পাটিগণিত

প্রশ্ন: ২৪ জন লোক একটি কাজ ১৮ দিনে করতে পারে। ৬ জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কতদিন বেশি লাগবে?

সমাধান:
৬ জন লোক কমে যাওয়ায় মোট লোক হয় = (২৪ - ৬) = ১৮ জন

২৪ জন লোক একটি কাজ করতে পারে ১৮ দিন
১ জন লোক একটি কাজ করতে পারে ২৪ × ১৮ দিন
১৮ জন একটি কাজ করতে পারে = (২৪ × ১৮)/১৮ দিন
= ২৪ দিন

পূর্বের চেয়ে সময় বেশি লাগে = (২৪ - ১৮) = ৬ দিন

∴ কাজটি সমাধান করতে শতকরা সময় বেশি লাগবে = (৬/১৮) × ১০০%
= ৩৩.৩৩%

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার জমির দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ালে এবং প্রস্থ ১০% কমালে ক্ষেত্রফল কতটুক বৃদ্ধি/হাস পাবে?

সমাধান:
ধরি,
র্গাকার জমির দৈর্ঘ্য = x
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x
∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = x × x = x²

দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধিতে,
নতুন দৈর্ঘ্য = x + x এর ২০%
= x + (২০x/১০০)
= x + ০.২০x
= ১.২০x

প্রস্থ ১০% হ্রাসে,
নতুন প্রস্থ = x - x এর ১০%
= x - (১০/১০০)y
= x - ০.১০x
= ০.৯০x

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১.২০x × ০.৯০x = ১.০৮x²

ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = নতুন ক্ষেত্রফল - পুরাতন ক্ষেত্রফল
= ১.০৮x² - x²
= ০.০৮x²

∴ শতকরা পরিবর্তন = (পরিবর্তন/পুরাতন ক্ষেত্রফল) × 100
= (০.৮x²/x²) × ১০০
= ০.০৮× ১০০
 = ৮%

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮% বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি স্কুলের বার্ষিক পরীক্ষায় ৮৫ জন ছাত্রের মধ্যে ৬৮ জন ছাত্র ফেল করলে পাশের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র = ৮৫ জন 
ফেল করে = ৬৮ জন
∴ পাশ করে = ৮৫ - ৬৮ = ১৭ জন

এখন,
৮৫ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = ১৭ জন
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (১৭/৮৫) জন 
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (১৭ × ১০০)/৮৫ জন = ২০ জন 

∴ পাশের হার = ২০%

প্রশ্ন: দুটি নল একত্রে একটি চৌবাচ্চা 10 মিনিটে পূর্ণ করে। যদি প্রথম নলটি একা 15 মিনিটে পূর্ণ করতে পারে, তবে দ্বিতীয় নলটি একা পূর্ণ করতে কত সময় নেবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: ক% হারে ক টাকার ৫ বছরের সরল সুদ ক টাকা হলে, ক এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল = ক টাকা
সরল সুদের হার = ক%
সময় = ৫ বছর
সরল সুদ = ক টাকা

আমরা জানি, 
সরল সুদ = (মূলধন × হার × সময়)/১০০
ক = (ক × ক × ৫) / ১০০
⇒ ক = (৫ক^২)/১০০
⇒ ৫ক^২ = ১০০ক 
⇒ ক = ১০০/৫
∴ ক = ২০

সুতরাং, ক এর মান ২০

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা বেশি হলে ১০% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১১০ - ৯০) টাকা
= ২০ টাকা

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮০)/২০ টাকা
= ৪০০ টাকা

∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9. অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
একক স্থানীয় অংক = x 
দশক স্থানীয় অংক = 9 - x 
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - x) + x
= 90 - 9x 

আবার,
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে = 10x + 9 - x
= 9x + 9 

প্রশ্নমতে, 
9x + 9 = 90 - 9x - 45 
⇒ 18x = 36 
⇒ x = 36/18
∴ x = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 2)
= 72 । 

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী প্রতি হালি কলা ৩০ টাকা দরে ক্রয় করে, প্রতি ৩ হালি ১০৮ টাকা দরে বিক্রি করলে তার শতকরা কত লাভ হয়?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
১ হালির ক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
এবং
৩ হালির বিক্রয়মূল্য = ১০৮ টাকা
∴ ১ হালির বিক্রয়মূল্য = ১০৮/৩ = ৩৬ টাকা

∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ৩৬ - ৩০
= ৬ টাকা

∴ শতকরা লাভের হার = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= (৬/৩০) × ১০০%
= (১/৫) × ১০০%
= ২০%

