পাটিগণিত

(2.5 × 100)/3.125
= 80%

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১৪০ টাকা। একজন যদি ২০% হারে লাভ করতে চান তবে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা

∴ লাভ = (১২০ - ১০০) = ২০ টাকা

এখন,
২০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
১ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/২০ = ৬ টাকা
১৪০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = (১৪০ × ৬) = ৮৪০ টাকা

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৫/৮ হতে বড়?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশ: ৫/৮ = ০.৬২৫

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
৩/৫ = ০.৬
১১/২০ = ০.৫৫
৭/১০ = ০.৭
২১/৪০ = ০.৫২৫

এখানে দেখা যাচ্ছে যে, ০.৭ > ০.৬২৫
অর্থাৎ, ৭/১০ ভগ্নাংশটি ৫/৮ হতে বড়।

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৫০০×৪ বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
আবার ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৬০০×৫ বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
সুতরাং মোট ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
এখন, ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা। (শর্ত)
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০/৫০০০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০×১০০/৫০০০ টাকা।
= ১০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল, তাদের বিয়োগফলের দ্বিগুণ। সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x, y

শর্তমতে,
x + y = 2(x - y)
⇒ x + y = 2x - 2y
⇒ y + 2y = 2x - x
⇒ 3y = x
⇒ x/y = 3/1
∴ x : y = 3 : 1

অর্থাৎ, সংখ্যা দুটির অনুপাত = 3 : 1

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৮, ১০, ১৫ ও ২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৮ = ২ × ২ × ২ = ২^৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫ = ২^২ × ৫

∴ ৮, ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ২^৩ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫ = ১২০

এখন ১০০০ কে ১২০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ১২০ = ৮ ভাগফল
১২০ × ৮ = ৯৬০
∴ ভাগশেষ = ১০০০ - ৯৬০ = ৪০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৪০ = ৮০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮০ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা (১০৮০) ১২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: ৬% সরল মুনাফায় ৮ মাসে ১৬,০০০ টাকার মুনাফা কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ১৬,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬% = ৬/১০০ = ৩/৫০
সময়, n = ৮ মাস = ৮/১২ = ২/৩ বছর

সুদ, I = Pnr
= ১৬০০০ × (২/৩) × (৩/৫০)
= ৬৪০ টাকা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ২৫০ টাকায় ক্রয় করে ২৮৭.৫০ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
এখানে,
ক্রয়মূল্য = ২৫০ টাকা
বিক্রয়মূল্য = ২৮৭.৫০ টাকা

∴ লাভ = ২৮৭.৫০ - ২৫০ = ৩৭.৫০ টাকা

এখন,
২৫০ টাকায় লাভ = ৩৭.৫০ টাকা
১ টাকায় লাভ = ৩৭.৫০/২৫০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ = (৩৭.৫০ × ১০০)/২৫০ টাকা
= ১৫ টাকা

∴ লাভের শতকরা হার = ১৫%

প্রশ্নমতে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল। তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭+৩) বছর = ৩০ বছর এবং মেয়ের বয়স = (২+৩) বছর = ৫ বছর।
সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (৩০+৫) বছর = ৩৫ বছর এবং (৫+৫) বছর = ১০ বছর
সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ঃ১০
= ৭ঃ২ বছর।

কোনো গ্রামের ১৮/২৫ অংশ লোক শিক্ষিত
অর্থাৎ ২৫ জনের মধ্যে শিক্ষিত ১৮ জন
সুতরাং, ১০০ জনের মধ্যে শিক্ষিত = (১০০×১৮) / ২৫ = ৭২ জন 

দেওয়া আছে
সুদ, I = ১০৫
সুদের হার, r = ৭/১০০
আসল, p = ৫০০ টাকা
বয়স, n = ?
আমরা জানি, I = pnr/১০০
বা, n = I × ১০০/pr
= ১০৫×১০০/(৫০০×৭)
= ১০৫×১০০/(৫০০×৭)
= ৩ বছর

১০০ টাকায় লাভ হয় ৮ টাকা
∴ ৫০০ টাকায় লাভ হয় (৮×৫০০)/১০০ টাকা
                     = ৪০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য (৫০০ + ৪০) টাকা
             = ৫৪০ টাকা

