সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x

শর্তমতে,
(4x/5) - (2x/3) = 12
বা, (12x - 10x)/15 = 12
বা, 12x - 10x = 180
বা, 2x = 180
বা, x = 180/2
∴ x = 90

∴ সংখ্যাটি = 90  ।

x + 2y = 6.......(1)
এবং x/y = 4
বা, x/y = 4,
বা, x = 4y
বা, x - 4y = 0.....(2)
(1)নং - (2)নং হতে পাই
6y = 6
∴ y = 1
∴ (2) নং হতে পাই,
x - 4.1 = 0
বা, x = 4

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x - y = কত?

সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x(- 4) + 28x - 2 = 0   [ y = - 4 ]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4

∴ 4x - y = 4(1/4) - (- 4)
= 1 + 4
= 5

মনে করি, সংখ্যাটি x
অর্থাৎ, x + 1/x = 2
এখানে, অংক সহজে করার জন্য, অপশন থেকে x এর মান বসিয়ে দেখা যেতে পারে।
x = -1 হলে x + 1/x ≠ 2
x = 1 হলে x + 1/x = 2
x = 2 হলে x + 1/x ≠ 2
x = -1/2 হলে x + 1/x ≠ 2
সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে 1

প্রশ্ন: a⁴ - 2a² + 1 = 0 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 2a² + 1 = 0
⇒ (a²)² - 2.a².1 + 1² = 0
⇒ (a² - 1)² = 0
⇒ a² - 1 = 0
⇒ a² = 1
∴ a = 1

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার, 
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 

∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, (x + ১০y) = ২৮/২ 
∴ (x + ১০y) = ১৪

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।

ধরি, হাটার গতিবেগ x মি/সে
এবং দৌড়ের গতিবেগ y মি/সে
১ম শর্তমতে, 10x + 9y = 85
২য় শর্তমতে, 30x + 2y = 130
সমীকরন দুইটি সমাধান করে পাই,
X = 4
Y = 5
হরিণটির হাটার এবং দৌড়ের গতিবেগ যথাক্রমে ৪ মি/সে এবং ৫মি/সে

প্রশ্ন: যদি a + 2b = 8 এবং ab = 8 হয়, তাহলে a এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + 2b = 8 ......... (1)
এবং, ab = 8 ⇒ b = 8/a ......... (2)

এখন, (1) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই,
a + 2(8/a) = 8
⇒ a + (16/a) = 8
⇒ (a² + 16)/a = 8
⇒ a² + 16 = 8a
⇒ a² - 8a + 16 = 0
⇒ a² - 2 . a . 4 + 4² = 0
⇒ (a - 4)² = 0
⇒ a - 4 = 0
∴ a = 4

একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যা = 2x/5
x + 2x/5 = 98
⇒ 5x + 2x = 98 × 5
⇒ 7x = 490
⇒ x = 70
∴একটি সংখ্যা = 70; অপর সংখ্যা = 28

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
⇒ 4(y + 1) = 3(y - 2)
⇒ 4y + 4 = 3y - 6
⇒ 4y - 3y = - 6 - 4
∴ y = - 10

প্রশ্ন: 4x - 3 = 2x + 7 হলে (x + 1)² এর মান কত?
সমাধান: 
4x - 3 = 2x + 7
⇒ 2x = 10
⇒ x = 5

∴ (x + 1)² = (5 + 1)² = 36

প্রশ্ন: x = 7 এবং y = 6 হলে 16x² - 40xy + 25y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 7 এবং y = 6

প্রদত্ত রাশি: 16x² - 40xy + 25y²
= (4x)² - 2 × 4x × 5y + (5y)²
= (4x - 5y)²
= (4 × 7 - 5 × 6)²
= (28 - 30)²
= (-2)²
= 4

