পাটিগণিত

22 ও 23 এর ভিতরে অসংখ্য সংখ্যা আছে( যেমনঃ 22.1, 22.11, 22.111 ................)

প্রশ্ন: দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার পার্থক্য ৪। সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ৪৫ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক ও (ক + ৪)

প্রশ্নমতে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = এদের ল. সা .গু × গ. সা .গু
⇒ ক(ক + ৪) = ৪৫
⇒ ক^২ + ৪ক - ৪৫ = ০
⇒ ক^২ + ৯ক - ৫ক - ৪৫ = 0
⇒ ক(ক + ৯) - ৫ ( ক + ৯) = 0
⇒ (ক + ৯)(ক - ৫) = ০
⇒ ক = - ৯ , ৫ [- ৯ গ্রহনযোগ্য নয়]

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ৫
বড় সংখ্যাটি = (৫ + ৪) = ৯

প্রশ্ন অনুযায়ী,
৬ জন স্ত্রীলোক = ৮ জন বালক
∴ ৩ জন স্ত্রীলোক = ৪ জন বালক
∴ ৩ জন স্ত্রীলোক ও ১২ জন বালক = ৪+১২ = ১৬ জন বালক।
প্রশ্নমতে,
৮ জন বালক একটি কাজ করতে পারে = ১২ দিনে
১ জন বালক একটি কাজ করতে পারে = ১২ X ৮ দিনে
∴ ১৬ জন বালক একটি কাজ করতে পারে = (১২ X ৮ )/১৬ দিনে।
= ৬ দিনে।
∴ ৩ জন স্ত্রীলোক ও ১২ জন বালক ঐ কাজটি করতে পারবে = ৬ দিনে।

২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু হচ্ছে ৬০০।
সুতরাং ঐ সেনাবাহিনীতে সৈন্য ছিল = ৬০০ - ১৫
= ৫৮৫ জন।

প্রশ্ন: একটি কলম ৭৫০ টাকায় বিক্রয় করায় ২৫% ক্ষতি হয়। কত টাকায় বিক্রয় করলে ৩০% লাভ হবে?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৭৫০ টাকায় ক্রয়মূল্য = (৭৫০ × ১০০) /৭৫ টাকা
= ১০০০ টাকা

৩০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১৩০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১৩০/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = (১০০০ × ১৩০)/১০০ টাকা
= ১৩০০ টাকা

∴ ৩০% লাভের জন্য বিক্রয়মূল্য হবে ১৩০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ২৬০০। সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৫ : ৮ হলে, সংখ্যা দুইটির পার্থক্য কত?

সমাধান:
অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল = (৫ + ৮) = ১৩

প্রথম সংখ্যা = ২৬০০ এর (৫/১৩)= ১০০০

দ্বিতীয় সংখ্যা = ২৬০০ এর (৮/১৩) = ১৬০০

∴ সংখ্যা দুইটির পার্থক্য = ১৬০০ − ১০০০ = ৬০০

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৩০০ + ১০০ = ৪০০ মিটার
৬০০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
১ '' '' = ৩৬০০/৬০০০০ ''
∴ ৪০০ মিটার যায় = (৩৬০০×৪০০)/৬০০০০ = ২৪ সেকেন্ডে

২০% লাভে,
১২০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ৩৬০০ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য (৩৬০০ × ১০০)/১২০ = ৩০০০টাকা

২০% ক্ষতিতে,
৮০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ৩৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (৩৬০০ × ১০০)/৮০ = ৪৫০০ টাকা

মোট ক্রয়মূল্য ৩০০০ + ৪৫০০ = ৭৫০০টাকা
বিক্রয়মূল্য ৩৬০০ + ৩৬০০ = ৭২০০টাকা
∴ লোকসান = ৩০০ টাকা

প্রশ্ন: কোনো আসল সরল সুদে ৩ বছরে সুদে-আসলে ৬৫২ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৭০০ টাকা হলে, আসল কত?  

সমাধান: 
আসল + ৫ বছরের সুদ =৭০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৫২ টাকা
________________________________ 
∴ ২ বছরের সুদ = (৭০০ - ৬৫২) = ৪৮ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ =৪৮/২ টাকা
∴ ৫ বছরের সুদ = (৪৮ × ৫)/২ টাকা
= ১২০ টাকা

∴ আসল = (৭০০ - ১২০)
= ৫৮০ টাকা।

প্রশ্ন: কোন স্কুলের একটি শ্রেণিকক্ষে ছাত্র ও ছাত্রীদের অনুপাত ৫ : ৭। যদি শ্রেণিকক্ষে ১ জন শিক্ষক এবং ২৩ জন পর্যবেক্ষকসহ মোট ১৯২ জন লোক থাকে, তবে শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা কতজন?

