পাটিগণিত

বালির পরিমাণ= ৬৪ × ২৫%
                     = ৬৪×২৫/১০০
                     = ১৬ কি.গ্রা.।  

পাথরের পরিমাণ = ৬৪- ১৬
                          = ৪৮ কি.গ্রা.

বর্তমানে বালি ও পাথরের অনুপাত = ১৬ : ৪৮ = ১ : ৩ 

 বালি মেশানোর পর বালি ও পাথরের অনুপাত = ৬০ % : ৪০% 
                                                                      = ৬০/১০০ : ৪০/১০০
                                                                      = ৩ : ২ 

মনেকরি 
x কি. গ্রা বালি মেশাতে হবে।  

প্রশ্নমতে, 
 ১৬ +x  :  ৪৮  = ৩ : ২  
(১৬ +x)/৪৮ = ৩/২ 
১৬ +x = (৪৮ × ৩)/২ 
 ১৬ +x = ৭২ 
         x = ৭২  - ১৬ 
      ∴   x = ৫৬ কি.গ্রা.

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৫/১২ । একটি ভগ্নাংশ ৫/৮ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৫/১২
একটি ভগ্নাংশ = ৫/৮

এখন,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = একটি ভগ্নাংশ × অপর ভগ্নাংশ
বা, অপর ভগ্নাংশ = দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল/একটি ভগ্নাংশ
= (৫/১২)/(৫/৮)
= (৫/১২) × (৮/৫)
= ৮/১২
= ২/৩

∴ অপর ভগ্নাংশ = ২/৩

প্রশ্ন: কলার দাম (৫০/৩)% কমে যাওয়ায় ৭৫ টাকায় আগের চেয়ে ৫টি কলা বেশি পাওয়া গেল। প্রতি ডজন কলার বর্তমান দাম কত?

সমাধান:
কলার দাম ১০০ টাকায় কমে ৫০/৩ টাকা
∴ কলার দাম ১ টাকায় কমে ৫০/(৩ × ১০০) টাকা
∴ কলার দাম ৭৫ টাকায় কমে (৫০ × ৭৫)/(৩ × ১০০) টাকা = ২৫/২ টাকা

অর্থাৎ,
৫টি কলার বর্তমান মূল্য ২৫/২ টাকা
∴ ১টি কলার বর্তমান মূল্য ২৫/(২ × ৫) টাকা
∴ ১২ টি কলার বর্তমান মূল্য (২৫ × ১২)/(২ × ৫) টাকা = ৩০ টাকা 

প্রশ্ন: যদি 2x + 2/x = 3 হয় তবে, x² + 1/x² = কত?

সমাধান:
2x + 2/x = 3
⇒ 2(x + 1/x) = 3
⇒ x + 1/x = 3/2
⇒ (x + 1/x)² = (3/2)²
⇒ x² + 2 × x × 1/x + 1/x² = 9/4
⇒ x² + 2 + 1/x² = 9/4
⇒ x² + 1/x² = 9/4 - 2
⇒ x² + 1/x² = 9/4 - 8/4
⇒ x² + 1/x² = (9 - 8)/4
x² + 1/x² = 1/4

১৫% লাভে ৪০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয় মূল্য = ৪০০ × ১১৫/১০০
আবার, ১৫% লাভে (৪০০×১১৫)/১০০ দ্রব্যের খুচরা মুল্য = ৪০০ × (১১৫/১০০) × (১১৫/১০০)
= ৫২৯

বড় সংখ্যাটি = (৯৩ + ১) / ২ = ৪৭

√-৫
= i√৫
= √৫i
কারণ,
√-১ = ১

প্রশ্ন: কোনো আসল ৪ বছরে মুনাফা-আসলে ৬৩০০ টাকা হয়। মুনাফা, আসলের ২/৫ অংশ হলে মুনাফার হার কত?

সমাধান:
ধরি, আসল = P
মুনাফা = আসলের ২/৫ = (২/৫) × P

∴ মুনাফা + আসল = ৬৩০০ টাকা
⇒ P + (২/৫)P = ৬৩০০
⇒ (১ + ২/৫)P = ৬৩০০
⇒ (৭/৫)P = ৬৩০০
⇒ P = (৬৩০০ × ৫)/৭
∴ P = ৪৫০০ টাকা

∴ মুনাফা = ৬৩০০ - ৪৫০০ = ১৮০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর

আমরা জানি,
সুদ, I = (P × r × n)/১০০
⇒ r = (I × ১০০)/(P × n)
= (১৮০০ × ১০০) / (৪৫০০ × ৪)
= ১,৮০,০০০/১৮,০০০
= ১০%

∴ মুনাফার হার = ১০%

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একবার একত্রে বাজার পর যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগলো। ঘণ্টাগুলো পুনরায় কত সময় পর একত্রে বাজবে? 

