সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

১ম সমীকরণটির উভয়পক্ষে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
4x + 2y = 24
২য় সমীকরণটি,
4x + 2y = 5
বিয়োগ করে পাই,
0 = 19, যা অসম্ভব।
কাজেই এরূপ সমীকরণ জোটের কোন সমাধান নেই।

ধরি, বইয়ের মূল্য x টাকা। তাহলে কলমের মূল্য x-17 টাকা।
প্রশ্নমতে,
x + x - 17 = 103
⇒ 2x = 120
∴ x = 60

প্রশ্ন: একজন শিক্ষক প্রতিদিন ক্লাস নিলে ৮০০ টাকা পান। যদি কোনো দিন অনুপস্থিত থাকেন তবে সেই দিনের জন্য ২০০ টাকা করে মোট বেতন থেকে কেটে নেওয়া হয়। ২০২৫ সালের আগস্ট মাসে তিনি মোট ২০,৮০০ টাকা বেতন পেলেন। তিনি কতদিন ক্লাস নিয়েছিলেন?

সমাধান:
মনে করি,
উপস্থিত ছিলেন = ক দিন
অনুপস্থিত ছিলেন = (৩১ - ক) দিন [আগস্ট মাস = ৩১ দিন]

প্রশ্নমতে,
৮০০ক - ২০০(৩১ - ক) = ২০৮০০
⇒ ৮০০ক - ৬২০০ + ২০০ক = ২০৮০০
⇒ ১০০০ক = ২০৮০০ + ৬২০০
⇒ ১০০০ক = ২৭০০০
⇒ ক = ২৭০০০/১০০০
⇒ ক = ২৭

অর্থাৎ তিনি ঐ মাসে ২৭ দিন উপস্থিত ছিলেন। 

14x + x² = 0
বা, x² = -14x
∴ x = -14

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর 36 হলে, সংখ্যাদ্বয় কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম জোড় সংখ্যা = x
∴ পরবর্তী জোড় সংখ্যা = x + 2

প্রশ্নমতে,
(x + 2)² − x² = 36
⇒ x² + 4x + 4 − x² = 36
⇒ 4x + 4 = 36
⇒ 4x = 32
⇒ x = 8

∴ সংখ্যাদ্বয় = 8 এবং 10

যেহেতু x²+7x+p যদি x-5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে x = 5 বসালে x²+7x+p = 0 হবে।
এখন,
5² + 7 X 5 + p = 0
⇒ 25 + 35 + p = 0
∴ p = -60

3x – 7y + 10 = 0 ………….. (1)
y – 2x – 3 = 0 …………….. (2)
(1) × 1 এবং (2) × 7 করে যোগ করে পাই,
অতএব, x = -1
এখন, x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 1
(x, y) = (-1, 1)

3x + 2y = 7
বা, 3x + 2.2x = 7
বা, 7x = 7
∴ x = 1
∴ y = 2x = 2.1
∴ y = 2

দেওয়া আছে, x + 5y = 16 এবং x = -3y হলে
বা, - 3y + 5y = 16
বা, 2y = 16
বা, y = 8

এখানে, x + y = 9……. (i)
এবং x/y = 2 বা, x = 2y..(ii) হলে x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 2y+y = 9
বা, 3y = 9
বা, y = 3
সুতরাং, x = 6

প্রশ্ন: যদি x² + px + 12 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p> 0 তবে p এর মান কত?

সমাধান:
x² + px + 12 = 0 প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক,
p²- 4 × 1 × 12
= p²- 48

যেহেতু সমীকরণের মূল দুটি সমান, তাই নিশ্চায়কের মান শূন্য
p²- 48 = ০
বা, p²= 48
বা, p = √48
∴ p = 4√3

x² + y + 3 = 0
বা, 1.x² + 1.y + 3 = 0
বা, 0 = x².1² + y.1 + 3 
এখানে, y = 0, a = x² , b = y, x = 1, ধরলে আমরা পরিবৃত্ত বা প্যারাবোলার সমীকরণ পাই,
y = ax² + bx + c 

উল্লেখ্য,
পরিবৃত্ত: তিনটি শীর্ষবিন্দু যোগ করে যেমন একটিমাত্র ত্রিভুজ হয় তেমনি তিনটি বিন্দুগামী (শীর্ষ) বৃত্তও একটিই, এর নাম পরিবৃত্ত।

x - y = 3
(x - y)² = 9
বা, x² + y² - 2xy = 9
বা, 17 - 2xy = 9
2xy = 17 - 9 = 8
∴ xy = 4 = 4.1
∴ x = 4, y = 1 হলে
x - y = 3

মনে করি,
প্রথম জন পাবে ক টাকা
দ্বিতীয় জন পাবে খ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক + খ = ৫০০০ টাকা --- (১)
ক = ৪খ --- (২)

সমাধান করলে, ক = ৪০০০ এবং খ = ১০০০

2x = 3y
∴ x = 3y/2
আবার,
3x - 2y = 5
বা, 3(3y/2) - 2y = 5
বা, 9y - 4y = 10
বা, 5y = 10
∴ y = 2
এবং x = 3