∴ 16x² - 40xy + 25y² এর মান 4

নিশ্চায়ক = ০ (কারণ, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান)
বা, p² - 4.4.9 = 0
বা, p² = 144
∴ p = 12

x > y তাই , 1/x < 1/y
∴ 1/x এর চেয়ে 1/y বড়

প্রশ্ন: যদি 5x - y = 9 এবং x = 2y হয়, তবে y এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
5x - y = 9 এবং x = 2y ......(1) 
⇒ 5(2y) - y = 9
⇒ 10y - y = 9
⇒ 9y = 9
⇒ y = 9/9
∴ y = 1

x³ - 9x + 10 = 0
বা, x³ - 0.x² - 9x + 10 = 0
সমীকরণে মূলগুলোর সমষ্টি = 0/1
= 0

(z - 1)(z + 2) = (z + 4)(z - 2)
⇒ z² - z + 2z - 2 = z² + 4z - 2z - 8
⇒ z - 2z = -8 + 2
⇒ z = 6

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/5 গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা = x
ছোট সংখ্যা = y
প্রদত্ত শর্তমতে,
x + y = 98 .....(1)

এবং, 
ছোট সংখ্যা বড় সংখ্যার 2/5 গুণ। অর্থাৎ, y = 2x/5 

এখন, y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
x + (2x/5) = 98
⇒ (5x + 2x)/5 = 98
⇒ 7x = 98 × 5
⇒ x = (98 × 5)/5
∴ x = 70

সুতরাং, বড় সংখ্যাটি = 70

প্রশ্ন: 7x + 3y = 27 এবং 2x - y = 4 হলে y এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া সমীকরণ দুটি, 
7x + 3y = 27 ..........(1)
এবং
2x - y = 4
∴ y = 2x − 4 ……(2)

এখন y-এর মান (1) নং সমীকরণে বসাই, 
7x + 3(2x - 4) = 27
⇒ 7x + 6x - 12 = 27
⇒ 13x - 12 = 27
⇒ 13x = 27 + 12
⇒ 13x = 39
⇒ x = 39/13
∴ x = 3
এখন x = 3 কে (2) নং সমীকরণে বসাই, 
⇒ y = 2(3) - 4
⇒ y = 6 - 4
∴ y = 2

সুতরাং, y এর মান 2

(3 - x) + 5 = 4(x - 3)
বা, -(x - 3) + 5 = 4(x - 3)
বা, 5(x - 3) = 5
বা, x - 3 = 1
∴ x = 4

প্রশ্ন: 3x + 7y = 10 এবং  4x - y = 3 হলে,  x ও y এর মান হবে যথাক্রমে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 7y = 10 ........(1)
4x - y = 3 .........(2)

(1) নং কে  1 এবং  (2) নং কে  7 দ্বারা গুণ করে পাই,
 28x - 7y = 21 .........(3)

এখন, (1) + (3) করে পাই, 
31x = 31
∴ x = 1
(2) নং x এ মান বসিয়ে পাই,
4 × 1 - y = 3
∴ y = 1

∴ (x, y) = (1, 1)

মনে করি, নির্ণেয় সংখ্যার দশম স্থানীয় অঙ্ক x এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y। অতএব, সংখ্যাটি 10x + y।
১ম শর্ত, x + y + 10 = 6x ........(1)
∴ y = 5x - 10 ...........(2)
২য় শর্ত, 10y + x = 10x + y - 9
⇒ 10y + x - 10x - y + 9 = 0
⇒ 9(5x - 10) - 9x + 9 = 0
⇒ 45x -90 - 9x + 9 = 0
⇒ 36x = 81
⇒ x = 81/36 = 9/4
(2) নং থেকে y = 5/4
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = (10 × 9/4) + 5/4 = 95/4

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও বর্গের অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা দুইটি x এবং y

∴ x² + y² = 61 ..........(¡) 
    x² - y² = 11 ..........(¡¡) 
---------------------------------------
(+) করে, 2x² = 72
বা, x² = 72/2 
বা, x² = 36 
বা, x² = 6² 
∴ x = 6

(¡) সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y² = 61 - x² 
বা, y² = 61 - (6)²
বা, y² = 61 - 36 
বা, y² = 25
বা, y² = 5² 
∴ y = 5 

∴ (x, y) = (6, 5) । 

প্রশ্ন: (2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি? 

