পাটিগণিত

জুই এবং রবিনের বয়স যথাক্রমে ৫a, ৮a
∴ (৫a +১৫) : (৮a + ১৫) = ১০ঃ১৩
বা, (৫a + ১৫)/(৮a + ১৫) = ১০/১৩
বা, ৬৫a + ১৯৫ = ৮০a + ১৫০
বা, ১৫a = ৪৫
∴ a = ৩
∴ জুইয়ের বর্তমান বয়স = ৫ × ৩
= ১৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু অপেক্ষা ২৫ গুণ বেশি। দুটি সংখ্যার গুণফল ২০২৫ হলে তাদের ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = x
∴ দুটি সংখ্যার ল.সা.গু  = ২৫x 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = দুটি সংখ্যার ল.সা.গু × দুটি সংখ্যার গ.সা.গুর 
∴ ২০২৫ = ২৫x × x 
⇒ ২৫x × x = ২০২৫ 
⇒ ২৫x^২ = ২০২৫ 
⇒ x^২ = ২০২৫/২৫
⇒  x^২ = ৮১  
⇒ x^২ = ৯^২ 
∴ x = ৯ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২৫ × ৯ 
= ২২৫ ।

ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১২x ও ১২y
১২x - ১২y = ৬০
∴ x - y = ৫ ........ (1)
এবং ১২xy = ২৪৪৮
xy = ২০৪
(x + y) = √[(x - y)²+ ৪xy] = √[৫^২ + ৪×২০৪]
x + y = ২৯ .... (2)
x = ১৭, y = ১২
∴ সংখ্যা ২টি ১৪৪ ও ২০৪

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ২৯ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কতজন সৈন্য ছিল?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩

∴ ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩  = ৭২

∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৭২ - ২৯) জন = ৪৩ জন।

এখানে,
ক্রয়মূল্য = ৫৬ - ৮ = ৪৮ টাকা
∴ লাভের হার = (৮×১০০)/৪৮
= ১৬.৬৭%

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা বেশি হলে ১২.৫% লাভ হতো। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০০ এর ১০% = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা

১২.৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ১২.৫% = (১০০ + ১২.৫) টাকা = ১১২.৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১২.৫ - ৯০) টাকা = ২২.৫ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ২২.৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২২.৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪৫)/২২.৫ টাকা
= (১০০ × ৪৫ × ১০)/(২২.৫ × ১০)
= (১০০ × ৪৫০)/২২৫
= ২০০ টাকা

∴ ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা।

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, ১০৫ = ৭০০×৫×r
বা, r = ১০৫/(৭০০×৫) = ০.০৩ = ৩%

Let the required number of rounds be x
More radius, Less rounds (Indirect proportion)
∴ 20:14::70:x
⇔ (20×x) = (14×70)
⇔ x = (14×70)/20
⇔ x = 49

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটোর ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
গ.সা.গু x ল.সা.গু  =  দুইটি সংখ্যার গুণফল
⇒ গ.সা.গু x ৯৬  =  ১৫৩৬
⇒ গ.সা.গু = ১৫৩৬/৯৬
∴ গ.সা.গু = ১৬

লবগুলোর গ.সা.গু. অর্থাৎ ৩, ৩, ৬ এর গ.সা.গু = ৩
হরগুলোর ল.সা.গু. অর্থাৎ ৪, ৮, ৭ এর ল.সা.গু = ৫৬
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৩/৫৬

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের গ.সা.গু ৬ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি = ৫ক ও ৭ক 
এবং 
সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু, ক = ৬

∴ সংখ্যা দুইটি ৫ × ৬ = ৩০ এবং ৭ × ৬ = ৪২

∴ ৩০ ও ৪২ এর ল.সা.গু = ২১০

১ টাকায় ক্রয় করে = ৩ টি আম
১০০  ''     ''    ''   = ৩×১০০ = ৩০০টি আম
২টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
৩০০টি   ″         ″      = {(‌১×৩০০)÷২} = ১৫০ টাকা
∴ লাভ = (১৫০ - ১০০)% = ৫০%

আমরা জানি,
মূলধন = (সুদ x ১০০)/ (সময় x সুদের হার)
= (৪ x ১০০)/ (৫x ৪)
= ২০ টাকা

প্রশ্ন: অহনা ইংরেজি ও গণিতে মোট ১৭৬ নম্বর পেয়েছে। সে ইংরেজি অপেক্ষা গণিতে ১০ নম্বর বেশি পেয়েছে। সে গণিতে কত পেয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
অহনা ইংরেজিতে ক নম্বর পেয়েছে।
এবং, গণিতে ইংরেজির চেয়ে ১০ নম্বর বেশি পেয়েছে।
∴ গণিতে নম্বর = ক + ১০