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2 হয়, তাহলে 2x - y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2।

প্রথমে, x-এর মান নির্ণয় করতে y-এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসাই,
4x(- 2) - 5x + 39 = 0
⇒ - 8x - 5x + 39 = 0
⇒ - 13x + 39 = 0
⇒ - 13x = - 39
⇒ x = 39/13
⇒ x = 3

এবার, x এবং y-এর মান ব্যবহার করে 2x - y এর মান নির্ণয় করি,
2x - y = 2(3) - (- 2)
= 6 + 2
= 8

সুতরাং, 2x - y এর মান হলো 8।

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 5/7 হয় এবং হর থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরা যাক, ভগ্নাংশের লব = x
এবং হর = y
∴ ভগ্নাংশ = x/y

১ম শর্তমতে,
(x + 2)/y = 5/7
⇒ 7(x + 2) = 5y
⇒ 7x + 14 = 5y
⇒ 7x - 5y = - 14 ............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 1) = 1/2
⇒ 2x = y - 1
⇒ y = 2x + 1 ............(2)

y এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
7x - 5(2x + 1) = - 14
⇒ 7x - 10x - 5 = - 14
⇒ - 3x = - 14 + 5
⇒ - 3x = - 9
⇒ x = 3

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 2(3) + 1
⇒ y = 6 + 1
⇒ y = 7

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = 3/7

দেওয়া আছে, xy = 2
∴ y = 2/x
এখন, x+2y = 4
⇒ x + 2.2/x = 4
⇒ x + 4/x = 4
⇒ x² + 4 = 4x
⇒ x² - 4x + 4 = 0
⇒ (x - 2)² = 0
∴ x = 2

এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ১ / ৫ = ১ / ৫
এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ৩/ ১৫ = ১ / ৫
ধ্রুবক পদ দ্বয়ের অনুপাত = ৭ / ৩৫ = ১ / ৫
অতএব সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। কাজেই এর অসংখ্য সমাধান আছে।

প্রশ্ন: ax² + bx + c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি মূলদ হবে যদি-

সমাধান: 
ax² + bx + c = 0 সমীকরণের b² – 4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে।
এটি দ্বারা সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করা হয়।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি:
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা হয় তাহলে,

• b² – 4ac ; পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• b² - 4ac > 0; কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• b² – 4ac = 0; হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
• b² – 4ac < 0; ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের বর্গের অন্তর 32। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি ভগ্নাংশটি হলো,
x/(x + 2) ; [কারণ হর লব অপেক্ষা 2 বেশি]

প্রশ্নমতে,
লব ও হরের বর্গের পার্থক্য = 32
⇒ (x + 2)² - x² = 32
⇒ x² + 4x + 4 - x² = 32 
⇒ 4x + 4 = 32
⇒ 4x = 32 - 4
⇒ 4x = 28
⇒ x = 28/4
∴ x = 7
∴ লব = 7
∴ হর = x + 2 = 7 + 2 = 9

∴ ভগ্নাংশটি = 7/9​

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীকক্ষে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসারে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে, আবার প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত জন?

সমাধান: 
মনে করি,
শ্রেণিটির ছাত্র সংখ্যা = ক জন 
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৪ জন করে বসালে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক/৪) + ৩ 

আবার,
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক - ৬)/৩ 
যেহেতু শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা একই থাকবে,
সুতরাং,
(ক/৪) + ৩ = (ক - ৬)/৩
⇒ (ক + ১২)/৪ = (ক - ৬)/৩
⇒ ৪ক - ২৪ = ৩ক + ৩৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৩৬ + ২৪
⇒ ক = ৬০

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।

ধরি,
b = 2 - a -- (১)
সুতরাং,
ab = 1
⇒ a (2 - a) = 1
⇒ 2a - a² = 1
⇒ 1 - 2a + a² = 0
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ a²- 2.a.1 + 1² = 0
⇒ (a-1)² = 0
⇒ (a-1) (a-1) = 0
⇒ a = 1
(১) নং থেকে,
b = 2 - 1
⇒ b = 1

সুতরাং, a=1, b=1.

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4 

শর্তমতে, 
x + x + 4 = 36
বা, 2x = 36 - 4
বা, 2x = 32
বা, x = 32/2
∴ x = 16 

∴ একটি সংখ্যা = 16 
এবং অপর সংখ্যা = x + 4 
= 16 + 4
= 20

∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20.

প্রশ্ন: x² - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

 সমাধান:
দেওয়া আছে, x² - 8x + 16 = 0
এখানে, a = 1, b = - 8 এবং c = 16

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 8)² - 4 × 1 × 16
= 64 - 64
= 0

যেহেতু, b² - 4ac = 0
সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
- যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
- যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

ধরি, প্রকৃত দূরত্ব = x কিমি
প্রশ্নমতে,
(x + 20)/14 = x/10
14x = 10x + 200
4x = 200
x = 50