প্রশ্ন: ৪৫ টাকায় ৯ টি কমলা বিক্রয় করায় ২৫% ক্ষতি হলো। ৩৬ টি কমলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৫) টাকা = ৭৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪৫)/৭৫ টাকা
= ৬০ টাকা

এখন,
৯ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ৬০ টাকা
∴ ১ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ৬০/৯ টাকা
∴ ৩৬ টি কমলার ক্রয়মূল্য = (৬০ × ৩৬)/৯ টাকা = ২৪০ টাকা

∴ কমলার ক্রয়মূল্য = ২৪০ টাকা।

প্রশ্ন: ৪০০০ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৪, ৬, ৮, ১২  দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৪, ৬, ৮, ১২ এর ল. সা. গু = ২৪

২৪ দ্বারা ৪০০০ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ১৬ হয়।
ভাগশেষ ও ভাজকের পার্থক্য নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে।

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২৪ - ১৬ = ৮

প্রশ্ন: এক ব্যবসায়ী ১৫% লাভে কাপড় বিক্রয় করে ৩০০০ টাকা লাভ করেন। তিনি কত টাকার কাপড় ক্রয় করেছিলেন?

সমাধান:
ধরি,
কাপড়ের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 

১৫ টাকা লাভ হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ১ টাকা লাভ হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৫ টাকা 
∴ ৩০০০ টাকা লাভ হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩০০০)/১৫ টাকা = ২০০০০ টাকা 

অর্থাৎ তিনি ২০০০০ টাকার কাপড় ক্রয় করেছিলেন। 

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের লিখিত মুল্য ক্রয়মূল্যের ৪০% বেশি। কত ছাড় দিলে তার ১২% লাভ হত ?

সমাধান: 
ধরি,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা। 
লিখিতমূল্য  = ১০০ + ১০০ এর ৪০%
= ১০০ + ১০০ × (৪০/১০০)
= ১০০ + ৪০ = ১৪০ টাকা

বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ১২%
= ১০০ + ১০০ × (১২/১০০)
= ১০০ + ১২ = ১১২ টাকা

∴ তাঁকে ছাড় দিতে হবে = (১৪০ - ১১২) = ২৮ টাকা
∴ লিখিত মূল্যের উপর ছাড়ের শতকরা হার = (২৮/১৪০) × ১০০ = ২০%

প্রশ্ন: ২৫% সরল সুদে কত বছরে আসল সুদাসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, আসল = P টাকা
সুদাসল = ৩P টাকা
∴ সুদ = সুদাসল - আসল = ৩P - P = ২P
এখানে,
সুদের হার, r = ২৫%

আমরা জানি,
I = pnr/ ১০০
⇒ ২P = (P × ২৫ × n)/১০০
⇒ ২ = (২৫ × n)/১০০
⇒ ২০০ = ২৫n
⇒ n = ২০০/২৫
∴ n = ৮

∴ সময় = ৮ বছর

আমরা জানি, বেগ = সরণ/সময়
সময় = ১৮০/২০ = ৯ সেকেন্ড

৫ এর ক% = ১৩
বা, ৫ক/১০০ = ১৩
বা, ক/২০ = ১৩
বা, ক = ২৬০

প্রশ্ন: ৪০ মিনিট আগে ঘড়িতে সময় ছিলো ২ : ৩৫ মিনিট। ৪ টা বাজতে এখন আর কতক্ষণ সময় বাকি আছে?

সমাধান:
৪০ মিনিট আগে সময় ছিলো = ২ : ৩৫ মিনিট
​বর্তমান সময় = ২ : ৩৫ মিনিট + ০ : ৪০ মিনিট = ৩ : ১৫ মিনিট
​
∴ ​৪ টা বাজতে বাকি আছে = (৪ : ০০ - ৩ : ১৫) মিনিট = ৪৫ মিনিট

প্রশ্ন: ১০ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল ৪:১ এবং ১০ বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে ২:১। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের পার্থক্য কত বছর?

