পাটিগণিত

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
ক) ১১/১৪ = ০.৭৮৫৭ 

খ) ১৭/২১ = ০.৮০৯৫

গ) ৫/৬ = ০.৮৩৩৩

ঘ) ১২/১৫ = ০.৮

p = ১০,০০০ টাকা, I = ৪৫০ টাকা, r = ৬%
∴ n = ?
এখন, I = Prn
বা, n = I/Pr
= ৪৫০/(১০০০০×(৬/১০০))
= (৪৫০×১০০)/(১০০০০×৬)
= ৩/৪ বছর
= (৩×১২)/৪
= ৯ মাস

মনির ও মিতুর আয়ের অনুপাত = ৪ঃ৩ = ২০ঃ১৫
মিতু ও রবিনের আয়ের অনুপাত = ৫ঃ৪ = ১৫ঃ১২
∴ মনিরের আয় ঃ মিতুর আয় ঃ রবিনের আয় = ২০ ঃ ১৫ ঃ ১২
∴ মনিরের আয় ঃ রবিনের আয় = ২০ ঃ ১২
বা, রবিনের আয় = (১২/২০) × মনিরের আয়
বা, (১২/২০) × ১২০
বা, ৭২ টাকা 
∴রবিনের আয় = ৭২ টাকা।

ধরি 
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে,
x × 60% - 60 = 60
6x/10 = 120
x = 200

সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম।
এখন, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪
∴ লঘিষ্ট সংখ্যাটি হচ্ছে = ১৪৪ - ৩ = ১৪১

প্রশ্ন: ২/৯ এবং ৪/১৫ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব (২, ৪)-এর ল.সা.গু নির্ণয়:
২ = ২
৪ = ২^২
∴ ল.সা.গু = ৪

হর (৯, ১৫)-এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৯ = ৩^২
১৫ = ৩ × ৫
∴ গ.সা.গু = ৩

∴ ২/৯ এবং ৪/১৫ এর ল.সা.গু = ৪/৩

ধরি, মোট ছাত্র-ছাত্রী ১০০ জন।
৪০% ছাত্র হলে ছাত্রী ৬০%।
ছাত্র অংশ নেয় ৪০×৩০%= ১২ জন।
ছাত্রী অংশ নেয় ৬০×২০%= ১২ জন।
∴ শতকরা মোট অংশগ্রহণকারী ছাত্র ছাত্রী ২৪%।

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট দলের ১০ জন খেলোয়াড়ের রানের গড় ৩৫। যদি আরও একজন খেলোয়াড় যোগ হয়, তবে দলের মোট রান ৩৯৬ হয়। ১১তম খেলোয়াড়ের রানের গড় কত?

সমাধান:
প্রথমে ১০ জন খেলোয়াড়ের গড় ৩৫।
∴ ১০ জনের মোট রান = ১০ × ৩৫ = ৩৫০

আবার, 
এখন ১১ জনের মোট রান = ৩৯৬

∴ ১১তম খেলোয়াড়ের রান = ৩৯৬ - ৩৫০ = ৪৬

সুতরাং ১১তম খেলোয়াড়ের রান ৪৬

বিজয়ী প্রার্থী পায় ৫৫% ভোট এবং পরাজিত প্রার্থী ভোট পায় ৪৫% ভোট।
সুতরাং ভোটের পার্থক্য = (৫৫ - ৪৫)% = ১০%
এখানে ১০% = ১০,০০০ জন
সুতরাং ১০০% = ১,০০,০০ জন।

ধরি, বছর = ক
৮% সুদে ৩৫০ টাকায় 'ক' বছরের সুদ = ৮×ক×৩৫০/১০০ = ১৪০ টাকা
বা, ২৮ক = ১৪০
বা, ক = ৫
অর্থাৎ, ১৪০ টাকা সুদ পাওয়া যাবে ৫ বছরে।

