পাটিগণিত

প্রথম শর্তটি সবগুলো অপশনই পূর্ণ করে।
দ্বিতীয় শর্তের ক্ষেত্রে কেবল 93 এর অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে 39 হয় অর্থাৎ (93-39) = 54 হ্রাস পায়।
অর্থাৎ, সংখ্যাটি 54।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,
একক স্থানিয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = y
∴ সংখ্যাটি = 10y + x
এবং x + y = 12 -------- (1)
প্রশ্নমতে,
10x + y = (10y+x) - 54
⇒ 10x + y - 10y - x = -54
⇒ 9x - 9y = -54
∴ x - y = -6 ----------- (2)
এখন,
(1)+(2) ⇒ (x+y) + (x-y) = 12 - 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
আবার, (1) - (2) ⇒ (x+y) - (x-y) = 12 - (-6)
⇒ 2y = 18
⇒ y = 9
∴ সংখ্যাটি = 10y + x = 10(9) + 3 = 93

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার গুণ। সংখ্যা দুটির গুণফল 4 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% হার মুনাফায় ২৫০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রারম্ভিক মূলধন, P = ২৫০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০ = ২/২৫
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
সবৃদ্ধিমূল বা চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ২৫০০(১ + ২/২৫)^২
= ২৫০০{(২৫ + ২)/২৫}^২
= ২৫০০(২৭/২৫)^২
= ২৫০০ × (২৭/২৫) × (২৭/২৫)
= ১০০ × (২৭/২৫) × ২৭
= ৪ × ২৭ × ২৭
= ৪ × ৭২৯
= ২৯১৬

∴ নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি মূলধন ২৯১৬ টাকা।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p এবং q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয় এমন সংখ্যা।

ক) √৭/৩; ⇒ যেহেতু, √৭ একটি অমূলদ সংখ্যা, তাই এই ভগ্নাংশটি অমূলদ।

খ) √২৫/√৮১ = ৫/৯; ⇒ এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে ৫ ও ৯ উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা। ∴ এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

গ) √৫/৪; ⇒ যেহেতু √৫ একটি অমূলদ সংখ্যা, তাই এই ভগ্নাংশটি অমূলদ।

ঘ) √২; ⇒ এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

অতএব, √২৫/√৮ হলো মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর
পিতা ও মাতার মোট বয়স = (৪৫ × ২) = ৯০ বছর

আবার, 
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের মোট বয়স = (৩৬ × ৩) = ১০৮ বছর

∴ পুত্রের বয়স = ১০৮ - ৯০ = ১৮ বছর

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য C টাকা এবং বিক্রয়মূল্য P টাকা হলে মুনাফা কত?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য = C টাকা ও বিক্রয়মূল্য = P টাকা
লাভ/মুনাফা = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= P - C

প্রশ্ন: ১ জন লোক ১ টা কলা ১ মিনিটে খেতে পারে। তাহলে ৫ জন লোকের ৫ টা কলা খেতে কত মিনিট সময় লাগবে?

৪৯তম স্পেশাল বিসিএস।
সমাধান:
১ জন লোক ১ টা কলা = ১ মিনিট
১ জন লোক ৫ টা কলা = ৫ মিনিট

৫ জন লোক ১ টা করে কলা = ১ মিনিট (সবাই একসাথে খায়)
৫ জন লোক ৫ টা কলা = ১ মিনিট (প্রতিটি লোক ১ টা কলা খায়)

কারণ: যখন ৫ জন লোক একসাথে খায়, তারা একই সময়ে কলা খাওয়া শুরু করে এবং শেষ করে। প্রতিটি লোক ১ টা কলা খেতে ১ মিনিট সময় নেয়।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২  ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।

∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪

∴  নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে সোনা ও রূপার অনুপাত ৭ : ৫। যদি মিশ্রণের মোট ওজন ৬০০ গ্রাম হয়, তবে রূপার ওজন কত?

সমাধান:
সোনা ও রূপার অনুপাত = ৭ : ৫
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৭ + ৫ = ১২

মিশ্রণের মোট ওজন = ৬০০ গ্রাম
∴ মিশ্রণে রূপার ওজন = ৬০০ এর (৫/১২) গ্রাম
= ২৫০ গ্রাম

• ৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি।
• ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।
• ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।

মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৩৭ক এবং ৩৭খ
তাহলে, ৩৭ক × ৩৭খ = ৪১০৭
=> কখ = ৩
অর্থাৎ, ক = ১ এবং খ = ৩
সংখ্যা দুটি, ৩৭ এবং ১১১

১০০ টাকার ১২ মাসের সুদ ৬ টাকা
১০০    〃   ৯    〃   〃 (৬×৯)/১২=৯/২ টাকা
∴ ১০,০০০〃 ৯  〃   〃 (৯×১০০০০)/(২×১০০) টাকা
                            = ৪৫০ টাকা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২৫ ও ৩৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫ ও ১৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান: 
২৫ - ৫ = ২০
৩৫ - ১৫ = ২০

২৫ = ৫ × ৫
৩৫ = ৫ × ৭ 
∴ ২৫ ও ৩৫ এর লসাগু = ৫ × ৫ × ৭ = ১৭৫

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৭৫ - ২০ = ১৫৫

প্রশ্ন: ১৬ জন শ্রমিক ১০ দিনে ৩৬০০ টাকা আয় করেন। ৮ জন শ্রমিক কত দিনে সমপরিমাণ অর্থ আয় করবেন?

