পাটিগণিত

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় শতকরা ৬০ জন গণিতে পাস করেছে। গণিতে মোট ৭২ জন ফেল করলে, পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
গণিতে ফেল করে = (১০০ - ৬০) জন  
= ৪০ জন 

এখন, 
৪০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ জন
∴ ১ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০/৪০ জন 
∴ ৭২  জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = (১০০ × ৭২)/৪০ জন 
= ১৮০ জন 

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১৮০ জন।

প্রশ্ন: তিনজন সাইকেল আরোহীর গতির অনুপাত ৫ : ৮ : ১০। তারা একই দূরত্ব অতিক্রম করতে যে সময় নেয় তার অনুপাত কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
তিনজন সাইকেল আরোহীর গতির অনুপাত ৫ : ৮ : ১০

মনেকরি,
দূরত্ব = ১ 

∴ তিনটি গাড়ির সময়ের অনুপাত  = (১/৫) : (১/৮) : (১/১০)
= (১/৫) × ৪০ : (১/৮) × ৪০ : (১/১০) × ৪০
= ৮ : ৫ : ৪ 

প্রশ্ন: ০.০০৪০৯৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করুণ।

সমাধান:
√০.০০৪০৯৬
= √(৪০৯৬/১০০০০০০)
= √(৬৪^২/১০০০^২)
= ৬৪/১০০০
= ০.০৬৪

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশি যথাক্রমে ২ এবং ৩২ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ২
৪র্থ রাশি = ৩২

আমরা জানি, তিনটি পরপর সমানুপাতের ক্ষেত্রে:
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ২ × ৩২ = ৬৪
⇒ মধ্য রাশি = √৬৪ = ৮

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ২৫। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩০ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় = ২৫
∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (২৫ × ২)
= ৫০

আবার,
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় = ৩০
∴ প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ × ৩) 
= ৯০ 

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (৯০ - ৫০) 
= ৪০  । 

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি ঘড়ি ৫৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি হয়। কত টাকায় বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৫৬০)/৮০ টাকা
= ৭০০ টাকা

আবার, ২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৭০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৭০০)/১০০ টাকা
= ৮৪০ টাকা

প্রশ্ন: 2, 5, 6 এর চতুর্থ সমানুপাতী কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি
সমানুপাতের ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
2 × ৪র্থ রাশি = 5 × 6
৪র্থ রাশি = (30/2)
৪র্থ রাশি = 15

9x² + 16y²
= (3x)² + (4y)² + 2.3x.4y - 24xy
= (3x - 4y)² - 24xy
∴ 9x² + 16y² এর সাথে 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের দ্বিগুণানুপাত = ৯^২ : ৩৬^২
= ৮১ঃ১২৯৬

প্রশ্ন: তেলের মূল্য ২০% কমে গেল, কিন্তু এর ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পেল। এতে তেল বাবদ ব্যয় শতকরা কত বাড়লো বা কমলো?

সমাধান: 
২০% কমে যাওয়ায় তেলের বর্তমান মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা
তেলের ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায়, বর্তমানে তেল ব্যবহৃত হয় = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

∴ ১০০ টাকার তেলের স্থানে ব্যবহার হয় ১২০ টাকার তেল
∴ ১ টাকার তেলের স্থানে ব্যবহার হয় = ১২০/১০০ টাকার তেল
∴ ৮০ টাকার তেলের স্থানে ব্যবহার হয় = (১২০ × ৮০)/১০০ = ৯৬ টাকা তেল

তেল বাবদ শতকরা ব্যয় কমে (১০০ - ৯৬)= ৪ টাকা
∴ ৪% ব্যয় কমলো।

মনে করি,
ছাগলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) টাকা বা, ৯০ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য - ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য
= (১০৫ - ৯০) টাকা বা, ১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০×৪৫০)/ ১৫ = ৩০০০ টাকা
সুতরা, ছাগলটির ক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। যদি তাদের ল.সা.গু ২৪০ হয়, তবে দুটি সংখ্যার মধ্যে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দুটি সংখ্যা হলো ৩x এবং ৪x, যেখানে x তাদের সাধারণ গুণনীয়ক।
∴ ৩x এবং ৪x এর  ল.সা.গু = ১২x

প্রশ্নমতে, 
১২x = ২৪০ 
⇒ x = ২৪০/১২ 
∴ x = ২০ 

∴ সংখ্যা দুটি হলো,
৩x = ৩ × ২০ = ৬০ 
৪x = ৪ × ২০ = ৮০ 

সুতরাং, দুটি সংখ্যার মধ্যে ছোটটি হলো ৬০।  

ধরি সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ৩ক + ২ক = ১১৫
বা, ৫ক = ১১৫
বা, ক = ২৩
∴ সংখ্যাটি ২৩

অনুপাতের সমষ্টি = ৭+৩ = ১০
∴ ৬০ লিটার মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৬০ এর ৩/১০ = ১৮ লিটার।

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১২০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ১২০

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ভাগফল/৩ = ১২০/৩ = ৪০

এবং ভাগশেষ = ভাজক/২ = ৪০/২ = ২০

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ 
= (১২০ × ৪০) + ২০
= ৪৮২০

১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ১০/১০ টাকা = ১ টাকা
১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১০/৮ টাকা = ১.২৫ টাকা।
∴ লাভ = (১.২৫ - ১) = ০.২৫ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় ০.২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় ০.২৫ × ১০০ টাকা
= ২৫ টাকা
∴ লাভ ২৫%

প্রশ্ন: টাকায় ৪ টি করে লিচু ক্রয় ৫ টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত ক্ষতি হবে?

