পাটিগণিত

প্রশ্ন: ০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৪ = ?

সমাধান: 
০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৪ = ০.০০০০৬৪

যে সংখ্যাগুলো গুণ করতে হবে সেসব সংখায় দশমিকের পর মোট যত ঘর আছে গুনফলেও দশমিকের পর ঠিক তত ঘর থাকবে।

প্রশ্ন: একজন চাকরিজীবী তার বেতনের ১/৪ অংশ বাড়িভাড়া, ১/৬ অংশ যাতায়াত, এবং ১/৩ অংশ খাদ্যে ব্যয় করেন। তাহলে তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
ধরি, মোট বেতন = ১ অংশ

মোট ব্যয় = ১/৪ + ১/৬ + ১/৩
= ৩/১২ + ২/১২ + ৪/১২
= ৯/১২
= ৩/৪

অবশিষ্ট = ১ - (৩/৪) = ১/৪

শতকরা অবশিষ্ট = (১/৪)/১ × ১০০ = ২৫%

১০% ক্ষতিতে ৯০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৭২০০ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০ × ৭২০০ / ৯০ = ৮০০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ১২% লাভে বিক্রয়মূল্য ১১২ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮০০০×১১২ / ১০০ = ৮৯৬০ টাকা

চতুর্থ সমানুপাতিক x হলে
3 × x = 9 × 4
⇒ x = (9 × 4) / 3
∴ x = 12

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২,৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ =  ৮ টি

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় কৃতকার্য ও অকৃতকার্য শিক্ষার্থীর অনুপাত ৭ : ২। যদি ১৪৪ জন শিক্ষার্থী অকৃতকার্য হয়ে থাকে, তবে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কৃতকার্য : অকৃতকার্য = ৭ : ২
অকৃতকার্য শিক্ষার্থী = ১৪৪ জন

∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৭ + ২ = ৯ অংশ

এখন, 
২ অংশের সমান = ১৪৪ জন 
∴ ১ অংশের সমান = ১৪৪/২ = ৭২ জন

∴ মোট পরীক্ষার্থী = ৯ × ৭২ = ৬৪৮ জন

মনে করি,
সংখ্যা দু'টি = ৫x, ৬x
∴ ল.সা.গু. ৩০x = ২৪০
∴ x = ৮
∴ বড় সংখ্যাটি = ৬ × ৮ = ৪৮

প্রশ্ন: রিয়া, সামিরা ও তানভীর প্রতি ১০ মিনিট, ১৫ মিনিট ও ২০ মিনিট পরপর একটি করে চা খায়। তারা সকাল ৯:০০ টায় একসাথে প্রথম চা খাওয়ার পরে পুনরায় কখন একসাথে চা খাবে?

সমাধান:
প্রথমে তাদের পরবর্তী একত্রে চা খাওয়ার সময় বের করতে হবে—এটির জন্য ল.সা.গু বের করতে হবে।

১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু বের করি-

১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০

এখন, ৬০ মিনিট = ১ ঘন্টা
সকাল ৯:০০ টায় প্রথম চা খাওয়ার পরে ১ ঘন্টা পর তারা আবার একসাথে চা খাবে।

∴ পুনরায় একসাথে চা খাওয়ার সময় = ৯:০০ + ১ ঘন্টা = ১০:০০ টা

∴ ১০:০০ টায়-তারা আবার একসাথে চা খাবে।

প্রশ্ন: ১ কাঠা সমান কত শতক?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ কাঠা = ৭২০ বর্গফুট 
আবার, ১ শতক = ৪৩৫.৬ বর্গফুট।

∴ ১ কাঠা ÷ ১ শতক = ৭২০ ÷ ৪৩৫.৬ = ১.৬৫

অতএব, ১ কাঠা সমান ১.৬৫ শতক।

প্রশ্ন: ১০ বছর আগে করিমের বয়স ছিল রহিমের বয়সের অর্ধেক। যদি তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৩ : ৪ হয়, তবে বর্তমানে তাদের মোট বয়স কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
করিমের বর্তমান বয়স = ৩ক বছর 
∴ রহিমের বর্তমান বয়স = ৪ক বছর 

আবার, ১০ বছর আগে 
করিমের বয়স ছিল = (৩ক - ১০) বছর 
∴ রহিমের বয়স ছিল = (৪ক -১০) বছর 

প্রশ্নমতে, 
৩ক - ১০ = ১/২ (৪ক - ১০) 
বা, ৬ক - ২০ = ৪ক - ১০ 
বা, ৬ক - ৪ক = - ১০ + ২০ 
বা, ২ক = ১০ 
বা, ক = ১০/২ 
∴ ক = ৫ 
করিমের বর্তমান বয়স = (৩ × ৫) বছর  = ১৫ বছর 
∴ রহিমের বর্তমান বয়স = (৪ × ৫) বছর 
= ২০ বছর 