সমাধান:
১৬ জন শ্রমিক ৩৬০০ টাকা আয় করেন ১০ দিনে 
∴ ১ জন শ্রমিক ৩৬০০ টাকা আয় করবেন (১৬ × ১০) দিনে
∴ ৮ জন শ্রমিক ৩৬০০ টাকা আয় করবেন (১৬ × ১০)/৮ দিনে
 = ২০ দিনে

∴ ৮ জন শ্রমিক ২০ দিনে সমপরিমাণ অর্থ আয় করবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ১০০০০ টাকা ২ : ৩ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি মোট টাকার কত অংশ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত = ২ : ৩ : ৫
অনুপাতগুলোর যোগফল = (২ + ৩ + ৫) = ১০

∴ ক্ষুদ্রতর অংশ = ১০০০০ × (২/১০) = (১০০০ × ২) = ২০০০ টাকা
∴ বৃহত্তর অংশ = ১০০০০ × (৫/১০) = (১০০০ × ৫) = ৫০০০ টাকা

∴ বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি = (২০০০ + ৫০০০) টাকা = ৭০০০ টাকা

এখানে,
মোট টাকার অংশ = (বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি)/মোট টাকা
= ৭০০০/১০০০০
= ৭/১০ অংশ

যেকোনো দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় জোড় হয় এবং গুণফল বিজোড় হয়।
বিজোড়ের সাথে বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে সেটা জোড় সংখ্যা হয়ে যায়।
বিজোড়ের সাথে জোড় সংখ্যা যোগ করলে সেটা বিজোড় সংখ্যা হয়।
সুতরাং, এখানে উত্তর হবে xy + 2

1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n+1)/2
= (99 X 100)/2
= 4950

প্রশ্ন: যদি A : B = ২ : ৩, B : C = ৪ : ৫, C : D = ৬ : ৭ হয়, তবে A : D কত?

সমাধান:
A : D = (A : B) × (B : C) × (C : D)
= (A/B) × (B/C) × (C/D)
= (২/৩) × (৪/৫) × (৬/৭)
= ৪৮/১০৫
= ১৬/৩৫
= ১৬ : ৩৫

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা বেশি হলে ১০% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১১০ - ৯০) টাকা
= ২০ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮০)/২০ টাকা
= ৪০০ টাকা

∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।

২ টি ঘোড়ার মূল্য ৩০০০ টাকা হলে ১ টি ঘোড়ার মূল্য ১৫০০ টাকা
শর্তমতে, ৫ টি ঘোড়ার মূল্য ৫X১৫০০ = ৭৫০০ টাকা হলে ১৫ টি গরুর মুল্যও ৭৫০০ টাকা
∴ ১ টি গরুর মূল্য ৭৫০০/১৫ = ৫০০ টাকা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বড়?

সমাধান: 
১৫/১৫ = ১
১/১৫ = ০.৬৭ 
১.২৫ = ১.২৫
০.৯৫ = ০.৯৫

প্রশ্ন: ৩৩ জনের ২৪ দিনের খাদ্য আছে। ৪ দিন পর ২৭ জন লোক আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে?

সমাধান:
দিন বাকি আছে = (২৪ - ৪) = ২০ দিন
মোট লোক সংখ্যা হলো = (৩৩ + ২৭) = ৬০ জন

এখন,
৩৩ জন লোকের চলে ২০ দিন
১ জন লোকের চলে (৩৩ × ২০) দিন
∴ ৬০ জন লোকের চলে = (৩৩ × ২০)/৬০ দিন
= ১১ দিন

প্রশ্ন: টাকায় ৫টি করে লেবু ক্রয় করে টাকায় ৪টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? 

সমাধান:
৫ টির ক্রয় মূল্য ১ টাকা
∴ ১ টির ক্রয় মূল্য ১/৫ টাকা

আবার, ৪টির বিক্রয় মূল্য ১ টাকা
∴ ১টির বিক্রয় মূল্য ১/৪ টাকা

∴ লাভ = {(১/৪) - (১/৫)} টাকা
= ১/২০ টাকা

১/৫ টাকায় লাভ হয় ১/২০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় ৫/২০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় {(১০০ × ৫)/২০} টাকা
= ২৫ টাকা

∴ লাভ = ২৫%