সমাধান:
ছাত্র-ছাত্রীর অনুপাতের যোগফল = ৫ + ৭ = ১২

শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ১৯২ - (১ + ২৩) জন = ১৬৮ জন

∴ শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা = ১৬৮ × (৭/১২) জন
= ৯৮ জন

৩৪৪ - ২৯ = ৩১৫
এখন, ৩১৫ = ৩×৩×৫×৭
∴ ৩১৫ সংখ্যাটি ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

মোট সময় নেয় = ৭ ঘন্টা।
যাত্রা বিরতি = ১ ঘন্টা।
নিট সময় নেয় = ৭ - ১ = ৬ ঘন্টা।
মোট দূরত্ব = ২৮২ কিলোমিটার।
∴ বাসটির গড় গতিবেগ = ২৮২/৬ কিমি/ঘন্টা।
= ৪৭ কিমি/ঘন্টা।

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবথেকে বড় ভগ্নাংশ কোনটি?

সমাধান:
২/৩ = ০.৬৬৬
৩/৮ = ০.৩৭৫
১/২ = ০.৫০০
১/৪ = ০.২৫০

∴ সবথেকে বড় ভগ্নাংশটি হলো ২/৩

ধরি, সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য x মিটার
আমরা জানি,
বেগ ( v ) = সরণ(s)/ সময়(t)
এখানে বেগ = ( ৭২ × ১০০০ )/৩৬০০ = ২০ মি./সে.
সরণ = ৭০০ + x
সময় = ৬০ সে
প্রশ্নমতে,
⇒ ( ৭০০ + x )/৬০ = ২০
⇒ x = ৫০০ মিটার

প্রশ্ন: 'ক' অঙ্কে ১২টি ঠিক করে ৭৫% নম্বর পেল। কয়টি অঙ্ক ঠিক করলে সে ১০০% নম্বর পেত? 

সমাধান: 
মোট নম্বরের ৭৫% = ১২ টি 
∴ মোট নম্বরের ১% = ১২/৭৫ টি 
∴ মোট নম্বরের ১০০% = (১২ × ১০০)/৭৫ = ১৬  টি 

সুতরাং, ১৬ টি অঙ্ক ঠিক করলে সে ১০০% নম্বর পেত। 

প্রশ্নানুসারে, ৮০% = ২৪ টাকা
∴ ১% = ২৪/৮০ টাকা
সুতরাং বইয়ের প্রকৃত মূল্য অর্থাৎ, ১০০% = ২৪ × ১০০/৮০ টাকা = ৩০ টাকা।
অতএব সরকার প্রতি বইয়ে ভর্তুকি দেয় (৩০ - ২৪) টাকা = ৬ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭, তাদের গ.সা.গু ৩ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ৫ক 
অপর সংখ্যা = ৭ক
∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩৫ক

শর্তমতে,
ক = ৩ 

∴ ল.সা.গু = ৩৫ × ৩ = ১০৫ 

৬১ গড় বিশিষ্ট পাঁচটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা = ৫৭, ৫৯, ৬১, ৬৩, ৬৫
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতমটির অন্তর = ৬৫ - ৫৭
= ৮

প্রশ্ন: (০.০০৪)/(০.১ × ০.৪) = কত?

সমাধান:
(০.০০৪)/(০.১ × ০.৪)
= (০.০০৪)/(০.০৪)
= (৪/১০০০)/(৪/১০০)
= ১/১০
= ০.১

প্রশ্ন: একটি জিনিস ২০% লাভে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা কম হলে ১০% ক্ষতি হতো। জিনিসটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
জিনিসের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

২০% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা।

এবং ১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা
= ৯০ টাকা।

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১২০ - ৯০) = ৩০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৩০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৬০)/৩০ টাকা
= ২০০ টাকা।

∴ জিনিসটির ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা।

বড় বাক্স = ১ টি।
মাঝারি বাক্স = ৪ টি।
এবং ছোট বাক্স = ৪ X ৬ = ২৪ টি।
সুতরাং মোট বাক্স আছে = ১+৪+২৪ = ২৯ টি।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৯, ১২, ১৫ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৪ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু থেকে ৪ বেশি।

৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
∴ ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ১৮০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৮০ + ৪ = ১৮৪

সুদ-আসল = সুদ + আসল = ১০০০×৬×(৯/১০০) +১০০০ = ১৫৪০ টাকা।