পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০০ জন ছাত্র-ছাত্রী আছে যার মধ্যে ৪০% ছাত্র, সেই ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মোট ছাত্র-ছাত্রী = ৮০০ জন 

∴ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = ৮০০ এর ৪০% 
= ৮০০ এর ৪০/১০০ 
= ৩২০ জন

∴ ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা = (৮০০ - ৩২০) জন
= ৪৮০ জন।

প্রশ্ন: কোনো এক নির্বাচন কেন্দ্রে ভোট দাতাদের ৯৫% উপস্থিত ছিল। দুজন প্রার্থীর একজন উপস্থিত ভোটারের ৫৪% ভোট পাওয়ায় দেখা গেল যে, সে অপর প্রার্থী অপেক্ষা ১৫২ ভোট বেশি পেয়েছে। মোট ভোটারের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
উপস্থিত ভোটারের সংখ্যা ১০০x 
বিজয়ী প্রার্থী ভোট পায় = ৫৪x 
∴ পরাজিত প্রার্থী ভোট পায় = (১০০x - ৫৪x) = ৪৬x 
∴ বিজয়ী প্রার্থী ভোট বেশি পায় = (৫৪x - ৪৬x) = ৮x 

শর্তমতে,
৮x = ১৫২
⇒ x = ১৫২/8
⇒ x = ১৯

∴ উপস্থিত ভোটারের সংখ্যা = ১০০ × ১৯ = ১৯০০ জন

আবার, মোট ভোটার, 
৯৫% = ১৯০০ জন
∴ ১% = ১৯০০/৯৫
∴ ১০০% = (১৯০০ × ১০০)/৯৫ = ২০০০ জন

প্রশ্ন: কাবিল মিষ্টির দোকান থেকে প্রতি কেজি ২৫০ টাকায় ৩ কেজি সন্দেশ ক্রয় করল। যদি ভ্যাটের হার ১২% হয়, তবে সন্দেশ ক্রয়ের জন্য সে মোট কত টাকা দেবে?

সমাধান: 
১ কেজি সন্দেশের দাম = ২৫০ টাকা
∴ ৩ কেজি সন্দেশের দাম = (২৫০ × ৩) টাকা
= ৭৫০ টাকা

১০০ টাকায় ভ্যাট দেয় = ১২ টাকা
∴ ১ টাকায় ভ্যাট দেয় = ১২/১০০ টাকা
∴ ৭৫০ টাকায় ভ্যাট দেয় = (১২ × ৭৫০)/১০০ টাকা
= ৯০ টাকা

∴ কাবিল সন্দেশ ক্রয় বাবদ দোকানিকে দেবে = (৭৫০ + ৯০) টাকা
= ৮৪০ টাকা।

২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪০,০০০ টাকায় ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪০,০০০)/৮০
= ৫০,০০০ টাকা
∴ ২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫০,০০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৫০০০০)/১০০
= ৬০,০০০ টাকা

প্রশ্ন: কোনো গ্রামের ২৫,০০০ জনসংখ্যার মধ্যে ১,৫০০ জন শিক্ষিত। ঐ গ্রামে শিক্ষিতের হার কত? 

সমাধান: 
গ্রামের ২৫,০০০ জনসংখ্যার মধ্যে শিক্ষিত = ১,৫০০ জন 
∴ গ্রামের ১ জনসংখ্যার মধ্যে শিক্ষিত = ১,৫০০/২৫,০০০ জন
∴ গ্রামের ১০০ জনসংখ্যার মধ্যে শিক্ষিত = (১,৫০০ × ১০০)/২৫,০০০ জন 
= ৬ জন 
∴ ঐ গ্রামে শিক্ষিতের হার = ৬%।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দুইটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় ও ২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি খালি হতে পারে। দুইটি নল খোলা থাকা অবস্থায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/২০ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১/৩০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/২০ - ১/৩০) অংশ
= (৩ - ২)/৬০ অংশ
= ১/৬০ অংশ

এখন,
১/৬০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৬০) মিনিটে
= ৬০ মিনিটে

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের চেয়ে ৫ বেশি এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-দশমাংশ। ভাগফল ৪৫ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভাগফল = ৪৫

