সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

x + 2y = 5 .......(1) এবং 2x - y = 0
∴ y = 2x .........(2)
(1) নং থেকে পাই,
x + 2y = 5
বা, x + 2.2x = 5
বা, 5x = 5
∴ x = 1
(2) নং থেকে পাই,
∴ y = 2.1 = 2

এখানে,
x - 2y = 5
বা, x = 2y + 5
আবার,
xy = 3
বা, (2y + 5)y = 3
বা, 2y² + 5y - 3 = 0
বা, 2y² + 6y - y - 3 = 0
বা, 2y(y + 3) - 1(y + 3) = 0
বা, (y + 3)(2y - 1) = 0
হয়,
y + 3 = 0
∴ y = -3
অথবা,
2y - 1 = 0
বা, 2y = 1
∴ y = 1/2
∴ y = -3, 1/2

দেওয়া আছে, 8x + 4 = 48
বা, 4(2x + 1) = 48
বা, (2x + 1) = 48/4
বা, (2x + 1) = 12

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 3 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 6 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন
​
১ম ক্ষেত্রে, 
4 জন বসে = 1 টি বেঞ্চে
∴ x জন বসে = x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি 

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে = 1 টি বেঞ্চে
∴ (x - 6) জন বসে = (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

প্রশ্নমতে, 
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36
বা, 4x - 3x = 36 + 24
∴ x = 60

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১৪ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৫ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y
প্রশ্নমতে,
x − y = ১৪ ……………(1)
এবং
x + y = ৫(x − y)
⇒ x + y = ৫×১৪ [সমীকরণ (1) থেকে মান বসিয়ে]
⇒ x + y = ৭০ ……………(2)

এখন (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করলে পাই,
(x − y) + (x + y) = ১৪ + ৭০
⇒ ২x = ৮৪
⇒ x = ৮৪/২
⇒ x = ৪২

এবার x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
৪২ + y = ৭০
⇒ y = ৭০ − ৪২
⇒ y = ২৮

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো ৪২ এবং ২৮

ধরি, m বিয়োগ করতে হবে।
প্রশ্নমতে,
1/(x - y) + 1/(x + y) - m = 2
বা, m = 1/(x - y) + 1/(x + y) - 2
বা, m = (x + y + x - y)/(x² - y²) - 2
বা, m = 2x/(x²−y²)−2

প্রশ্ন:

সমাধান:

a²x + b = 0 সমীকরণের x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 1
∴ সমীকরণের ঘাত = 1

প্রশ্ন: (x + 5) + 8 = 4(x + 1) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x + 5) + 8 = 4(x + 1)
⇒ x + 13 = 4x + 4
⇒ 4x - x = 13 - 4
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

প্রশ্ন: (4x - 3, 6) = (13, 3y + 3) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(4x - 3, 6) = (13, 3y + 3)

অতএব, 
4x - 3 = 13
⇒ 4x = 13 + 3
⇒ 4x = 16
⇒ x = 4

এবং,
3y + 3 = 6
⇒ 3y = 6 - 3
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1

∴ (x, y) = (4, 1)

ধরি, সংখ্যাটি ক
ক/৩ – ক/৪ = ৫
বা, ক/১২ = ৫
বা, ক = ৬০

প্রশ্ন: যদি 3x² + mx + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m > 0 হয়, তাহলে m এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, 3x² + mx + 12 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = m, c = 12

আমরা জানি, মূলদ্বয় সমান হলে,
b² − 4ac = 0
⇒ m² = 4 × 3 × 12 
⇒ m² = 144
⇒ m = √144
∴ m = 12 (যেহেতু m > 0) 

নিশ্চায়ক = (-a)² - 4.2.1 = 0
বা, a² = 8
∴ a = ±2√2

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x/2 - x/3 = 18
বা, (3x - 2x)/6 = 18
সুতরাং, x = 108

প্রশ্ন: একটি পিকনিকে যতজন বন্ধু ছিল, প্রত্যেকে তার থেকে 4 টাকা বেশি করে দেওয়ায় মোট 320 টাকা উঠল। পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনে করি, পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা = x জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (x + 4) টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ x(x + 4) = 320
⇒ x² + 4x = 320
⇒ x² + 4x - 320 = 0
⇒ x² + 20x - 16x - 320 = 0
⇒ x(x + 20) - 16(x + 20) = 0
⇒ (x - 16)(x + 20) = 0

হয়, x - 16 = 0
⇒ x = 16
অথবা, x + 20 = 0
⇒ x = - 20 (বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা 16 জন ছিল।

ধরি,
b = 2 - a -- (১)
সুতরাং,
ab = 1
⇒ a (2 - a) = 1
⇒ 2a - a² = 1
⇒ 1 - 2a + a² = 0
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ a²- 2.a.1 + 1² = 0
⇒ (a-1)² = 0
⇒ (a-1) (a-1) = 0
⇒ a = 1
(১) নং থেকে,
b = 2 - 1
⇒ b = 1
সুতরাং, a = 1, b = 1.

