পাটিগণিত

৪ এর ক% = ১০
বা, ৪ এর ক/১০০ = ১০
বা, ৪ক = ১০০০
বা, ক = ২৫০

প্রশ্ন: ৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা কত?

সমাধান: 
৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা = (৩০/৭৫) × ১০০%
= ৪০%

প্রশ্ন: ক, খ, গ, এর বেতনের অনুপাত ৭: ৫: ৩। খ, গ অপেক্ষা ২২২ টাকা বেশী পেলে ক এর বেতন কত?

সমাধান:
ধরি,
ক এর বেতন = ৭ক
খ এর বেতন = ৫ক
গ এর বেতন = ৩ক
প্রশ্নমতে,
৫ক - ৩ক = ২২২
⇒ ২ক = ২২২
⇒ ক = ১১১
ক এর বেতন:
৭ক = ৭ × ১১১ = ৭৭৭ টাকা।

3x + 3y + 3z = 90
⇒ 3(x + y + z) = 90
⇒ (x + y + z) = 30

∴ x, y, z এর গড় = 30/3 = 10

ইংরেজিতে ফেল করে = ১০০-৯০ = ১০ জন।
১০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ জন।
১ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০/১০ জন।
৭০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ X ৭০/১০ জন।
= ৭০০ জন।

৩টি আমের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি আমের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২)-(১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% সুদে ১২০০ টাকার ৫ বছরের যে সুদ হয়, বার্ষিক ৬% সুদে কত টাকার ১০ বছরের তত সুদ হবে?

সমাধান:
৮% হারে ১২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ১২০০ × ৫ × (৮/১০০)
= ৪৮০ টাকা

আমরা জানি,
সুদ = আসল × সময় × সুদের হার
বা, আসল = সুদ / (সময় × সুদের হার)
বা, আসল = ৪৮০ / {১০ × (৬/১০০)}
বা, আসল = (৪৮০ × ১০০) / (১০ × ৬)
বা, আসল = ৪৮০০০ / ৬০
বা, আসল = ৮০০ 

∴ আসল = ৮০০ টাকা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩, ১৮৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে না। 

সমাধান: 
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু।
৫৭ = ৩ × ১৯
৯৩ = ৩ × ৩১
১৮৩ = ৩ × ৬১

∴ ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গসাগু ৩।

সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ৩।

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ফোনের বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের ৬/৫ অংশের সমান। শতকরা লাভ বা ক্ষতি নির্ণয় কর।

সমাধান:
মনে করি, 
মোবাইল ফোনের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬/৫) টাকা 
= ১২০ টাকা

ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশী হওয়ায় এখানে লাভ হয়েছে।

∴ লাভ = (১২০ - ১০০) টাকা = ২০ টাকা

শতকরা লাভ = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (২০/১০০) × ১০০ 
= ২০%

প্রশ্ন: ১০% হার মুনাফায় ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ১০/১০০ = ১/১০

আমরা জানি
সরল মুনাফা, I = Pnr
= ৫০০০ × ৩ × ১/১০
= ১৫০০ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল, C = P(১ + r)ⁿ
= ৫০০০(১ + ১/১০)^৩
= ৫০০০(১১/১০) × (১১/১০) × (১১/১০)
= ৫০০০ × (১,৩৩১/১,০০০)
= ৬,৬৫৫ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৬,৬৫৫ − ৫০০০ = ১৬৫৫ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (১৬৫৫ − ১৫০০) টাকা
= ১৫৫ টাকা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৭৩০ টাকায় বিক্রয় করায় ৭০ টাকা ক্ষতি হয়। ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য = ৭৩০ + ৭০ = ৮০০ টাকা

৮০০ টাকার জিনিস বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় ৭০ টাকা
∴ ১ টাকার জিনিস বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় ৭০/৮০০ টাকা
∴ ১০০ টাকার জিনিস বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় (৭০ × ১০০)/৮০০ টাকা
= ৭০০০/৮০০ = ৮.৭৫ টাকা

∴ নির্ণেয় ক্ষতি = ৮.৭৫%

Option 1: The range of values that x takes is infinite.
Option 2: An infinite range of values.
Option 3: An infinite range of values.
Option 4: Finite range of values for 'x'.

Factorizing x² - 4x + 3 < 0 we get, (x - 3)(x - 1) < 0.
This inequality will hold good when one of the terms (x - 3) or (x - 1) is positive and the other is negative.

Possibility 1: (x -3) is positive and (x - 1) is negative.
i.e., x - 3 > 0 AND x -1 < 0
i.e., x > 3 AND x < 1
Such a number DOES NOT exist. It is an infeasible solution.