সমাধান:
ধরি,
বর্তমানে পিতার বয়স = ক বছর
বর্তমানে পুত্রের বয়স = খ বছর
১০ বছর আগে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল ৪:১
(ক - ১০)/(খ - ১০) = ৪/১
⇒ ক - ১০ = ৪খ - ৪০
⇒ ক - ৪খ = - ৩০ .....(১)
১০ বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে ২:১
(ক + ১০)/(খ + ১০) = ২/১
⇒ ক + ১০ = ২খ + ২০
⇒ ক - ২খ = ১০ .....(২)
সমীকরণ ১ থেকে সমীকরণ ২ বিয়োগ করি:
(ক - ৪খ) - (ক - ২খ) = - ৩০ - ১০
⇒ - ২খ = - ৪০
⇒ খ = ২০
পুত্রের বয়স, খ = ২০ বছর।
পিতার বয়স:
ক - ৪০ = ১০ [এখন সমীকরণ ২ ব্যবহার করে]
⇒ ক = ৫০

বর্তমান বয়সের পার্থক্য: ৫০ - ২০ = ৩০ বছর।

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ২ জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি করতে শতকরা কত দিন বেশী লাগবে?

সমাধান:
২ জন কমালে, নতুন লোক সংখ্যা = ৮ - ২ = ৬ জন। 
৮ জনে কাজটি করতে পারে ১২ দিনে
সুতারাং, ৬ জনে কাজটি করতে পারে = (১২ × ৮) / ৬ = ১৬ দিনে।
বাড়তি দিন = ১৬ - ১২ = ৪ দিন
শতকরা বৃদ্ধি = (৪/১২) × ১০০ =

প্রশ্ন: m একটি জোড় সংখ্যা এবং n একটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
মনে করি, m = 2 (জোড়) এবং n = 3 (বিজোড়)।

অপশন ক) (m × n) + 1 = (2 × 3) + 1 = 6 + 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন খ) mⁿ - 1 = 2³ - 1 = 8 - 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন গ) m × (n + 1) = 2 × (3 + 1) = 2 × 4 = 8 ⇒ জোড়
অপশন ঘ) n² + 2 = 3² + 2 = 9 + 2 = 11 ⇒ বিজোড়

দেখা যাচ্ছে, শুধুমাত্র 'গ' অপশনটি সর্বদা জোড় সংখ্যা প্রদান করে।
∴ সঠিক উত্তর: গ) m × (n + 1)

প্রশ্ন: বার্ষিক ১২% মুনাফায় 'ক' বছরে ১৫০০ টাকার সরল মুনাফা ৯০০ টাকা হলে 'ক' এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১৫০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১২%
সরল মুনাফা, SI = ৯০০ টাকা
সময়, n = 'ক' বছর

আমরা জানি, 
SI = Prn
⇒ ৯০০ = (১৫০০ × ১২ × ক)/১০০ 
⇒ ৯০০ = ১৫ × ১২ × ক
⇒ ৯০০ = ১৮০ × ক
⇒ ক = ৯০০/১৮০ 
∴ ক = ৫ 

সুতরাং, 

'ক' এর মান = ৫ বছর। 

প্রশ্ন: দুই বছর পূর্বে সামিরের বয়স বাবুলের বয়সের দ্বিগুণ ছিল। এখন সামির ও বাবুলের বয়সের পার্থক্য 2 বছর হলে সামিরের বয়স কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুই বছর পূর্বে বাবুলের বয়স ছিলো x বছর।
দুই বছর পূর্বে সামিরের বয়স ছিলো 2x বছর।

এখন, 
বর্তমানে বাবুলের বয়স হবে (x + 2) বছর
এবং সামিরের বয়স হবে (2x + 2) বছর।

প্রশ্নমতে,
(2x + 2) - (x + 2) = 2
⇒ 2x + 2 - x - 2 = 2
∴ x = 2
∴ সামিরের বর্তমান বয়স হবে = (2 × 2) + 2
= 4 + 2
= 6 বছর।

প্রশ্ন: মুনাফা-আসল একত্রে ১২০০ টাকা। মুনাফা, আসলের ১/৪ হলে, মুনাফা কত টাকা? 

সমাধান: 
ধরি,
মুনাফা = ক টাকা
আসল = ৪ক টাকা
∴ মুনাফা-আসল = (ক + ৪ক) টাকা
= ৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৫ক = ১২০০
বা, ক = ১২০০/৫
= ২৪০ টাকা

∴ মুনাফা = ২৪০ টাকা।

প্রশ্ন: ২০ টাকায় ৫টি করে লেবু ক্রয় করে ৮০০ টাকায় কয়টি লেবু বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
২৫% লাভে,
৫টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ২০ × (১২৫/১০০) টাকা = ২৫ টাকা

এখন,
২৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৫ টি লেবু
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৫/২৫ = ১/৫ টি লেবু
∴ ৮০০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (১/৫) × ৮০০ = ১৬০টি লেবু

সুতরাং, ৮০০ টাকায় বিক্রয় করতে হলে ১৬০টি লেবু বিক্রি করতে হবে। 

প্রশ্ন: ৩√২ কোন ধরনের সংখ্যা?