x² + y² = 185
(x - y)² + 2xy = 185 [ x - y = 3]
2xy = 185 - 9
2xy = 176
∴ 4xy = 352
∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy} = √(3² + 352)
∴ x + y = √361 = 19
x + y = 19........(1)
x - y = 3............(2)
(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
2x = 22
x = 11
∴ y = 8

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
xy = 2
বা, y = 2/x

এখন,
x + 2y = 4
বা, x + 2 × 2/x = 4
বা, x + 4/x = 4
বা, x² + 4 = 4x
বা, x² - 4x + 4 = 0
বা, (x)² - 2. x. 2 + (2)² = 0
বা, (x - 2)² = 0
বা, x - 2 = 0
বা, x = 2
∴ x = 2

2+(6/x) = 5
⇒ 6/x = 5 - 2
⇒ 6/x = 3
⇒ 3x = 6
∴ x = 2
∴ 2x + 8 = 2 X 2 + 8 = 12

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ২ টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = “ক” টি

শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ ছাত্রসংখ্যা = {(ক - ২) × ৫} জন

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৮ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪ক + ৮ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৫ = ৪ক + ৮
⇒ ৫ক - ১০ = ৪ক + ৮
∴ ক = ১৮

অতএব,
বেঞ্চ আছে ১৮ টি

∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৫ জন
= (১৮ - ২) × ৫ জন
= ১৬ × ৫ জন
= ৮০ জন

প্রশ্ন: যদি x + 3y = 56 এবং y = 2x হয়, তবে y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + 3y = 56....(i)
এবং y = 2x
এখন y = 2x মানটি (i) নং সমীকরণে বসাই,
x + 3(2x) = 56
⇒ x + 6x = 56
⇒ 7x = 56
⇒ x = 8

এখন,
y = 2x
⇒ y = 2 × 8 = 16

প্রশ্ন: একজন ছাত্র 5 টাকার দরে x টি পেনসিল এবং 4 টাকার দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি পেনসিল কিনেছে?

সমাধান:
x টি পেনসিলের দাম = 5x টাকা
(x + 4) টি খাতার দাম = 4(x + 4) টাকা
প্রশ্নমতে,
5x + 4(x + 4) ≤ 97
⇒ 5x + 4x + 16 ≤ 97
⇒ 9x + 16 ≤ 97
⇒ 9x ≤ 81
⇒ x ≤ 9

∴ ছাত্রটি সর্বাধিক 9 টি পেনসিল কিনেছে।

মনে করি, সংখ্যাটি 'ক'
শর্তমতে, 2ক/3 = ক - 65
বা, ক - 2ক/3 = 65
বা, (3ক - 2ক)/3 = 65
∴ ক = 195

প্রশ্ন: {(3x - 2)/4} + 1 = (x + 3)/2 সমীকরণটিতে x এর মান কত?

সমাধান:
 {(3x - 2)/4} + 1 = (x + 3)/2
⇒ (3x - 2 + 4)/4 = (x + 3)/2
⇒ (3x + 2)/4 = (x + 3)/2
⇒ 2(3x + 2) = 4(x + 3)
⇒ 6x + 4 = 4x + 12
⇒ 6x - 4x = 12 - 4
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4

প্রশ্ন: যদি a + 3b = 6 এবং ab = 3 হয়, তাহলে a এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 3b = 6 ....... (1)
এবং, ab = 3
⇒ b = 3/a ......... (2)

(1) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই,
a + 3 × (3/a) = 6
⇒ a + (9/a) = 6
⇒ (a² + 9)/a = 6
⇒ a² + 9 = 6a
⇒ a² - 6a + 9 =0
⇒ a² - 2 · a · 3 + 3² = 0
⇒ (a - 3)² = 0
⇒ a - 3 = 0
∴ a = 3

(z - 2)/(z-1) = 2 -1/(z-1)
⇒ (z - 2)/(z -1) + 1/(z - 1) =2
⇒ (z - 1)/(z - 1) =2
⇒ 1 = 2 [ যা অসম্ভব]
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান নেই
নির্ণেয় সমাধান সেট S =∅

x/3 + 4/(x + 1) = 2
বা, (x² + x + 12)/{3(x + 1)} = 2
বা, x² + x + 12 = 6x + 6
বা, x² - 5x + 6 = 0
বা, x² - 3x - 2x + 6 = 0
বা, x(x - 3) - 2(x - 3) = 0
বা, (x - 3)(x - 2) = 0
∴ x = 2, 3

f(-1) = (-1)³ + 2(-1) + 8
= -1 - 2 + 8
= 5

x = 2y = 3z
∴ y = x/2
এবং
z = x/3

xyz = 36
বা, x.x/2.x/3 = 36
বা, x³ = 2 × 3 × 36
বা, x³ = 216
∴ x = 6

3/(x - 1) = 4/(x + 2)
বা, 4x - 4 = 3x + 6
বা, 4x - 3x = 6 + 4
∴ x = 10