Possibility 2: (x - 3) is negative and (x - 1) is positive.
i.e., x - 3 < 0 AND x - 1 > 0
i.e., x < 3 AND x > 1
Essentially translates to 1 < x < 3

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৯, ১৩ ও ১৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১৩ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৯ - ৫ = ৪
১৩ - ৯ = ৪
১৭ - ১৩ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৯ = ৩ × ৩
১৩ = ১ × ১৩
১৭ = ১ × ১৭

এখন, ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ১৩ × ১৭ = ১৯৮৯

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১৯৮৯ - ৪ = ১৯৮৫

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের লিখিত মূল্য এর ক্রয়মূল্য অপেক্ষা ৪০% বেশি নির্ধারণ করা হয়েছে। উক্ত লিখিত মূল্যের ওপর শতকরা কত ছাড় দিলে মোটের ওপর ১২% লাভ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা। 
লিখিতমূল্য  = ১০০ + ১০০ এর ৪০%
= ১০০ + ১০০ × (৪০/১০০)
= ১০০ + ৪০ = ১৪০ টাকা

বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ১২%
= ১০০ + ১০০ × (১২/১০০)
= ১০০ + ১২ = ১১২ টাকা

∴ তাঁকে ছাড় দিতে হবে = (১৪০ - ১১২) = ২৮ টাকা

∴ লিখিত মূল্যের উপর ছাড়ের শতকরা হার = (২৮/১৪০) × ১০০ = ২০%

সুতরাং, লিখিত মূল্যের ওপর ২০% ছাড় দিলে মোটের ওপর ১২% লাভ হবে।

প্রশ্ন: একটি ল্যাপটপ ১৫% ক্ষতিতে বিক্রি করা হলো। যদি এটি ২১০০ টাকা বেশি দামে বিক্রি করা হতো, তবে ৬% লাভ হতো। ল্যাপটপটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ল্যাপটপটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১৫ = ৮৫ টাকা

৬% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৬ = ১০৬ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১০৬ - ৮৫ = ২১ টাকা

বিক্রয়মূল্য ২১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/২১ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২১০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২১০০)/২১ টাকা
= ১০০০০ টাকা

∴ ল্যাপটপটির ক্রয়মূল্য = ১০০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। যদি চেয়ারটি আরও ৭২০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করা হতো তবে ১২% লাভ হতো। চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৮) টাকা = ৯২ টাকা
১২% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১২) টাকা = ১১২ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১২ - ৯২) টাকা = ২০ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ২০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৭২০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৭২০)/২০ টাকা
= ৩,৬০০ টাকা

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৩,৬০০ টাকা

প্রশ্ন: ০.০১ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
০.০১ = ১/১০০

∴ ০.০১ এর বর্গমূল = √(১/১০০)
= ১/১০ = ০.১০ 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
এখানে,
√7/√63
= √(7/63)
= √(1/9)
= 1/3

∴ 1/3 = √7/√63  মূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: যদি ১৫ টি পোশাকের মধ্যে শতকরা ৪০ ভাগ পোশাক শার্ট হয় তবে ১৫ টি পোশাকের মধ্যে কতটি শার্ট নয়? 

সমাধান: 
১০০ টি পোশাকের মধ্যে শার্ট = ৪০ টি 
∴ ১ টি পোশাকের মধ্যে শার্ট = ৪০/১০০ টি 
∴ ১৫ টি পোশাকের মধ্যে শার্ট = (৪০ × ১৫)/১০০ টি 
= ৬ টি 

∴ পোশাকের মধ্যে শার্ট নয় = (১৫ - ৬) টি 
= ৯ টি।

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী লিখিত মূল্যের উপর ১০% ছাড় দেয়। সে ক্রয় মূল্য থেকে শতকরা কত বেশি নির্ধারণ করলে ১৭% লাভ করতে পারবে?

সমাধান: 
ধরি, নির্ধারিত মূল্য x টাকা এবং ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
১৭% লাভে বিক্রয় মূল্য = (১০০ + ১৭) টাকা
= ১১৭ টাকা

 প্রশ্নমতে,
x এর ৯০% = ১১৭
⇒ x × (৯০/১০০) = ১১৭
⇒ x = (১১৭ × ১০)/৯
⇒ x = ১৩০ 

∴ ক্রয় মূল্য থেকে (১৩০ - ১০০) = ৩০% বেশী নির্ধারণ করলে ১৭% লাভ করতে পারবে।

মানের ক্রম: ০.৬ > ০.৫০. > ০.০৬ > ০.০০৬

প্রশ্ন: তিনটি নল দ্বারা একটি পানির ট্যাংক ২০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল তিনটি খুলে দেওয়ার ১২ মিনিট পর প্রথম এবং দ্বিতীয় নলটি বন্ধ করে দিলে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরো ৩০ মিনিট সময় লাগলে শুধু তৃতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
তিনটি নল দ্বারা,
২০ মিনিটে ট্যাংক পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/২০ অংশ
∴ ১২ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১২/২০ অংশ = ৩/৫ অংশ