ধরি, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা। তাহলে ৭.৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৯২.৫ টাকা।
আবার ক্রয়মূল্য ১০% কম হলে ক্রয়মূল্য হত ৯০টাকা
এবং ২০% লাভে নতুন বিক্রয়মূল্য হতো ৯০ + ৯০ এর ২০% বা ১৮ টাকা = ১০৮ টাকা।
প্রথম ও দ্বিতীয় বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১০৮ - ৯২.৫ = ১৫.৫ এখন এই ১৫.৫% এর মান ৩১ টাকা
(কারণ দুই বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য হলো ৩১ টাকা এবং ১৫.৫%)
এখন ১৫.৫% = ৩১ হলে ১% = ২ 
∴ ১০০% (ক্রয়মূল্য ) = ২০০ টাকা।
উত্তর: ২০০ টাকা

প্রশ্ন: সাইফুল 13400 টাকায় 4 টি ঘোড়া এবং 9 টি গরু ক্রয় করেন। যদি তিনি ঘোড়াগুলো 10% লাভে এবং গরুগুলো 20% লাভে বিক্রি করেন, তবে তার মোট 1880 টাকা লাভ হয়। দুইটি ঘোড়ার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি ঘোড়ার ক্রয়মূল্য H টাকা
একটি গরুর ক্রয়মূল্য C টাকা

সাইফুল 13400 টাকায় 4 টি ঘোড়া এবং 9 টি গরু ক্রয় করেন
প্রশ্নমতে,
4H + 9C = 13400 ................... (1)

ঘোড়ায় 10% এবং গরুতে 20% লাভ হলে মোট লাভ হয় 1880 টাকা
তাহলে,
4H × 10% + 9C × 20% = 1880
⇒ 4H × (1/10) + 9C × (1/5) = 1880
⇒ (2H/5) + (9C/5) = 1880
⇒ (2H + 9C)/5 = 1880
⇒ (2H + 9C) = 1880 × 5
⇒ (2H + 9C) = 9400 ....................(2)

এখন, (1) - (2) ⇒
4H + 9C - 2H - 9C = 13400 - 9400
⇒ 2H = 4000
∴ 2H = 4000

∴ দুইটি ঘোড়ার ক্রয়মূল্য 4000 টাকা।

( a² + 16b² )/( a² - 16b²) - ( a - 4b)/( a + 4b )
( a² - 16b²) ও ( a + 4b ) লসাগু =( a² - 16b²)
প্রদত্ত রাশি,
=( a² + 16b² )/( a² - 16b²) - ( a - 4b)/( a + 4b )
= { a² + 16b² - ( a - 4b )² }/( a² - 16b²)
= 8ab/( a² - 16b²)

প্রশ্ন: যদি Q একটি মৌলিক সংখ্যা হয়  তাহলে √Q কী হবে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: ২৫০ মিটার সেতু অতিক্রম করতে ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের ৩০ সেকেন্ড সময় লাগে, ঐ ট্রেনের ঘন্টার গতি বেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সেতুর দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = ১৫০ + ২৫০ = ৪০০ মিটার
এবং সময় ৩০ সেকেন্ড।

আমরা জানি, 
বেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪০০/৩০
= ৪০/৩ মিটার/সেকেন্ড
= (৪০/৩) × (১৮/৫) কি.মি./ঘণ্টা   ; [১ মিটার/সেকেন্ড = ১৮/৫ কি.মি./ঘণ্টা] 
= (৪০ × ১৮)/(৩ × ৫)
= ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, ট্রেনের বেগ ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ অবশিষ্ট থাকে তাই,
৫২ - ৪ = ৪৮
৭০ - ৬ = ৬৪
৮৮ - ৮ = ৮০

এখন, ৪৮, ৬৪ ও ৮০ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৪ × ৩
৬৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ২^৬
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫ = ২^৪ × ৫

∴ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু = ২^৪ = ১৬

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৬

Let number are = 2x, 3x, 4x
given,
LCM of (2×3×2)x = 12x
12x = 240
x = 20
∴ numbers are 2×20 = 40
3×20 = 60
4×20 = 80
∴ Smaller is 40

প্রশ্ন: জালাল প্রতি ঘণ্টায় ৯ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে পারে। ৩৬ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে তার কত ঘণ্টা লাগবে?