∴ বর্তমানে তাদের মোট বয়স = (১৫ + ২০) বছর 
= ৩৫ বছর।

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ ধনাত্মক সংখ্যাকে ১১, ১৫ ও ১৯ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ১০ ও ১৪ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
১১ - ৬ = ৫
১৫ - ১০ = ৫
১৯ - ১৪ = ৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ১১, ১৫ ও ১৯ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ কম।

১১ = ১ × ১১
১৫ = ৩ × ৫
১৯ = ১ × ১৯

 ∴ ল.সা.গু = ১১ × ৩ × ৫ × ১৯ = ৩১৩৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = ৩১৩৫ - ৫ = ৩১৩০

হরিণ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (১×৫×২) = ১০ মিটার
বাঘ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (১×৪×২) = ৮ মিটার
বাঘঃহরিণ = ৮:১০ = ৪:৫

প্রশ্ন: আগস্ট মাসে চিনির দাম ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় একটি পরিবার চিনি কেনা এমনভাবে কমালো যাতে চিনি কেনার খরচ আগের মতোই থাকে। পরিবারটি চিনি কেনার পরিমাণ শতকরা কত কমিয়েছে?

সমাধান:
২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা

বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ পরিবারটি চিনি কেনা কমিয়েছে (১০০ - ৮০) = ২০%

Cost of 21 pencils and 9 clippers = Tk. 819
Cost of 7 pencils and 3 clippers = 819/3 = Tk. 273

প্রশ্ন: abc একটি সংখ্যা হলে abc - a - b - c সংখ্যাটি কত দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
ধরি
a = 1, b = 2, c = 3

abc - a - b - c
= 123 - 1 - 2 - 3
= 123 - 6
=117, যা 9 দ্বারা বিভাজ্য

আবার
ধরি
a = 2, b = 3, c = 4

abc - a - b - c
= 234 - 2 - 3 - 4
= 225 যা 9 দ্বারা বিভাজ্য

[প্রশ্নে উল্লেখ আছে
abc একটি সংখ্যা। একক স্থানীয় অংক c, দশক স্থানীয় অংক b এবং শতক স্থানীয় অংক a
abc কে a, b ও c এর গুণফল মনে করলে রেজাল্ট ভিন্ন ভিন্ন আসবে।
সঠিক উত্তর পাওয়া সম্ভব হবে না।]

সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, ৫ক ও ৬ক হলে,
গ.সা.গু = ক এবং ল.সা.গু = ৩০ক
প্রশ্নমতে, ক = ৮
∴ ল.সা.গু = ৩০ x ৮ = ২৪০

০.২ × ১/২
= ১/৫ × ১/২
= ১/১০
= ০.১০

প্রশ্ন: একটি বই ১৫% লাভে বিক্রি করা হলো। যদি বইটি ৩০ টাকা কমে বিক্রি করা হতো, তাহলে ৫% ক্ষতি হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বইটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১৫ = ১১৫ টাকা

৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ৫ = ৯৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১১৫ - ৯৫ = ২০ টাকা

২০ টাকা কমে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ১ টাকা কমলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা
∴ ৩০ টাকা কমলে ক্রয়মূল্য = (১০০ x ৩০)/২০ টাকা
= ১৫০ টাকা

∴ বইটির ক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা

দূরত্ব x কিমি হলে,
x/30 - x/40 = 2
(4x - 3x)/120 = 2
x/120 = 2
x = 240
নির্ণেয় দূরত্ব 240 কিমি

বিকল্প পদ্ধতি:
'ক' কিমি দুরত্বে মিলিত হলে,
১ম ট্রেন ৩০ কিমি যায় ১ ঘণ্টায়
১ কিমি যায় ১/৩০ ঘণ্টায়
'ক' কিমি যায় ক/৩০ ঘণ্টায়

আবার, ২য় ট্রেন ৪০ কিমি যায় ১ ঘণ্টায়
১ কিমি যায় ১/৪০ ঘণ্টায়
ক কিমি যায় ক/৪০ ঘণ্টায়
সময়ের পার্থক্য ২ ঘণ্টা
অতএব, ক/৩০ - ক/৪০ = ২
(৪ক - ৩ক)/১২০ = ২
ক/১২০ = ২
ক = ২৪০
২৪০ কিমি দূরে ট্রেন দুইটি পরস্পর মিলিত হবে।

প্রশ্ন: ৩০০০ এর শতকরা ৫ ভাগ অপেক্ষা ৩০০০ এর শতকরা ১০ ভাগ কত বেশি?