প্রশ্নমতে, 
ক + ক + ১০ = ১৭৬
⇒ ২ক = ১৬৬ 
⇒ ক = ১৬৬/২ 
∴ ক = ৮৩ 

∴ গণিতে নম্বর = ক + ১০ = ৮৩ + ১০ = ৯৩
সুতরাং, অহনা গণিতে ৯৩ নম্বর পেয়েছে

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ৫% ক্ষতি হলো, চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৫) টাকা 
= ৯৫ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩৮০)/৯৫ টাকা 
= ৪০০ টাকা 

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।

বাসে যেতে প্রয়োজনীয় সময় = ৩১৯/২২ = ১৪.৫ ঘন্টা
এবং রিকশায় যেতে প্রয়োজনীয় সময় = (৩৫৫ - ৩১৯)/৬ = ৬ ঘন্টা।
সুতরাং মোট প্রয়োজনীয় সময় = ১৪.৫ + ৬ = ২০.৫ ঘন্টা অর্থাৎ ২০ ঘন্টা ৩০ মিনিট।

প্রশ্ন: একটি কাজ আলী ২০ দিনে এবং শাওন ৩০ দিনে করতে পারে। তারা একসাথে কত দিনে কাজটি শেষ করবে?

সমাধান:
আলীর এক দিনের কাজ = ১/২০​ অংশ
শাওনের এক দিনের কাজ = ১/৩০​ অংশ

একসাথে তাদের এক দিনের কাজ = (১/২০​) + (১/৩০) অংশ
= (৩ + ২)/৬০ অংশ
= ৫/৬০ অংশ
= ১/১২ অংশ

∴ তারা ১/১২ অংশ কাজ করে = ১ দিনে 
∴ ১ বা সম্পূর্ন কাজ করে = ১/(১/১২) = ১২ দিনে

সুতরাং তারা একসাথে পুরো কাজটি ১২ দিনে শেষ করবে।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যা ঐ সংখ্যার ৪০% অপেক্ষা ৩৬ বেশি হলে, ঐ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক = ক এর ৪০% + ৩৬
বা, ক = (২ক/৫) + ৩৬
বা, ক - (২ক/৫) = ৩৬
বা, ৩ক/৫ = ৩৬
বা, ৩ক = ৩৬ × ৫
বা, ৩ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/৩
∴ ক = ৬০

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত? 

সমাধান: 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ 

আবার, 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১ 

∴ নির্ণেয় মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় = (৯৭ + ৪১)/২ 
= ১৩৮/২ 
= ৬৯ ।

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৯০ কিমি বেগে চলমান একটি ট্রেন রাস্তার পাশের একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে ৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
এখানে, বেগ = ৯০ কিমি/ঘণ্টা
= ৯০ × (৫/১৮) মি/সেকেন্ড
= ২৫ মি/সেকেন্ড

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = বেগ × সময় = ২৫ × ৬ = ১৫০ মিটার 

গড় = (শেষ সংখ্যা + প্রথম সংখ্যা)/২।
∴ (৭০ + ১)/২ = ৩৫.৫

প্রশ্ন: মা তার মেয়েকে বলল, 'তুমি যখন জন্মগ্রহণ করেছিলে, তখন আমার বয়স ঠিক তোমার বর্তমান বয়সের সমান ছিল।' যদি মায়ের বর্তমান বয়স ৪৮ বছর হয়, তাহলে মেয়ের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
মেয়ের বর্তমান বয়স = x বছর
তাহলে, মেয়ে জন্মগ্রহণের সময় মায়ের বয়স ছিল = x বছর

∴ মায়ের বয়স = মেয়ের জন্মের সময় মায়ের বয়স + মেয়ের বর্তমান বয়স
= x + x
= ২x বছর

দেওয়া আছে, 
মায়ের বর্তমান বয়স = ৪৮ বছর
সুতরাং, ২x = ৪৮
⇒ x = ৪৮/২
∴ x = ২৪

সুতরাং, মেয়ের বর্তমান বয়স ২৪ বছর। 

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×4² : π×5²
= 16 : 25

প্রশ্ন: ৬% হারে ৯ মাসে ১০,০০০ টাকার উপর সুদ কত টাকা হবে? 

সমাধান:
আসল, P= ১০০০০
বছর, n= ৯/১২
সুদের হার, r = ৬
সুদ, I= ?