সমাধান: 
৪টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/৪ টাকা 

আবার,
৫টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা

∴ ক্ষতি = (১/৪) - (১/৫) = (৫ - ৪)/২০
= ১/২০ টাকা 
 
∴ ১/৪ টাকায় ক্ষতি হয় = ১/২০ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৪/২০ = ১/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০০/৫ = ২০ টাকা

সুতরাং, শতকরা ২০% ক্ষতি হবে।

প্রশ্ন: নয়টি সংখ্যার গড় ৬৩। এদের প্রথম পাঁচটির গড় ৬০ এবং শেষ পাঁচটির গড় ৬৫ হলে পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
নয়টি সংখ্যার যোগফল = ৯ × ৬৩ = ৫৬৭ 
প্রথম পাঁচটির যোগফল = ৫ × ৬০ = ৩০০
শেষ পাঁচটির যোগফল = ৫ × ৬৫ = ৩২৫

তাহলে,
পঞ্চম সংখ্যাটি = প্রথম পাঁচটির + শেষ পাঁচটির - নয়টির যোগফল
= ৩০০ + ৩২৫ - ৫৬৭
= ৬২৫ - ৫৬৭
= ৫৮

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৭। উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে অনুপাত হয় ১ : ২। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৪ক এবং ৭ক
উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে নতুন অনুপাত ১ : ২ হয়। 
অর্থাৎ, 
⇒ (৪ক - ৩) : (৭ক - ৩) = ১ : ২
⇒ (৪ক - ৩)/(৭ক - ৩) = ১/২
⇒ ৮ক - ৬ = ৭ক - ৩ 
⇒ ৮ক - ৭ক = - ৩ + ৬ 
∴ ক = ৩ 
সুতরাং, প্রথম সংখ্যা = ৪ × ৩ = ১২ এবং দ্বিতীয় সংখ্যা = ৭ × ৩ = ২১

অতএব, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ১২ এবং ২১। 

(4848/24)×11−222
=202×11−222
=2222−222
=2000

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
দশমিকে রূপান্তর করে পাই, 
5 ÷ 12 = 0.4167
6 ÷ 13 = 0.4615
11 ÷ 24 = 0.4583
3 ÷ 8 = 0.375

তুলনা:
0.375 < 0.4167 < 0.4583 < 0.4615

∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশ = 6/13

মুনাফা ১৫ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ মুনাফা ১ টাকা হলে আসল ১০০/১৫ টাকা
∴ মুনাফা ১৬৮০ টাকা হলে আসল (১০০ x ১৬৮০)/১৫ টাকা
= ১১২০০ টাকা

15a³b²c³ ও 12a⁴bc⁴ এর মধ্যে 3, a³, b এবং c³ উভয় রাশির মধ্যে বিদ্যমান আছে।
∴ গসাগু = 3a³bc³

৬০ = ক এর ৮০%
বা, ৬০ = ক এর ৮০/১০০
বা, ৮০ক = ৬০০০
বা, ক = ৭৫

Question: 36 men can complete a piece of work in 18 days. In how many days will 27 men complete the same work?

Solution:
৩৬ জন লোকে একটি কাজ করতে পারে ১৮ দিনে
১ জন লোকে একটি কাজ করতে পারে ১৮ × ৩৬ দিনে
২৭ জন লোকে একটি কাজ করতে পারে (১৮ × ৩৬)/২৭ দিনে
= ২৪ দিনে

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
মিশ্রণে এসিড : পানির অনুপাত = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৬০ × (৩/৫)} = ৩৬ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৬০ × (২/৫)} = ২৪ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩৬ : (২৪ + x) = ২ : ৩
বা, ৩৬/(২৪ + x) = ২/৩ 
বা, ১০৮ = ৪৮ + ২x 
বা, ২x = ১০৮ - ৪৮ 
বা, ২x = ৬০ 
বা, x = ৬০/২ 
∴ x = ৩০ 

∴ ৩০ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬৪, ৮০, ৯৬ ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৮, ১২ ভাগশেষ থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৬৪ - ৪ = ৬০
৮০ - ৮ = ৭২
৯৬ - ১২ = ৮৪

এখন, ৬০, ৭২ ও ৮৪ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।

৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৮৪ = ২ × ২ × ৩ × ৭

সুতরাং, গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২