১২ মিনিট পর অবশিষ্ট থাকে = ১ - (৩/৫) অংশ
= ২/৫ অংশ

তৃতীয় নলটি,
২/৫ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ৩০ মিনিট
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ৩০ × (৫/২) মিনিট
= ৭৫ মিনিট
= ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট [৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা]

∴ শুধু তৃতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ করতে সময় লাগবে = ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে ছোট হয়।

এখানে,
৩/৮ ভগ্নাংশে লব (৩) হর (৮)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

অন্যদিকে,
৯/৭, ১১/৯, ৭/৫ ভগ্নাংশগুলোর লব হরের চেয়ে বড়, তাই এগুলো অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৪৫ কিলোমিটার গতিতে একটি সেতু ৫০ সেকেন্ডে পার হলো। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার হলে সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে, 
৪৫ কিলোমিটার = (৪৫ × ১০০০) মিটার  
= ৪৫০০০ মিটার

আমনা জানি,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ মিনিট

৩৬০০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ৪৫০০০ মিটার
∴ ৫০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = (৪৫০০০ × ৫০)/৩৬০০ = ৬২৫ মিটার

 আমরা জানি,
সেতু অতিক্রম করার জন্য ট্রেনকে তার নিজের দৈর্ঘ্য ও সেতুর দৈর্ঘ্যের সমান পথ অতিক্রম করতে হবে।

∴ সেতুটির দৈর্ঘ্য = (৬২৫ - ২৫০) মিটার
= ৩৭৫ মিটার

ধরি, কিউব ক এর সাইড ২x একক
এবং, কিউব খ এর সাইড x একক
∴ তল দুটির অনুপাত = ৬(২x)^২ : ৬(x)^২ = ২৪x^২ : ৬x^২ = ৪ : ১

প্রশ্ন: ৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশের ১৫ শতাংশের ১০ শতাংশ কত?

সমাধান: 
৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশ,
৪৮০০ টাকার ২৫% = ৪৮০০ × (২৫/১০০) = ১২০০ টাকা

আবার, ১২০০ টাকার ১৫ শতাংশ,
 ১২০০ টাকার ১৫% = ১২০০ × (১৫/১০০) = ১৮০ টাকা

এবং, ১৮০ টাকার ১০ শতাংশ,
১৮০ টাকার ১০% = ১৮০ × (১০/১০০) = ১৮ টাকা

অতএব, ৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশের ১৫ শতাংশের ১০ শতাংশ হলো ১৮ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 60% হতে 48 বিয়োগ করলে, ফলাফল হয় সংখ্যাটির 36%। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
(60x/100) - 48 = (36x/100)
⇒ (60x/100) - (36x/100) = 48
⇒ 24x = 4800
⇒ x = 4800/24
⇒ x = 200

মনে করি,
ছাগলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা
= ৯০ টাকা।
এবং ১৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১৫) টাকা
= ১১৫ টাকা।
সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১৫ - ৯০) = ২৫ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ২৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০×৫০/২৫ টাকা
= ২০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২৪ মিনিট সময় হারায়। কতদিন পর ঘড়িটি সঠিক সময় নির্দেশ করবে?

​সমাধান:
আমরা জানি, 
​ঘড়ির কাঁটার সম্পূর্ণ ঘন্টা = ১২ ঘন্টা 
​অর্থাৎ ১২ ঘণ্টা = ১২ × ৬০ মিনিট = ৭২০ মিনিট সময় হারালে ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় নির্দেশ করবে।
​
এখন, 
​২৪ মিনিট সময় হারায় = ১ দিনে
∴ ৭২০ মিনিট সময় হারায় = ৭২০/২৪ দিনে
= ৩০ দিনে
​
​অতএব, ঘড়িটি ৩০ দিন পর সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

সবাই ১৩ দিন খেয়েছে তাই বাকি আছে = ৪০ - ১৩ = ২৭ দিন
২৭ দিনের খাবার আছে = ১৫০০ জন সৈনিকের
১ দিনের খাবার আছে = ১৫০০ × ২৭ জন সৈনিকের
৩০ দিনের খাবার আছে = (১৫০০×২৭)/৩০ জন সৈনিকের = ১৩৫০
তাহলে অন্য জায়গায় গিয়েছে = ১৫০০-১৩৫০ = ১৫০জন

৮ কি ডিমের বিক্রয় মূল্য ৫০ টাকা
১২ টি ডিমের বিক্রয় মূল্য ( ৫০ × ১২ )/৮ = ৭৫ টাকা
২৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয় মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয় মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ( ১০০ × ৭৫ )/৭৫ = ১০০ টাকা

ক -
১৫ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/১৫ অংশ

খ -
২০ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/২০ অংশ

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে = (১/১৫ + ১/২০) = ৭/৬০ অংশ
ক ও খ একত্রে ৪ দিনে করে = ৭/১৫ অংশ।

অর্থাৎ, বাকী থাকে (১ - ৭/১৫) = ৮/১৫ অংশ।