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ৪৫ + ৫ = ৫০
ভাগশেষ = ৫০ × (১/১০) = ৫

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
ভাজ্য = (৪৫ × ৫০) + ৫ = ২২৫০ + ৫
∴ ভাজ্য = ২২৫৫

প্রশ্ন: দুইটি নৌকা একই গতিবেগে একই দিকে স্রোতের অনুকূলে যাচ্ছে। শুরুতে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ছিল ৭০ মিটার। ১ ঘণ্টা পর তাদের মধ্যকার দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:
দুটি নৌকার গতিবেগ একই এবং দিকও একই।
∴ একটি নৌকার তুলনায় অন্য নৌকার আপেক্ষিক গতিবেগ = ০

অর্থাৎ, যত সময়ই যাক না কেন, দুটি নৌকার মধ্যবর্তী দূরত্ব কখনোই পরিবর্তন হবে না।
শুরুতে দূরত্ব ছিল ৭০ মিটার
∴ ১ ঘণ্টা পরেও দূরত্ব = ৭০ মিটার

৯ জনে আয় করে ৭ দিনে
১ জনে আয় করে ৯ × ৭ দিনে
∴ ২১ জনে আয় করে (৯ × ৭) / ২১
= ৩ দিনে

x মাইল যেতে সময় লাগে 1 ঘন্টা
y মাইল যেতে সময় লাগে y/x ঘন্টা
বিকল্প পদ্ধতিঃ
বেগ = দূরত্ব/সময়
∴ সময় = y/x

প্রশ্ন: ০.০০৮১ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
০.০০৮১ এর বর্গমূল = √(০.০০৮১)
= √(৮১/১০০০০)
= ৯/১০০
= ০.০৯

ধরি, ছোট টুকরোর দৈর্ঘ্য x একক।
∴ বড় টুকরোর দৈর্ঘ্য ৩x একক।
তাহলে সংযুক্ত টুকরো দৈর্ঘ্য হবে (x + ৩x) = ৪x একক।
অর্থাৎ, সংযুক্ত টুকরোটির দৈর্ঘ্য ছোট টুকরোর চেয়ে ৪ গুণ বড় হবে।

0.01/(0.1×0.1)
= 0.01/0.01
= 1

কোনো গ্রামের ১৮/২৫ অংশ লোক শিক্ষিত
অর্থাৎ ২৫ জনের মধ্যে শিক্ষিত ১৮ জন
অতএব, ১ জনের মধ্যে শিক্ষিত ১৮/২৫ জন
সুতরাং, ১০০ জনের মধ্যে শিক্ষিত = (১০০×১৮) / ২৫ = ৭২ জন 

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক ৩-এর গুণিতকের যোগফল ১১৭। সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
প্রথম গুণিতক = ৩ক
দ্বিতীয় গুণিতক = ৩(ক + ১) = ৩ক + ৩
তৃতীয় গুণিতক = ৩(ক + ২) = ৩ক + ৬

প্রশ্নানুসারে,
৩ক + (৩ক + ৩) + (৩ক + ৬) = ১১৭
⇒ ৯ক + ৯ = ১১৭
⇒ ৯ক = ১০৮
⇒ ক = ১০৮/৯
∴ ক = ১২

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যা = ৩ক + ৬
= (৩ × ১২) + ৬
= ৩৬ + ৬
= ৪২

এখানে, সকল সংখ্যা জোড়ের সমষ্টি ৩০;  কিন্তু শুধু ৯ × ২১ = ১৮৯
সুতরাং, সঠিক উত্তর - ক) ৯ এবং ২১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ৩১ = ৫৫ - x
বা, x + x = ৫৫ + ৩১
বা, ২x = ৮৬
বা, x = ৮৬/২
∴ x = ৪৩

∴ সংখ্যাটি = ৪৩ ।

প্রশ্ন: কোনো দূর্গে ৭২০ জন সৈন্যের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছে। ১০ দিন পর কিছু নতুন সৈন্য আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে কত জন সৈন্য নতুন এসেছিলো? 