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু. এর সমান সময়ের পর পুনরায় একত্রে বাজবে। 

৩ = ১ × ৩ 
৫ = ১ × ৫ 
৭ = ১ × ৭ 
৮ = ১ × ২ × ২ × ২
১০ = ১ × ২ × ৫

নির্ণেয় ল.সা.গু. = ১ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ৮৪০ 

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ৮৪০ সেকেন্ড পর
= (৮৪০/৬০) মিনিট পর
= ১৪ মিনিট পর

৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ১৮০
সুতরাং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৮০ + ১
= ১৮১

বড় সংখ্যাটি ক+১ হলে ছোট সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, (ক+১)²-ক² = ২৫
বা, ক²+২ক+১-ক² = ২৫
বা, ২ক = ২৫-১ = ২৪
বা, ক = ১২
∴ বড় সংখ্যাটি = ক+১ = ১২+১ = ১৩

To gain 20% on whole he must sell all good for,
Tk. 400 + 20% of 400 = 480
As he get 5% gain on half of the goods i.e. 200 + 5% of 200 = 210
So required balance = 480 - 210 = 270
He must gain Tk. 70 on rest Tk. 200
% gain on remainder goods = (70×100)/200
= 35%

ধরি,
দুধ = ৭ক লিটার, পানি = ২ক লিটার
∴ ৭ক-২ক = ১০ লিটার
বা, ৫ক = ১০ লিটার
∴ ক = ২ লিটার
∴ পানির পরিমাণ = ২×২ = ৪ লিটার

প্রশ্ন: A : B = 5 : 4, A : C = 6 : 5 হলে C : B = ?

সমাধান:
A : B = 5 : 4 = 5 × 6 : 4 × 6 = 30 : 24
A : C = 6 : 5 = 6 × 5 : 5 × 5 = 30 : 25
A : B : C = 30 : 24 : 25
C : B = 25 : 24

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু ৬০ এবং গ. সা. গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
বড় সংখ্যাটি = ৩ক 
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক এর ২/৩ = ২ক 

আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু 
⇒ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০ 
⇒ ৬ক^২ = ৬০০ 
⇒ ক^২ = ৬০০/৬ 
⇒ ক^২ = ১০০ 
⇒ ক^২ = ১০^২ 
∴ ক = ১০ 

∴ বড় সংখ্যাটি = ৩ক 
= ৩ × ১০ 
= ৩০

সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হলো ৩০। 

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৬৩। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত??

সমাধান:
ধরি তিনটি সংখ্যা ক, খ, গ

দেওয়া আছে:
ক × খ = ৩৫ , খ × গ = ৬৩

৩৫ এবং ৬৩ এর সাধারণ গুণক হলো ৭।
তাই খ = ৭

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৭

৬, ৮, ১০ এর ল.সা.গু. = ১২০
আবার, ১২০ = (২ × ২) × ২ × ৩ × ৫
এখন, (২ × ২) (২ × ২) (৩ × ৩) (৫ × ৫)
= ৩৬০০ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
∴ সৈন্যসংখ্যা = ৩৬০০

প্রশ্ন: একটি ক্যামেরা ৬৩০ টাকায় বিক্রয় করাতে ক্রয়মূল্যের উপর ২৫% ক্ষতি হয়। ক্যামেরাটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ - ২৫) = ৭৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৭৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬৩০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৬৩০)/৭৫ টাকা
= ৮৪০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ৪২০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, ৫ক ও ৭ক হলে
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩৫ক
এবং সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ৪২০

∴ ক = ৪২০/৩৫ = ১২

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ১২

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি আন্তঃনগর এক্সপ্রেস ট্রেন একটি লাইট পোস্ট ৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। ট্রেনটির গতিবেগ কিলোমিটার/ঘণ্টায় কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড 
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার 
ট্রেনটি লাইট পোস্ট অতিক্রম করতে তার নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হয়। 

এখন,
৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ১২০ মিটার 
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ১২০/৬ মিটার 
∴ ৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (১২০ × ৩৬০০)/৬ মিটার 
= ৭২০০০ মিটার 
= ৭২ কিলোমিটার 

∴ ট্রেনটির গতিবেগ = ৭২ কিলোমিটার/ঘণ্টা ।

মনে করি,
খেলনাটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) টাকা বা, ৯০ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য - ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য
= (১০৫ - ৯০) টাকা বা, ১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০×৭৫)/ ১৫ = ৫০০ টাকা
সুতরা, খেলনাটির ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১০, ১৫ এবং ২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু = ৬০

পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০

১০০০০ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০