সমাধান:
৩√২ হলো অমূলদ সংখ্যা।

ক) মূলদ সংখ্যা (Rational Number): এমন সংখ্যা যা দুইটি পূর্ণ সংখ্যার ভাগফলে প্রকাশ করা যায় p/q যেখানে q ≠ 0। দশমিক রূপ শেষ হয় বা পুনরাবৃত্তি হয়।
যেমনঃ ১/২, ০.৭৫, ৪, - ২ ইত্যাদি।

খ) জটিল সংখ্যা (Complex Number): যে সংখ্যা বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ নিয়ে গঠিত হয়, অর্থাৎ a+bi যেখানে i = √-১ ,যদি কোনো সংখ্যায় থাকে, তবে তা জটিল।
যেমনঃ ৩ + ২i, - ৪i, ৭ + ২i

গ) অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): ৩√২ হলো অমূলদ সংখ্যা (irrational number), কারণ এর দশমিক মান অসীম এবং পুনরাবৃত্তিহীন। ৩√২ হলো একটি অমূলদ সংখ্যার সাথে একটি মূলদ সংখ্যার গুণফল।
অমূলদ সংখ্যা = মূলদ সংখ্যা × অমূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু
এখানে,
২, ৩, ৫ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩০
এবং
৫, ৪, ৭ হরগুলোর গ.সা.গু = ১ 

∴ ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = ৩০/১ 
= ৩০ ।

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, ১০০ = ৫০০ × n × ৫%
বা, ১০০ = ৫০০ × n × ৫/১০০
বা, ১০০ = ২৫n
বা, n = ৪ বছর

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত?

সমাধান: 
ক) ৭৭/১৪৩ = (৭ × ১১)/(১১ × ১৩) = ৭/১৩ 

খ) ১০২/২৮৯ = (২ × ৩ × ১৭)/(১৭ × ১৭) = (২ × ৩)/১৭ 

গ) = ১১৩/৩৫৫
১১৩ = মৌলিক
এবং ৩৫৫ = ৫ × ৭১ 
কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই অর্থাৎ গ.সা.গু = ১
∴ যা লঘিঠ আকারে প্রকাশিত। 

ঘ) ৩৪৩/১০০১ = (৭ × ৭ × ৭)/(৭ × ১৪৩) = (৭ × ৭)/১৪৩ 

সুতরাং, সঠিক উত্তর গ) ১১৩/৩৫৫

প্রশ্ন: স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার এক-তৃতীয়াংশ সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ২০ ঘণ্টা সময় লাগে তাহলে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ক ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ৩ক ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক = ২০
⇒ ৪ক = ২০
⇒ ক = ২০/৪ 
∴ ক = ৫

∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগবে = ৫ × ৩ = ১৫ ঘণ্টা 

সুতরাং, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে ১৫ ঘণ্টা সময় লাগবে।

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট?
 
সমাধান:
এখানে,
৩/৫ = ০.৬
এবং ৬/৭ = ০.৮৫৭

১/৩ = ০.৩৩৩
১/২ = ০.৫
৭/৮ = ০.৮৭৫
২/৩ = ০.৬৬৭

উপরের মান গুলো হতে দেখা যায় যে, ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট ভগ্নাংশটি ২/৩।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘন্টায় ৫ মাইল বেগে কোন স্থানে গেল, এবং ঘন্টায় ৩ মাইল বেগে ফিরে আসল, যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
যাওয়ার বেগ = ৫ মাইল/ঘণ্টা
ফেরার বেগ = ৩ মাইল/ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = ২xy/(x + y)
= (২ × ৫ × ৩)/(৫ + ৩)
= ৩০/৮
= ১৫/৪ 
= ৩.৭৫ মাইল/ঘণ্টা

∴ যাতায়াতে তার গড় গতি ৩.৭৫ মাইল প্রতি ঘণ্টা