সমাধান:
বাকি সময় = (২০ - ১০) দিন 
= ১০ দিন 

১০ দিনের খাবার আছে = ৭২০ জন সৈন্যের
∴ ১ দিনের খাবার আছে = (৭২০ × ১০) জন সৈন্যের
∴ ৮ দিনের খাবার আছে = (৭২০ × ১০)/৮ জন সৈন্যের
= ৯০০ জন সৈন্যের

∴ সৈন্য নতুন এসেছিলো = (৯০০ - ৭২০) জন 
= ১৮০ জন।

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৪০ জন ছাত্রের ৩০ দিনের খাবার আছে। ৫ দিন পর আরও ১০ জন ছাত্র আসলে অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের কতদিন চলবে?

সমাধান:
দিন অবশিষ্ট রইল = ৩০ - ৫ = ২৫ দিন।
মোট ছাত্র = ৪০+১০ = ৫০ জন।
৪০ জনের খাবার আছে ২৫ দিনের
১ জনের খাবার আছে ২৫ × ৪০ দিনের
৫০ জনের খাবার আছে = (২৫ × ৪০)/৫০ = ২০দিন

Let the numbers be x and y respectively.
Then, y−30% of x = (4/5)y
⇒ y-(4/5)y = (30/100)x
⇒ y/5 = 3x/10
⇒ x/y = (1/5)×(10/3) = 2/3
⇒ x:y= 2:3

A ও B এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে v₁ মিটার ও v₂ মিটার হলে, 
t₁ মিনিটে অতিক্তম করে v₁t₁ মিটার ও t₂ মিনিটে অতিক্রম করে v₂t₂ মিটার।
সুতরাং, v₁t₁ : v₂t₂
v₁ : v₂ = t₂ : t₁

প্রশ্ন: ১ ÷ (৩/৫){(১/৩) + (২/৩)} = কত?

সমাধান:
= ১ ÷ (৩/৫){(১/৩) + (২/৩)}
= ১ ÷ (৩/৫){(১ + ২)/৩}
= ১ ÷ (৩/৫)(৩/৩)
= ১ ÷ (৩/৫) × ১
= ১ ÷ (৩/৫)
= ১ × (৫/৩)
= ৫/৩

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ১২% সরল সুদে ৪৮০০ টাকার ৩ মাসের সুদ কত?

সমাধান: 
এখানে, P = ৪৮০০ টাকা
r = ১২% = ১২/১০০
n = ৩ মাস = ৩/১২ বছর

আমরা জানি, 
I = Pnr
= (৪৮০০ × ১২ × ৩)/(১০০ × ১২)
= ১৪৪ 

১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/১৫ টাকা এবং ১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১/১০ টাকা।
লাভ = (১/১০ - ১/১৫) টাকা = (৩-২)/৩০ টাকা = ১/৩০ টাকা।
তাহলে ১/১৫ টাকায় লাভ হয়১/৩০ টাকা
সুতরাং ১০০ টাকায় লাভ হয় ১৫×১০০/৩০ টাকা
= ৫০%

প্রশ্ন: একজন দোকানদার কিছু ডাল ২,৩৭৫ টাকায় বিক্রয় করায় তার ৫% ক্ষতি হলো। ঐ ডাল কত টাকায় বিক্রয় করলে তার ৬% লাভ হত?

সমাধান: 
৫% ক্ষতিতে 
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৩৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ২৩৭৫)/৯৫ টাকা
=২৫০০ টাকা 

৬% লাভে
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬ টাকা 
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬/১০০ টাকা 
ক্রয়মূল্য ২৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০৬ ×২৫০০)/১০০ টাকা 
= ২৬৫০ টাকা 

মনে করি,
টেবিলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) টাকা বা, ৯০ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য - ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য
= (১০৫ - ৯০) টাকা বা, ১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০×৬০)/ ১৫ = ৪০০ টাকা
সুতরা, টেবিলটির ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: ১/১০ টাকায় ১/৫০ টাকা লাভ হলে, শতকরা লাভের হার কত? 

সমাধান: 
 ১/১০ টাকায় লাভ হয় = ১/৫০ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = (১/৫০)/(১/১০) = ১০/৫০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০০ × ১০)/৫০ = ২০ টাকা 

সুতরাং, শতকরা লাভের হার ২০%