। যদি একই সাথে ১০টি চকলেট কেনা হয়, তাহলে তার মোট দাম ৩.৪০ টাকা। আলাদাভাবে ১০টি চকলেট কিনলে যে মূল্য হবে, তার তুলনায় একসাথে ১০টি চকলেট কেনার ফলে কত শতাংশ সাশ্রয় হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
একটি চকলেটের দাম = ০.৫০ টাকা
∴ ১০টি চকলেট মোট দাম হবে = ১০ × ০.৫০ = ৫.০০ টাকা

আবার, 
একসঙ্গে ১০টি চকলেট কিনলে দাম পড়ে = ৩.৪০ টাকা

∴ সাশ্রয় হওয়া টাকা = ৫.০০ - ৩.৪০ = ১.৬০ টাকা

∴ সাশ্রয়ের শতকরা হার = (সাশ্রয় হওয়া টাকা /আলাদা কেনার দাম) × ১০০%
= (১.৬০/৫.০০) × ১০০%
= (১৬০/৫)%
= ৩২%

সুতরাং, একসঙ্গে ১০টি চকলেট কিনলে ৩২% সাশ্রয় হয়।

প্রশ্ন: রহিমের বেতন ৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় তার বেতন ৪০০০ টাকা বৃদ্ধি পেল। রহিমের বেতন আগে কত টাকা ছিল?

সমাধান: 
ধরি,
রহিমের আগের বেতন = ক টাকা।

প্রশ্নমতে, 
ক এর ৫% = ৪০০০ 
⇒ ক × (৫/১০০) = ৪০০০ 
⇒ ক/২০ = ৪০০০
⇒ ক = ৪০০০ × ২০ 
∴ ক = ৮০০০০ 

সুতরাং, রহিমের আগের বেতন ছিল ৮০০০০ টাকা।