পাটিগণিত

প্রশ্ন: দুইটি জুতো প্রতিটি ৫০০ টাকা বিক্রয়মূল্য।একটি ২৫% লাভে বিক্রি হয়েছে, অন্যটি ২০% ক্ষতিতে বিক্রি হয়েছে। মোট কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
২৫% লাভে ১০০ টাকার জুতোর বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা 
৫০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য = (৫০০ × ১০০) / ১২৫ টাকা 
= ৪০০ টাকা

২০% ক্ষতিতে ১০০ টাকার জুতোর বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা
৫০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য = (৫০০ × ১০০) / ৮০ টাকা 
= ৬২৫ টাকা 

জুতো দুইটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ + ৬২৫ = ১০২৫ টাকা
জুতো দুইটির বিক্রয়মূল্য = ৫০০ + ৫০০ = ১০০০ টাকা

ক্ষতি = ১০২৫ - ১০০০ = ২৫ টাকা

∴ক্ষতি = ২৫ টাকা

প্রশ্ন: ২ বর্গমাইল সমান কত একর?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ বর্গমাইল = ৬৪০ একর
∴ ২ বর্গমাইল = (৬৪০ × ২) একর
= ১২৮০ একর

চতুর্থ সমানুপাতিক ক হলে
৮ × ক = ১২ × ১৬
⇒ x = (১২ × ১৬) / ৮
∴ ক = ২৪

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ২৫% লাভে একটি জিনিস ৭৫ টাকায় বিক্রি করেন। জিনিসটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
২৫% লাভে, 
বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৭৫)/১২৫ টাকা 
= ৬০ টাকা 

∴ জিনিসটির ক্রয়মূল্য = ৬০ টাকা।

এখানে,
ক × ৯/১০০ = ০.০০২৭
বা, ৯ক = ০.২৭
বা, ক = ০.২৭/০
বা, ক = ০.০৩

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৭৫% শিক্ষার্থী গণিতে এবং ৬৫% শিক্ষার্থী বিজ্ঞানে পাশ করল। যদি ৫৫% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
গণিতে পাশ করেছে = ৭৫%
বিজ্ঞানে পাশ করেছে = ৬৫%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৫৫%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (গণিত বা বিজ্ঞান) = (গণিতে পাশ) + (বিজ্ঞানে পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৭৫ + ৬৫ - ৫৫)%
= (১৪০ - ৫৫)% = ৮৫%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৮৫)%
= ১৫%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১৫ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: ৬ জন তাঁতির ৬ টি পোশাক তৈরি করতে ৬ দিন লাগলে ১২ জন তাঁতির ১২টি পোশাক তৈরি করতে কত দিন সময় লাগবে?

সমাধান: 
৬ জন তাঁতির ৬ টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = ৬ দিন
∴ ১ জন তাঁতির ১টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = (৬ × ৬)/৬ দিন
∴ ১২ জন তাঁতির ১২ টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = (৬ × ৬ × ১২)/(৬ × ১২) দিন
= ৬ দিন। 

সুতরাং, ১২ জন তাঁতি ১২টি পোশাক তৈরি করতে ৬ দিন সময় লাগবে।

প্রশ্নমতে, ১ম সংখ্যাঃ ২য় সংখ্যা = ২.৫ঃ৩.৫
বা, ১ম সংখ্যা/২য় সংখ্যা = ২.৫/৩.৫
বা, ৩০/২য় সংখ্যা = ২৫/৩৫
বা, ২য় সংখ্যা = (৩০ × ৩৫)/২৫ = ৪২

ধরি, ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ৮) = ৯২ টাকা
৮% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৮) = ১০৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য বেশি (১০৮-৯২) = ১৬ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৬ টাকা বেশি হয় ১০০ টাকা ক্রয়মূল্যে
বিক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা বেশি হয় (১০০×৮০০)/১৬ = ৫০০০ টাকা ক্রয়মূল্য

প্রশ্ন: সুদের হার ৬% থেকে কমে ৪% হওয়ায় ব্যক্তির আয় ২০ টাকা কমে গেল। আসলের পরিমাণ কত? 