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, I = (১০০০০ × ৯ × ৬)/(১০০ × ১২)
বা, I = ৪৫০ টাকা

লাভ = ৯৬৩ - ৯০০
= ৬৩ টাকা
৯০০ টাকায় ৪ মাসে লাভ হয় = ৬৩ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ১২ মাসে লাভ হয় = (৬৩×১০০×১২)/(৯০০×৪)
= ২১

ধরি, প্রকৃত মূল্য = x টাকা
প্রশ্নমতে,
x এর ৮৫% = ৬৮
বা, x এর ৮৫/১০০ = ৬৮
বা, x = (৬৮ × ১০০)/৮৫ = ৮০ টাকা

প্রশ্ন: ১০০০০ টাকা বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদে ২ বছর পর ১২১০০ টাকা হলে, বার্ষিক সুদের হার কত শতাংশ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
পরিমাণ, A = ১২১০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
হার, r = ?

আমরা জানি,
A = P(১ + r/১০০)ⁿ
১২১০০ = ১০০০০(১ + r/১০০)^২ 
⇒ (১ + r/১০০)^২ = ১২১০০/১০০০০ 
⇒ (১ + r/১০০)^২ = ১.২১ 
⇒ ১ + r/১০০ = √১.২১ = ১.১ 
⇒ r/১০০ = ১.১ - ১ = ০.১ 
⇒ r = ০.১ × ১০০
∴ r = ১০

∴ বার্ষিক সুদের হার = ১০%

প্রশ্ন: প্রতিটি চকলেট ৬ টাকা দরে ক্রয় করে ৮ টাকা দরে বিক্রয় করে ৪০ টাকা লাভ হলো। মোট কয়টি চকলেট ক্রয় করা হয়েছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ টি চকলেটের ক্রয়মূল্য ৬ টাকা
১ টি চকলেটের বিক্রয়মূল্য ৮ টাকা

ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি হওয়ায় লাভ হয়েছে।
∴১ টি চকলেটে লাভ (৮  - ৬) = ২ টাকা

এখন,
২ টাকা লাভ হয়  ১ টি চকলেটে
১ টাকা লাভ হয় (১/২) টি চকলেটে
∴ ৪০ টাকা লাভ হয় (১ × ৪০)/২ টি চকলেটে
= ২০ টি চকলেটে

∴ ২০টি চকলেট ক্রয় করা হয়েছিলো। 

প্রশ্ন: ২৩০ এর ভাজক সংখ্যা কতটি?

সমাধান: 
২৩০-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
২৩০ = ২ × ৫ × ২৩
= ২^১ × ৫^১ × ২৩^১

∴ মোট ভাজকের সংখ্যা = (১ + ১)(১ + ১)(১ + ১) = ২ × ২ × ২ = ৮

অতএব, ২৩০-এর ভাজক সংখ্যা মোট ৮টি।

২৩০-এর সব ভাজকগুলো হলো-
১, ২, ৫, ১০, ২৩, ৪৬, ১১৫, ২৩০

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৪৬ মিনিটে শহর A থেকে শহর B তে পৌঁছায়। দুইটি শহরের দূরত্ব ৫৯.৮ মাইল হলে, ঘণ্টায় ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত মাইল? 

সমাধান:  
৪৬ মিনিটে যায় = ৫৯.৮ মাইল 
∴ ১ মিনিটে যায় = ৫৯.৮/৪৬ মাইল 
∴ ৬০ মিনিটে যায় = (৫৯.৮ × ৬০)/৪৬ মাইল 
= ৭৮ মাইল 

∴ ঘণ্টায় ট্রেনটির গড় গতিবেগ = ৭৮ মাইল ।

ধরি, ফল বিক্রেতা ১০০ টি আম ক্রয় করেছেন
২ টি আমের ক্রয় মূল্য  ১ টাকা
১০০ টি আমের ক্রয় মূল্য ৫০ টাকা
৫ টি আমের বিক্রয় মূল্য ৩ টাকা
১০০ টি আমের বিক্রয় মূল্য ( ১০০ × ৩/৫ ) = ৬০ টাকা
লাভ = ৬০ - ৫০ = ১০ টাকা
৫০ টাকায় লাভ হয় ১০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় ( ১০০ × ১০/৫০ ) = ২০ টাকা 

প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল কত হবে?

সমাধান:
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৪৩২১০ 
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা= ১০২৩৪

যোগফল = ৪৩২১০ + ১০২৩৪
= ৫৩৪৪৪

ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
২ক + ৩৫ = ৬১
বা, ২ক = ৬১ - ৩৫
বা, ২ক = ২৬
বা, ক = ১৩

Let the numbers be a and b, where a > b
According to the question,
a+b = 37 and a²−b² = 185
⇒ (a+b)(a−b) = 185
⇒ 37(a−b) = 185
⇒ a−b = 185/37
⇒ a−b = 5

৩টি সংখ্যার গড় ৩৩ হলে এদের সমষ্টি = ৩ × ৩৩ = ৯৯
দুইটি সংখ্যা ২৪ এবং ৪২ হলে অপর সংখ্যাটি হবে = ৯৯ - (২৪ + ৪২) = ৩৩