পাটিগণিত

প্রশ্ন: কোনো আসল ৫ বছরে মুনাফা-আসলে ৫২৫০ টাকা হয়। মুনাফা, আসলের ৩/৪ অংশ হলে সরল মুনাফার হার কত?

সমাধান:
মনে করি, আসল = ক টাকা
শর্তমতে, মুনাফা = ক এর ৩/৪ অংশ = ৩ক/৪ টাকা

আমরা জানি, আসল + মুনাফা = মুনাফা - আসল
⇒ ক + ৩ক/৪ = ৫২৫০
⇒ (৪ক + ৩ক)/৪ = ৫২৫০
⇒ ৭ক/৪ = ৫২৫০
⇒ ৭ক = ৫২৫০ × ৪
⇒ ৭ক = ২১০০০
⇒ ক = ২১০০০/৭
∴ ক = ৩০০০

সুতরাং, আসল (P) = ৩০০০ টাকা
মুনাফা (I) = ৩০০০ এর ৩/৪ অংশ = ২২৫০ টাকা
সময় (n) = ৫ বছর

আমরা জানি,
মুনাফার হার, r = (I × ১০০)/(P × n)
⇒ r = (২২৫০ × ১০০)/(৩০০০ × ৫)
⇒ r = ২২৫০০০/১৫০০০
∴ r = ১৫%

∴ নির্ণেয় সরল মুনাফার হার = ১৫%

প্রশ্ন: প্রথম 10 কেজি পরিবহনের জন্য প্রতি কেজিতে 5 টাকা এবং 10 কেজির উপর প্রতি কেজিতে 4 টাকা ফি নেওয়া হয়। 27 কেজি পরিবহনের জন্য কত ফি দিতে হবে?

সমাধান:
প্রথম ১০ কেজির মধ্যে 
১ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৫ টাকা
১০ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৫ × ১০ টাকা
= ৫০ টাকা

 (২৭ - ১০) = ১৭ কেজিতে 
১ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৪ টাকা
১৭ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৪ × ১৭ টাকা
= ৬৮ টাকা

২৭ কেজিতে ফি দিতে হবে = (৫০ + ৬৮) টাকা
= ১১৮ টাকা 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ৯০ এবং পার্থক্য ৩০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দুইটি সংখ্যা হলো ক ও খ, যেখানে ক > খ

দেওয়া আছে,
ক + খ = ৯০ ........(১)
ক - খ = ৩০ ........(২)

দুটি সমীকরণ যোগ করলে,
২ক = ৯০ + ৩০ = ১২০
⇒ ক = ১২০/২
∴ ক = ৬০

∴ বড় সংখ্যাটি = ৬০

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 151 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 151
মনে করি,
দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে g, (g - 1)

শর্তমতে,
বা, g² - (g - 1)² = 151
বা, g² - (g² - 2 × g × 1 + 1²) = 151
বা, g² - g² + 2g - 1 = 151
বা,  2g - 1 = 151
বা, 2g = 151 + 1
বা, 2g = 152
বা, g = 152/2
∴ g = 76

অপর সংখ্যাটি = 76 - 1 = 75
বড় সংখ্যাটি  76

প্রশ্ন: ১/২, ৫/৬, ৩/৪, ৫/১২ ভগ্নাংশগুলোর গড় কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর সমষ্টি = ১/২ + ৫/৬+ ৩/৪ + ৫/১২
= (৬ + ১০ + ৯ + ৫)/১২
= ৩০/১২
= ৫/২

∴ ভগ্নাংশগুলোর গড় = (৫/২)/৪
= (৫/২) × (১/৪)
= ৫/৮

 মিশ্রণে চিনি আছে ১.৫ 
মিশ্রণে পানি আছে ৪৮.৫ লিটার

ধরি,
ক লিটার পানি বাষ্পীভূত করতে হবে।

১.৫/(৪৮.৫ - ক) = ৫/৯৫
বা, ১৪২.৫ = ২৪২.৫ - ৫ক
বা, ৫ক = ১০০
∴ ক = ২০

২০ লিটার পানি বাষ্পিভূত হতে হবে।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর এবং মা ও ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৩২ বছর। পিতার বয়স ৬২ বছর হলে, মায়ের বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর
∴ পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৪০ × ২) বছর = ৮০ বছর

∴ পুত্রের বয়স = (৮০ - ৬২) বছর = ১৮ বছর

মা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩২ বছর
∴ মা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৩২ × ২) বছর = ৬৪ বছর