সমাধান:
সুদের হার কমেছে = ৬% - ৪% = ২%
২% কমালে হয় = ২০ টাকা
∴ ১% কমালে হয় = ২০/২ = ১০ টাকা
∴ ১০০% কমালে হয় = ১০ × ১০০ = ১০০০ টাকা

সুতরাং, আসল ১০০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩৬০। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি হলো ৩ক এবং ৪ক

সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. হলো ৩ × ৪ × ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ৩৬০
⇒ ক = ৩৬০/১২
⇒ ক = ৩০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৩ × ৩০ = ৯০ এবং ৪ × ৩০ = ১২০

সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৯০ + ১২০ = ২১০

ধরি, ২০ জনে কাজটি ১০ দিনে করতে পারে।
সুতরাং ২০% কম সময়= ৮ দিন।

কাজটি ১০ দিনে করে ২০ জনে
∴ কাজটি ১ দিনে করে ২০×১০=২০০ জনে
∴কাজটি ৮ দিনে করে ২০০/৮= ২৫ জনে

জনবল বাড়ে ২৫-২০=৫ জন

শতকরা জনবল বাড়ে (৫×১০০)/২০= ২৫ জন।
∴জনবল বাড়াতে হবে ২৫%

প্রশ্ন: মানিকের মাসিক বেতন ৯% বৃদ্ধি পাওয়ার ফলে তার মাসিক সঞ্চয় সমান হারে বৃদ্ধি পেয়ে ১,৮৫৩ টাকা হলো। মানিকের মাসিক সঞ্চয় আগে কতছিল?

সমাধান:
ধরি,
মানিকের পূর্বের মাসিক সঞ্চয় = ক টাকা।

সঞ্চয় ৯% বৃদ্ধি পাওয়ার ফলে নতুন সঞ্চয় হয়: 
ক + ক এর ৯% = ১৮৫৩
অর্থাৎ,
⇒ ক + (৯/১০০)ক = ১৮৫৩
⇒ ক × ১.০৯ = ১৮৫৩
⇒ ক = ১৮৫৩/১.০৯
⇒ ক = (১৮৫৩ × ১০০)/১০৯
⇒ ক = ১৭০০

∴ মানিকের পূর্বের মাসিক সঞ্চয় ছিল ১,৭০০ টাকা।

সংখ্যা দু'টি 3x, 4x
∴ ল.সা.গু. = 180, গ.সা.গু = x
∴ 3x × 4x = 180 × x
বা, 12x = 180
∴ x = 15

২০% লাভে,
নির্মাতার বিক্রয় মূল্য (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা।

আবার,
২০% লাভে,
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য (১২০ + ১২০ এর ২০%)
                                        = ১২০ + ১২০ এর ২০/১০০
                                        = (১২০ + ২৪)
                                        = ১৪৪ টাকা।

প্রশ্ন: x³ - 3x² - 10x এবং x³ + 6x² + 8x এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x {x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5) 

২য় রাশি = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 2x + 4x + 8)
= x {x(x + 2) + 4(x + 2)}
= x(x + 2)(x + 4) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)  ।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার পাঁচ গুণের সাথে ১২ যোগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তা সংখ্যাটির সাত গুণ থেকে ৪৮ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত মানের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ১২ = ৭ক - ৪৮
⇒ ১২ + ৪৮ = ৭ক - ৫ক
⇒ ৬০ = ২ক
⇒ ক = ৬০/২
∴ ক = ৩০

∴ সংখ্যাটি ৩০

প্রতিটি পিলার জায়গা নেয় (২০ + ০.৫) = ২০.৫ মিটার
তাহলে, ৪৭২ মিটারে বসানো যাবে (৪৭২/২০.৫) + ১ টি
= ২৪টি।
দুইপাশে বসবে ৪৮টি।

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ীর কাছে ২২ টি বলপেন আছে। তিনি কয়েকটি বলপেন প্রতিটি ৩৫ টাকা লাভে এবং অবশিষ্ট বলপেন প্রতিটি ১০ টাকা ক্ষতিতে বিক্রি করেন। তার মোট ৬৩৫ টাকা লাভ হলে তিনি কয়টি বলপেন ক্ষতিতে বিক্রি করেন? 