সুতরাং, ব্যবসায়ীর শতকরা ২০% লাভ হয়।

প্রশ্ন: একটি সিএনজি প্রথম মাইলের জন্য ৬০ টাকা এবং পরবর্তী প্রতি মাইলের জন্য ১২ টাকা ভাড়া নেয়। সাড়ে চার মাইল পথের জন্য কত টাকা ভাড়া হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
একটি সিএনজি প্রথম মাইলের জন্য ৬০ টাকা নেয়
এবং পরবর্তী প্রতি মাইলের জন্য ১২ টাকা নেয়।
পথের মোট দূরত্ব = সাড়ে চার মাইল = ৪.৫ মাইল

এখন, 
প্রথম ১ মাইলের ভাড়া = ৬০ টাকা

∴ পরবর্তী দূরত্ব = ৪.৫ - ১ = ৩.৫ মাইল
∴ পরবর্তী ৩.৫ মাইলের ভাড়া = ৩.৫ × ১২ = ৪২ টাকা

∴ মোট ভাড়া = ৬০ + ৪২ = ১০২ টাকা

x : y = 5 : 6 = 35 : 42
y : z = 7 : 8 = 42 : 48
x : y : z = 35 : 42 : 48

গণিতে ফেল করে ৫১%
∴ গণিতে পাশ করে = (১০০-৫১)
= ৪৯%
আবার, যে কোন একটি বিষয়ে ফেল করে = ৫১% + ৪২% - ১৮%
= ৭৫%
∴ উভয় বিষয়ে পাশ করে = ১০০ - ৭৫ = ২৫%
∴ শুধু গণিতে পাশ করে = ৪৯% - ২৫% = ২৪%

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ১ এবং তাদের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৩৬ বছর হলে, ১২ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত = ৫ : ১

∴ অনুপাতের যোগফল = ৫ + ১ = ৬
 
∴ মাতার বর্তমান বয়স
= (৩৬ এর ৫/৬) বছর
= ৩০ বছর

∴ কন্যার বর্তমান বয়স = (৩৬ এর ১/৬) বছর
= ৬ বছর
 
∴ ১২ বছর পরে-
মাতার বয়স = ৩০ + ১২ = ৪২ বছর
কন্যার বয়স = ৬ + ১২ = ১৮ বছর
 
∴ বয়সের অনুপাত (১২ বছর পরে)-
৪২ : ১৮
= ৭ : ৩

∴ ১২ বছর পরে মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত = ৭ : ৩

১ম রাশি,
x² + 5x
= x(x + 5) 
২য় রাশি,
x² - 25
= (x + 5)(x - 5)
৩য় রাশি,
x² + 7x + 10
= x² + 5x + 2x + 10
= x(x + 5) + 2(x + 5)
= (x + 5)(x + 2)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. (x + 5) 

ধরি,
ক্রয়মূল্য a টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ৯০a/১০০
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১১০a/১০০
∴ ১১০a/১০০ - ৯০a/১০০ = ১৩৫
বা, ২০a/১০০ = ১৩৫
বা, a/৫ = ১৩৫
∴ a = ৫×১৩৫ = ৬৭৫ টাকা

প্রশ্ন: কোনো সম্পত্তির ২/৩ অংশের মূল্য ২৪০০০ টাকা হলে। তাহলে সম্পত্তির ৭/৯ অংশের মূল্য কত?

সমাধান:
সম্পত্তির ২/৩ অংশের মূল্য = ২৪০০০ টাকা
∴ সম্পত্তির ১ অংশের মূল্য = (২৪০০০ × ৩)/২ = ৩৬০০০ টাকা
∴ সম্পত্তির ৭/৯ অংশের মূল্য = (৩৬০০০ × ৭)/৯ = ২৮০০০ টাকা

∴ সম্পত্তির ৭/৯ অংশের মূল্য ২৮০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে ১২০০ ছাত্রের ২০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। ১২ দিন পর কিছু ছাত্র অন্য জায়গায় চলে গেল। বাকি খাদ্য অবশিষ্ট ছাত্রের আরো ৩০ দিন চললো। কত জন ছাত্র অন্য জায়গায় চলে গিয়েছিলো?

সমাধান:
১২ দিন পর,
অবশিষ্ট সময় = (২০ - ১২) = ৮ দিন

বাকি খাদ্য ৮ দিনে খেতে পারে = ১২০০ জন ছাত্র
বাকি খাদ্য ১ দিনে খেতে পারে = (১২০০ × ৮) জন ছাত্র
বাকি খাদ্য ৩০ দিনে খেতে পারে = (১২০০ × ৮)/৩০ জন ছাত্র
= ৩২০ জন ছাত্র

∴ অন্য জায়গায় চলে গিয়েছিলো = (১২০০ - ৩২০) জন
= ৮৮০ জন ছাত্র

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি দ্রব্য ১২.৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করেন। ঐ বিক্রয়মূল্যের চেয়ে ২৪ টাকা বেশি নিলে তিনি ১২.৫% লাভ করতেন।
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