সমাধান:
৩০০০ এর ৫% = ৩০০০ × (৫/১০০)
= ১৫০

৩০০০ এর ১০% = ৩০০০ × (১০/১০০)
= ৩০০

∴ পার্থক্য = (৩০০ - ১৫০) = ১৫০

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ছোট, হর বড় অর্থাৎ ৫/৬
অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব বড়, হর ছোট
অর্থাৎ ২৫/১৭, ১২/১০, ৪/৩

প্রশ্ন: ঢাকা ও সিলেটের দূরত্ব ২৪৬ কিলোমিটার । সিলেট হতে একটি ট্রেন সকাল ৮ টায় ছেড়ে গিয়ে দুপুর ২ টায় ঢাকা পোঁছে । ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
সকাল ৮টায় ছেড়ে গিয়ে দুপুর ২ টায় পোঁছে ।
মধ্যবর্তী সময়ের পার্থক্য = ৬ ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব/ মোট ব্যয়িত সময়
= ২৪৬/৬
= ৪১ কি. মি./ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ প্রায় ৪১ কিমি/ঘণ্টা।

প্রশ্ন: যদি চিনির মূল্য ৫০% বৃদ্ধি পায়, তবে চিনির ব্যবহার শতকরা কত কমালে চিনি বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না?

সমাধান:
চিনির মূল্য ৫০% বৃদ্ধি পেলে,
বর্তমান মূল্য = (১০০ + ৫০) = ১৫০ টাকা

খরচ অপরিবর্তিত রাখতে হলে ১৫০ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে ৫০ টাকার সমপরিমাণ।

১৫০ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = ৫০ টাকা
∴ ১ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = ৫০/১৫০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = (৫০ × ১০০)/১৫০ টাকা
= ১০০/৩ টাকা
= ৩৩.৩৩ টাকা (প্রায়)

৩ ও ৭ এর ল. সা, গু = ২১ 
২১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটিই ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। 
অপশন টেস্ট
৩৯৯/২১= ১৯
∴ ৩৯৯ সংখ্যাটি  ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

৩০৩,৩৪১, ৪০৬ সংখ্যাগুলো ২১ দ্বারা বিভাজ্য বিভাজ্য নয়। 

কেনা ও বেচায় টাকার পরিমান একই
∴ শতকরা হার = {(বড় - ছোট)/ছোট × ১০০}%
= (১০ - ৪)/৪ × ১০০}% = (৬/৪ × ১০০)%
= ১৫০%

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৫০০ জন ছাত্র-ছাত্রী আছে যার মধ্যে ৪০% ছাত্র, সেই ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মোট ছাত্র-ছাত্রী = ৫০০ জন 

∴ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = ৫০০ এর ৪০% 
= ৫০০ এর ৪০/১০০ 
= ২০০ জন

∴ ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা = (৫০০ - ২০০) জন
= ৩০০ জন।

৮০ টাকায় বিক্রয় করলে প্রকৃত মূল্য ১০০ টাকা
১ টাকায় বিক্রয় করলে প্রকৃত মূল্য ১০০/৮০ টাকা
৭২ টাকায় বিক্রয় করলে প্রকৃত মূল্য (১০০×৭২)/৮০ টাকা
= ৯০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় 72 কিমি গতিতে একটি সেতু 60 সেকেন্ডে পার হয়। ট্রেনের দৈর্ঘ্য 800 মি হলে, সেতুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
গতি = 72000/3600 মিটার/সেকেন্ড
= 20 মিটার/সেকেন্ড

অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতি × সময় 
= 20 × 60
= 1200 মিটার

সেতুর দৈর্ঘ্য = অতিক্রান্ত দূরত্ব - ট্রেনের দৈঘ্য
= 1200 - 800
= 400 মিটার
  
∴ সেতুর দৈর্ঘ্য 400 মিটার  

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করল। যদি ৬০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
ইংরেজিতে পাশ করেছে = ৮০%
বাংলায় পাশ করেছে = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (বাংলা বা ইংরেজি) = (ইংরেজিতে পাশ) + (বাংলায় পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৮০ + ৭০ - ৬০)%
= (১৫০ - ৬০)%
= ৯০%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৯০)%
= ১০%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ক) ৫/৮ = ০.৬২৫
খ) ৭/১০ = ০.৭
গ) ৩/৪ = ০.৭৫
ঘ) ১/২ = ০.৫

এখানে ০.৭৫ মানটি সবচেয়ে বড়।
∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো ৩/৪

ধরি, মাসুদের আয় ২০ টাকা ও ব্যয় ১৫ টাকা, তাহলে সঞ্চয় (২০-১৫) = ৫ টাকা
২০ টাকায় সঞ্চয় করে ৫ টাকা
১০০ 〃 〃 〃(১০০×৫)/২০ টাকা
= ২৫ টাকা