∴ মায়ের বয়স = (৬৪ - ১৮) বছর = ৪৬ বছর

অতএব, মায়ের বয়স ৪৬ বছর।

প্রশ্ন: আকাশ এবং কাদের একটি ব্যবসায় বিনিয়োগ করেন। তাদের অর্জিত মুনাফা ২ : ৩ অনুপাতে ভাগ করা হয়েছে। যদি আকাশ ২০০০০ টাকা বিনিয়োগ করে থাকেন, তবে কাদের কত টাকা বিনিয়োগ করেছিলেন? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অর্জিত মুনাফার অনুপাত ২ : ৩
আকাশের বিনিয়োগের পরিমাণ ২০০০০ টাকা

মনে করি,
কাদেরের বিনিয়োগের পরিমাণ ক টাকা

প্রশ্নমতে,
২০০০০ : ক = ২ : ৩
বা, ২০০০০/ক = ২/৩
বা, ২ক = ২০০০০ × ৩
বা, ২ক = ৬০০০০
বা, ক = ৬০০০০/২
∴ ক = ৩০০০০

∴ কাদেরের বিনিয়োগের পরিমাণ ৩০০০০ টাকা।

মনে করি,
প্রথম বছরের আয় x টাকা
প্রশ্নমতে,
দ্বিতীয় বছরের আয় 3x/2 টাকা
তৃতীয় বছরের আয় (5/2)(3x/2) = 15x/4 টাকা

x + 3x/2 + 15x/4 = 55000
=> (4x + 6x + 15x) / 4 = 55000 * 3
=> 25x = 12 * 55000
=> x = 26400
তাহলে,
প্রথম বছরের আয় 26400 টাকা
দ্বিতীয় বছরের আয় ৩৯৬০০ টাকা
তৃতীয় বছরের আয় ৯৯০০০ টাকা
দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় = ৬৯৩০০ টাকা

৫৭, ১৪৫ এর গ.সা.গু = ১
∴ এরা সহমৌলিক।

প্রশ্ন: একটি নৌকায় নদীর স্রোতের অনুকূলে ৪৮ কি.মি. পথ যেতে ৪ ঘণ্টা সময় লেগেছে। নৌকার প্রকৃত গতি ঘণ্টায় ৯ কি.মি. হলে ফিরে আসার সময় নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
স্রোতের অনুকূলে দূরত্ব = ৪৮ কি.মি.
স্রোতের অনুকূলে সময় = ৪ ঘণ্টা
নৌকার প্রকৃত গতি = ৯ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪৮/৪
= ১২ কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতি + স্রোতের গতি
⇒ ১২ = ৯ + স্রোতের গতি
⇒ স্রোতের গতি = ১২ - ৯ = ৩ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতি - স্রোতের গতি
= ৯ - ৩
= ৬ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ফিরে আসার সময় = দূরত্ব/স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ
= ৪৮/৬
= ৮ ঘণ্টা

অতএব, ফিরে আসার সময় নৌকাটির ৮ ঘণ্টা সময় লাগবে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা:
 p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 , যেমন: √16 = 4, 3/1 = 3, 11/2 = 5.5, 5/3 = 1.666....... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।
- যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
- শূন্য, সকল স্বাভাবিক সংখ্যা, ভগ্নাংশ এবং পৌনপুণিক সংখ্যা মূলদ সংখ্যা।

• অমূলদ সংখ্যা:
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও ৭ পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
- যেমন: √2 = 1.414213......., √3 = 1.732 ........, √11 = 3.31662........ ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
- কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
- অমূলদ সংখ্যাকে একটি মূলদ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।

অপশনসমূহ:
(ক) = 15/99 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(খ) 2/5 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(গ) √(27/48) = √(9/16) = 3/4 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(ঘ) √8 = √(4 × 2) = 2√2 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং √2 একটি অমূলদ সংখ্যা। তাই √8 একটি অমূলদ সংখ্যা।

20% লাভে,
ক্রয়মূল্য 100 টাকায় বিক্রয়মূল্য = 120 টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত = 120 : 100
= 6 : 5

ভাতাসহ কর্মকর্তার এক মাসের সর্বমোট বেতন = (৪০০০০ + ৪০০০০ এর ৪৫% + ১৫০০ + ১০০০ + ৭০০) টাকা
= (৪০০০০ + ১৮০০০ + ১৫০০ + ১০০০ + ৭০০) টাকা
= ৬১২০০ টাকা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
আমরা জানি,  দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
ক) ১০ এবং ১৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৫ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

খ) ২১ এবং ২৮: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৭ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

গ) ৯ এবং ১৬:
৯ = ৩ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
৯ এবং ১৬ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই।
∴ ৯, ১৬ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

ঘ) ৬ এবং ২৭: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো (গ) ৯, ১৬।

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
ধরি চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলো, 
n, n + 1, n + 2, n + 3

∴ তাদের গুণফল = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
= (n² + 3n)(n² + 3n + 2)
= x(x + 2)  ; [ধরি, x = n² + 3n] 
= x² + 2x
= x² + 2x + 1  ; [1 যোগ করে পাই] 
= (x + 1)²  ; যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা

সুতরাং, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 

৪টির ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ১ টির ক্রয়মূল্য ৫/৪ = ১.২৫ টাকা
৪টাকায় ৫ টি বিক্রয় করলে ১ টি বিক্রয় করে ৪/৫ = ০.৮০ টাকায়
∴১টিতে ক্ষতি হয় ১.২৫ - ০.৮০= ০.৪৫ টাকা
১.২৫ টাকায় ক্ষতি হয় ০.৪৫ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (০.৪৫/১.২৫)×১০০ = ৩৬ টাকা
শতকরা ৩৬ টাকা ক্ষতি হবে ।

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ এর মূলধন সমান কিন্তু গ এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা 
∴ গ এর মূলধন = (x - ২০) টাকা 

প্রশ্নমতে, 
x + x + (x - ২০) = ২৮০ 
বা, x + x + x - ২০ = ২৮০ 
বা, ৩x = ২৮০ + ২০ 
বা, ৩x = ৩০০ 
বা, x = ৩০০/৩ 
∴ x = ১০০ 

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x - ২০) 
= ১০০ : ১০০ : (১০০ - ২০) 
= ১০০ : ১০০ : ৮০ 
= ৫ : ৫ : ৪ 

∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৫ + ৪)
= ১৪ 

∴ গ লাভ পাবে = {৫৬ × (৪/১৪)} টাকা 
= ১৬ টাকা ।

৫ঃ১৬ , ৭ঃ২, ৩ঃ৬ = ৫ঃ১৬ , ৭ঃ২, ১ঃ২
∴ মিশ্র অনুপাত = (৫ × ৭ × ১) ঃ (১৬ × ২ × ২) = ৩৫ঃ৬৪

প্রশ্ন: R হলো একটি ধনাত্মক সংখ্যা। সংখ্যাটিকে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো। এখন বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো। বর্গমূলের ফল Q হলে, Q এর মান কত? 

সমাধান:

R কে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো,

R × 8 = 8R
বর্গ: (8R)² = 64R²

বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো,

ভাগ: 64R² ÷ 4 = 16R²

বর্গমূল: √(16R²) = 4R
তাহলে, Q = 4R

উত্তর: খ) 4R

প্রশ্নমতে,
(.০২ + .০০৮ + ১.০০২ + ৪০.০১২ + x) /৫ = ১২.২১২৪
⇒ ৪১.০৪২ + x = ৬১.০৬২
⇒ x = ৬১.০৬২ - ৪১.০৪২
∴ x = ২০.০২০

প্রশ্ন: (২৫/৪)% সরল মুনাফায় ১৬০০০ টাকার ৯ মাসের মুনাফা কত হবে? 

সমাধান: 
১০০ টাকার ১২ মাসের মুনাফা ২৫/৪ টাকা 
১ টাকার ১ মাসের মুনাফা ২৫/(৪ × ১০০ × ১২) টাকা 
১৬০০০ টাকার ৯ মাসের মুনাফা (২৫ × ৯ × ১৬০০০)/(৪ × ১০০ × ১২) টাকা 
= ৭৫০ টাকা 

ধরি,
a শতাংশ
∴ ২৫ × a/১০০ = ৫০/১০০
∴ a = ২

প্রশ্ন: ১৫ জন শ্রমিক ৬০ দিনে একটি সেতু নির্মাণ করতে পারে। সেতুটি ১৫ দিনে তৈরি করতে কতজন শ্রমিক লাগবে?

সমাধান:
৬০ দিনে শ্রমিক লাগে ১৫ জন
∴ ১ দিনে তৈরি করতে শ্রমিক লাগে = ১৫ × ৬০ = ৯০০
∴ ১৫ দিনে শ্রমিক লাগবে = ৯০০ ÷ ১৫
= ৬০ জন

প্রশ্ন: ০.০২৩ এর ১% = কত? 

সমাধান: 
০.০২৩ এর ১% = ০.০২৩ এর ১/১০০ 
= ০.০২৩ × (১/১০০) 
= ০.০০০২৩

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৮০। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৯ হলে, সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = ৪ক ও ৯ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৩৬ক

প্রশ্নমতে,
৩৬ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/৩৬
⇒ ক = ৫

∴ প্রথম সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৫ = ২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৯ক = ৯ × ৫ = ৪৫

∴ সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর = ৪৫ − ২০ = ২৫

লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু হতে ৩ বিয়োগ।

২|২৪, ৩৬, ৪৮
 ২|১২, ১৮, ২৪
  ২|৬, ৯, ১২
   ৩|৩, ৯, ৬
       ১, ৩, ২

নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ২ = ১৪৪
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৪৪ - ৩
= ১৪১