সমাধান: 
ধরি, 
১০ টাকা ক্ষতিতে বিক্রি করেন = x টি বলপেন 
∴ ৩৫ টাকা লাভে বিক্রি করেন = (২২ - x) টি বলপেন 

শর্তমতে, 
৩৫(২২ - x) - ১০x = ৬৩৫ 
বা, ৭৭০ - ৩৫x - ১০x = ৬৩৫ 
বা, ৭৭০ - ৪৫x = ৬৩৫ 
বা, - ৪৫x = ৬৩৫ - ৭৭০ 
বা, - ৪৫x = - ১৩৫
বা, ৪৫x = ১৩৫
বা, x = ১৩৫/৪৫
∴ x = ৩ 

∴ ক্ষতিতে বিক্রি করেন = ৩ টি বলপেন।

প্রশ্ন: একটি জিনিস ১২০ টাকায় ক্রয় করে ১৪৪ টাকায় বিক্রয় করলে ক্রয়মূল্য ও লাভের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা 
বিক্রয়মূল্য = ১৪৪ টাকা 
লাভ = (১৪৪ - ১২০) টাকা = ২৪ টাকা 

ক্রয়মূল্য ও লাভের অনুপাত = ১২০ : ২৪
= ৫ : ১ 

প্রশ্ন: √4 × i⁴ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, √4 = √(2)² 
= 2
এবং i⁴ = (i²)²
= (- 1)²            [∵ i² = -1]
= 1

প্রদত্ত রাশি, √4 × i⁴ = 2 × 1 = 2

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কত জন সৈন্য ছিল? 

সমাধান: 
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।

প্রশ্ন: ০.১৬২৩ - ৩১ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
০.১৬২৩ - ৩১

∴ ০.১৬২৩ - ৩১
= - (৩১ - ০.১৬২৩)
= -৩০.৮৩৭৭

অতএব, সঠিক উত্তর:
ক) -৩০.৮৩৭৭

মনেকরি, ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
তাহলে, বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য = ১১০ : ১০০
= ১১ : ১০

ধরি,
বিড়াল ৬ লাফে যায় x মি.
∴ বিড়াল ১০ লাফে যায় = (x × ১০)/৬ মি.
= ৫x/৩

কুকুর ৪ লাফে যায় = x মি.
∴ কুকুর ৮ লাফে যায় = (x × ৮)/৪
= ২x

কুকুর : বিড়াল = ২x : (৫x/৩)
= ৬ : ৫

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৭ : ৪। যদি উত্তর রাশি হয় ১২, তবে পূর্বরাশি কত?

সমাধান: 
দুইটি রাশির অনুপাত = ৭ : ৪
ধরি,
পূর্বরাশি = ৭ক
উত্তর রাশি = ৪ক

প্রশ্নমতে, ৪ক = ১২
 ∴ ক = ১২/৪ = ৩

∴ পূর্বরাশি = ৭ × ৩ = ২১

প্রশ্ন: ২০ ও ১০০ এর মধ্যে ৩ ও ৪ দ্বারা বিভাজ্য মোট কয়টি সংখ্যা আছে?

সমাধান:
যে সকল সংখ্যা ৩ ও ৪ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তারা অবশ্যই ৩ ও ৪ এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৩ ও ৪ এর লসাগু = ১২

২০ ও ১০০ এর মধ্যে ১২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো:
১২ × ২ = ২৪
১২ × ৩ = ৩৬
১২ × ৪ = ৪৮
১২ × ৫ = ৬০
১২ × ৬ = ৭২
১২ × ৭ = ৮৪
১২ × ৮ = ৯৬

সংখ্যাগুলো হলো: ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০, ৭২, ৮৪ এবং ৯৬

∴ মোট সংখ্যা আছে ৭টি।