১২.৫% ক্ষতিতে 
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১২.৫) টাকা = ৮৭.৫ টাকা

১২.৫% লাভে 
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১২.৫ = ১১২.৫ টাকা 

বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১২.৫ - ৮৭.৫) টাকা = ২৫ টাকা 

বিক্রয়মূল্য২৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা 
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/২৫ টাকা 
বিক্রয়মূল্য ২৪ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ২৪)/২৫ = ৯৬ টাকা

সুতরাং, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ৯৬ টাকা। 

প্রশ্ন: ৬% হারে আট মাসে ৮০০০ টাকার উপর সরল সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৮০০০ টাকা
সুদের হার, r = ৬%
সময়, n = ৮ মাস = ৮/১২ = ২/৩ বছর

আমরা জানি, 
সরল সুদ, SI = (P × r × n)/১০০
= (৮০০০ × ৬ × ৮/১২)/১০০
= ৮০ × ৪  
= ৩২০ টাকা

অতএব, ৮ মাসে ৮০০০ টাকার উপর সরল সুদ হবে ৩২০ টাকা।

১৬ - ৬ = ১০,
২৪ - ১৪ = ১০,
৩৬ - ২৬ = ১০
প্রতিক্ষেত্রে বিয়োগফল = ১০
এখন, ১৬, ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. = ১৪৪
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১৪৪ - ১০
= ১৩৪

প্রশ্নঃ একজন কর্মীর বেতন জুলাইয়ে ২০,০০০ টাকা ছিল। ১০% কর্তনের পর এবং পরে একই বছর অক্টোবরে ১০% বৃদ্ধি করলে, জানুয়ারিতে তিনি মূল বেতনের তুলনায় কত লাভ বা লোকসান করবেন? 

সমাধানঃ
মূল বেতন = ২০,০০০
জুলাইয়ে ১০% কর্তন = ২০,০০০ × (১ - ০.১০) 
= ২০,০০০ × ০.৯
= ১৮,০০০ টাকা

অক্টোবরে ১০% বৃদ্ধি
অক্টোবরের নতুন বেতন = ১৮,০০০ × (১ + ০.১০) 
= ১৮,০০০ × ১.১ 
= ১৯,৮০০ টাকা

লাভ বা লোকসান = নতুন বেতন - আগের বেতন
= ১৯,৮০০ - ২০,০০০
= - ২০০ টাকা (লোকসান)

∴ জানুয়ারিতে তিনি মূল বেতনের তুলনায়  লোকসান করবেন ২০০ টাকা। 

ধরি, ৭ জনের ওজনের সমষ্টি x কেজি
এবং নতুন ব্যক্তির ওজন p কেজি
(x+৬৫) /৮ + ২.৫ = (x+p) /৮
⇒ x + ৬৫ + ২০ = x+p
⇒ p = ৮৫ + x - x
∴ p = ৮৫

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কি.মি. পথ ১২ ঘণ্টায় অতিক্রম করেন। স্থির পানিতে একই সময়ে ২ গুণ দূরত্ব অতিক্রম করতে পারেন। স্রোতের অনুকূলে একই পথ অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি = ৪৮/১২ কি.মি./ঘন্টা
= ৪ কি.মি./ঘন্টা

স্থির পানিতে নৌকার গতি = ২ × স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি
= ২ × ৪
= ৮ কি.মি./ঘন্টা

নদীর স্রোতের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি - স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি
= ৮ - ৪ কি.মি./ঘন্টা
= ৪ কি.মি./ঘন্টা

অনুকূলের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি + নদীর স্রোতের গতি
= ৮ + ৪ কি.মি./ঘন্টা
= ১২ কি.মি./ঘন্টা

একই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ৪৮/১২ ঘন্টা
= ৪ ঘন্টা

∴ একই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে ৪ ঘন্টা।

প্রশ্ন: ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু 
∴ লব ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২
হর ৪ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

∴ ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু = ১২/১
= ১২ । 

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪% হার সুদে ১০০০ টাকার ৩ বছরে যত সুদ হয়, বার্ষিক ৬% হার সুদে কত টাকার ২ বছরে তত সুদ হয়? 

সমাধান: 
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪/১০০ টাকা 
∴ ১০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৪ × ১০০০ × ৩)/১০০ টাকা 
= ১২০ টাকা 

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৬ টাকা
∴ ১০০ টাকার ২ বছরের সুদ = (৬ × ২) টাকা = ১২ টাকা 

এখন, 
১২ টাকা সুদ যখন আসল = ১০০ টাকা 
∴ ১ টাকা সুদ যখন আসল = ১০০/১২ টাকা 
∴ ১২০ টাকা সুদ যখন আসল = (১০০ × ১২০)/১২ টাকা 
= ১০০০ টাকা ।