প্রশ্ন: একটি ব্যবসায় আসিফের বিনিয়োগ ছিল ৫০০০ টাকা। ৮ মাস পরে সিয়াম কিছু অর্থ নিয়ে সেই ব্যবসায় যুক্ত হয়। এক বছর পর লাভ ৩ : ৪ অনুপাতে ভাগ হলে, সিয়াম কত টাকা বিনিয়োগ করেছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লভ্যাংশের অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি,
আসিফের বিনিয়োগ = ক টাকা

আসিফের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং সিয়ামের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৮) মাস = ৪ মাস

প্রশ্নমতে,
(৫০০০ × ১২)/(ক × ৪) = ৩/৪
⇒ ৬০০০০/ক = ৩
⇒ ৩ক = ৬০০০০
⇒ ক = ৬০০০০/৩
⇒ ক = ২০০০০

সিয়ামের বিনিয়োগ = ২০০০০ টাকা

৬৪ টাকায় ২ বছরের মুনাফা (৮৩ - ৬৪) = ১৯ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ১ বছরের মুনাফা (১০০ × ১৯)/(৬৪ × ২) = ১৪.৮৪ টাকা
∴ ৮৬ টাকার ৪ বছরের মুনাফা = (৮৬ × ১৪.৮৪ × ৪)/১০০ = ৫১.০৫ টাকা (প্রায়)
∴৮৬ টাকা ৪ বছরে (৮৬ + ৫১.০৫) = ১৩৭.০৫ টাকা

প্রশ্ন: ক, খ ও গ-এর মধ্যে 260 টাকা এমনভাবে ভাগ করতে হবে যেন ক-এর অংশের 2 গুণ, খ-এর অংশের 3 গুণ এবং গ-এর অংশের 4 গুণ সমান হয়। তাহলে গ-এর টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
ক-এর অংশ = x
খ-এর অংশ = y
গ-এর অংশ = z

প্রদত্ত শর্ত,
2x = 3y = 4z = k [ধরি সবগুলোর সমান মান = k]
2x = k
∴ x = k/2

3y = k
∴ y = k/3
এবং 
4z = k
∴ z = k/4

প্রশ্নমতে, 
x + y + z = 260
⇒ (k/2) + (k/3) + (k/4) = 260
⇒ (6k + 4k + 3k)/12 = 260
⇒ 13k/12 = 260
⇒ k = (260 × 12)/13
∴ k = 240

∴ গ-এর অংশ, z = k/4 = 240/4 = 60 টাকা

সুতরাং গ-এর টাকার পরিমাণ = 60 টাকা।

প্রশ্ন: ক-এর বয়স ৩৬ বছর এবং খ-এর বয়স ১৬ বছর। কত বছর পরে ক-এর বয়স খ-এর বয়সের দ্বিগুণ হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক-এর বর্তমান বয়স = ৩৬ বছর
খ-এর বর্তমান বয়স = ১৬ বছর
চাওয়া: কত বছর পরে ক-এর বয়স = খ-এর বয়সের 
ধরি, t বছর পরে দ্বিগুণ হবে।

এখন, 
ক-এর বয়স = ৩৬ + t
খ-এর বয়স = ১৬ + t

প্রশ্নমতে,
৩৬ + t = ২ × (১৬ + t)
⇒ ৩৬ + t = ৩২ + ২t
⇒ ২t - t = ৩৬ - ৩২
∴ t = ৪ বছর

∴ ৪ বছর পরে ক-এর বয়স (৪০ বছর) হবে খ-এর বয়সের (২০ বছর) দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: রহিম ও করিমের বেতনের অনুপাত ৫ : ২ । করিমের বেতন রহিমের বেতন অপেক্ষা ৩৪৮ টাকা কম হলে রহিমের বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, 
রহিমের বেতন = ৫ক 
করিমের বেতন = ২ক 

প্রশ্নমতে,
৫ক - ২ক = ৩৪৮
⇒ ৩ক = ৩৪৮
⇒ ক = ৩৪৮/৩
⇒ ক = ১১৬

∴ রহিমের বেতন = ৫ × ১১৬ = ৫৮০ টাকা 

২৩১ = ৩ × ৭ × ১১
∴ ২৩১ দ্বারা সংখ্যাটি ৭ দ্বারা ও বিভাজ্য হবে।

৪ জন পুরুষ = ৬ জন স্ত্রীলোক
২ জন পুরুষ = (৬ X ২)/৪ = ৩ জন স্ত্রীলোক।
৬ জন স্ত্রীলোক কাজটি করে ১৬ দিনে
(৩+৫) বা ৮ জন স্ত্রীলোক কাজটি করে (১৬ X ৬)/৮ দিনে।
= ১২ দিনে।