সমাধান: 
2x - 6 = 4 
বা, 2x = 4 + 6 
বা, 2x = 10 
বা, x = 10/2 
∴ x = 5 

আবার, 
2y - 5 = 5 
বা, 2y = 5 + 5 
বা, 2y = 10 
বা, y = 10/2 
∴ y = 5 

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (5, 5) ।

প্রশ্ন:


সমাধান: 

প্রশ্ন: একটি হলরুমে প্রতি সারিতে ৬টি চেয়ারে ৬ জন করে বসালে ৪টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসালে ১০ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। হলে মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট ছাত্র সংখ্যা S  এবং সারি সংখ্যা R

প্রশ্ন অনুসারে,
প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৪টি সারি খালি থাকে। অর্থাৎ 
S = 6(R - 4)........(১)

আবার, 
প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১০ জন দাঁড়িয়ে থাকে। অর্থাৎ 
S = 5R + 10
⇒ 6(R - 4) = 5R + 10 [১ নং হতে]
⇒ 6R - 24 = 5R + 10
⇒ 6R - 5R = 10 + 24
∴ R = 34

R এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই, 
S = 6(34 - 4) = 6 × 30
∴ S = 180

সুতরাং মোট ছাত্র সংখ্যা = 180 জন

(5x - 4y, 4) = (6, x + 2y)
5x - 4y = 6 ……….(i)
x + 2y = 4 ………..(ii)
(ii) নং থেকে পাই,
x = 4 - 2y …………(iii)
(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
5(4 - 2y) - 4y = 6
বা, 20 - 10y - 4y = 6
বা, -14y = -14
বা, y = 1
y এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = 4-2 =2
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

a > 0, b > 0, x ≠ 0 শর্তে,
a^x = b^x হলে, a = b হবে।

প্রশ্ন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রী সংখ্যা কয়জন?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা ক

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রী সংখ্যা = (ক - ২) × ৬ জন

প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৬ = (ক - ২) × ৬
⇒ ৫ক + ৬ = ৬ক - ১২
⇒ ৬ক - ৫ক = ১২ + ৬
∴ ক = ১৮

অতএব, ছাত্রী সংখ্যা = (৫ × ১৮) + ৬
= ৯০ + ৬
= ৯৬ জন 

প্রশ্ন: x + y + 4 = x - y - 12 = 0 হয়, তবে 3x + y = কত?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
x + y + 4 = x - y - 12 = 0
​
​এখন,
x + y + 4 = 0 ........... (1)​​
​x - y - 12 = 0 ............ (2)
​
​(1) + (2) করে পাই,
​x + y + 4 + ​x - y - 12 = 0
​⇒ 2x = 8
⇒ ​x = 8/2 = 4
∴ ​x = 4
​x এর মান (1)​​ নং এ বসিয়ে পাই,
4 + y + 4 = 0
∴ ​​y = - 8
​
​প্রদত্ত রাশি,
​3x + y = 3(4) + (- 8)
​= 12 - 8
​= 4

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক 5। সংখ্যাটির দুই অঙ্কের যোগফল সংখ্যাটির 5 ভাগের 1 ভাগ। সংখ্যাটি কত

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক 5

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
∴ সংখ্যাটি = 10x + 5

প্রশ্নমতে,
x + 5 = (10x + 5)/5
⇒ 5(x + 5) = 10x + 5
⇒ 5x + 25 = 10x + 5
⇒ 10x - 5x = 25 - 5
⇒ 5x = 20
⇒ x = 20/5 
⇒ x = 4

∴ সংখ্যাটি = (10 × 4) + 5 = 45