সমাধান:
জালাল ৯ কি.মি. পথ অতিক্রম করে ১ ঘণ্টায়
 জালাল ১ কি.মি. পথ অতিক্রম করে ১/৯ ঘণ্টায়
 জালাল ৩৬  কি.মি. পথ অতিক্রম করে (১ × ৩৬)/৯ ঘণ্টায়
= ৪ ঘণ্টায়

∴ নির্ণেয় সময় ৪ ঘণ্টা

১০০ টাকার নোট ক সংখ্যক ও ৫০ টাকার নোট খ সংখ্যক হলে, আমরা লিখতে পারি যে
১০০ক + ৫০খ = ২০০০
বা, ১০০ক = ২০০০ - ৫০খ
বা, ক = (২০০০ - ৫০খ)/১০০
খ = ২,৪, ৬, ------------, ৩৬, ৩৮ হলে, ক এর মান স্বাভাবিক সংখ্যা পাব।
কত প্রকারে তার অনুরোধ রক্ষা করা সম্ভব এর উত্তর অবশ্যই স্বাভাবিক সংখ্যায় দিতে হবে।
২,৪, ৬, ------------, ৩৬, ৩৮ পর্যন্ত মোট ১৯ টি সংখ্যা আছে। তাই ১৯ প্রকারে অনুরোধ রক্ষা করা সম্ভব।

খ = ২ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ২)/১০০ = ১৯
খ = ৪ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ৪)/১০০ = ১৮
খ = ৬ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ৬)/১০০ = ১৭
-----------------------------------------------
-----------------------------------------------
খ = ৩৬ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ৩৬)/১০০ = ২
খ = ৩৮ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ৩৮)/১০০ = ১

ক্রয়মূল্য = (১০০ × বিক্রয়মূল্য)/(১০০ + লাভের শতকরা হার)
= (১০০ × ৫৬০)/(১০০+১০) = ৫৬০০০/১১০ = ৫০৯.১০ টাকা (প্রায়)

২ ও ৩ এর ভিতরে অসংখ্য সংখ্যা আছে( যেমনঃ 2.1, 2.11, 2.111 ................)

প্রশ্নমতে,
(p(1 + r)ⁿ -p) - pnr
৫৩৬৮ - ৪০০০ = ১৩৬৮

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

ক) ৫০৪ ⇒ ৫ + ০ + ৪ = ৯ (বিভাজ্য)
খ) ১৪৭ ⇒ ১ + ৪ + ৭ = ১২ (বিভাজ্য)
গ) ৫১৩ ⇒ ৫ + ১ + ৩ = ৯ (বিভাজ্য)
ঘ) ২৫১ ⇒ ২ + ৫ + ১ = ৮ (৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়)

∴ ২৫১ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ এর গসাগু।
∴ এখানে, ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ এর গসাগু = ৩
∴নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩

৩টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২)-(১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন: চার বন্ধুর গড় বয়স ২৮ বছর। একজন চলে গেলে বাকি তিনজনের গড় বয়স ২৬ বছর। চলে যাওয়া বন্ধুটির বয়স কত?

সমাধান:
চারজনের মোট বয়স = ২৮ × ৪ = ১১২ বছর
তিনজনের মোট বয়স = ২৬ × ৩ = ৭৮ বছর

∴ চলে যাওয়া বন্ধুটির বয়স = ১১২ - ৭৮ = ৩৪ বছর

৮ কে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে।
৮^২ = ৬৪ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ২৫ টাকা সুদে ৭২০ টাকার ৪ মাসের সরল সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সময় = ৪ মাস = ৪/১২ বছর = ১/৩ বছর
আসল = ৭২০ টাকা
সুদের হার = ২৫%
সুদ = ?

আমরা জানি,
সরল সুদ,
= (আসল × সময় × সুদের হার)/১০০
= {৭২০ × (১/৩) × ২৫}/১০০
= (২৪০ × ২৫)/১০০
= ৬০ টাকা