সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: x² = √5x সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি? 
সমাধান: 
x² = √5x
বা, x² - √5x = 0
বা, x (x - √5) = 0

হয়, 
x = 0

অথবা, 
(x - √5) = 0
বা, x = √5

∴ সমাধান সেট: {0,√5}

x - y = 7
∴ y = x - 7......(1)

আবার, xy = 60
বা, x(x - 7) = 60 [y = x - 7 বসিয়ে]
বা, x² - 7x - 60 = 0
বা, x² - 12x + 5x - 60 = 0
বা, x(x - 12) + 5(x - 12) = 0
বা, (x - 12)(x + 5) = 0
∴ x = -5, 12

(4m + 2n)³ + 3(4m + 2n)² (m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)² + (m - 2n)³
= {(4m + 2n) + (m - 2n)}³
= (4m + 2n + m - 2n)³
= (5m)³
= 125m³

x/5 - 2/7 = 5x/7 - 4/5
বা, x/5 - 5x/7 = 2/7 - 4/5
বা, (7x - 25x)/35 = (10-28)/35
বা, -18x/35 = -18/35
∴ x = 1

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: px + qy = r এবং qx + py = s সহ-সমীকরণের সমাধানে x + y এর মান কত?
সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
px + qy = r .........(i) 
qx + py = s ......(ii) 

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
(px + qy) + (qx + py) = r + s
⇒ (px + py) + (qx + qy) = r + s
⇒ p(x + y) + q(x + y) = r + s
⇒ (p + q)(x + y) = r + s
∴ x + y = (r + s) / (p + q)

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণের চেয়ে ৪ বছর বেশি। ৪ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি  ১০০ বছর হলে, পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৩ক + ৪ বছর

৪ বছর পর,
পুত্রের বয়স = ক + ৪ বছর
পিতার বয়স = (৩ক + ৪) + ৪ = ৩ক + ৮ বছর

প্রশ্নমতে,
(ক + ৪) + (৩ক + ৮) = ১০০
⇒ ৪ক + ১২ = ১০০
⇒ ৪ক = ৮৮
⇒ ক = ২২

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ২২ বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৩ × ২২) + ৪ = ৭০ বছর

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 2log₂x - log₂(x - 4) = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2log₂x - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂x² - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂ [x²/(x - 4)] = 4
⇒ x²/(x - 4) = 2⁴ = 16
⇒ x² = 16(x - 4)
⇒ x² = 16x - 64
⇒ x² - 16x + 64 = ০
⇒ (x - 8)² = ০
⇒ x = 8

ধরি এককের অংক y এবং দশকের অংক x ; তাহলে সংখ্যাটি = 10x+y

প্রশ্নমতে, 10(x+3) + y - 2 = 3(10x+y)
⇒ 10x + 30 + y - 2 = 30x + 3y
⇒ 10x + y + 28 = 30x + 3y
⇒ 20x + 2y = 28
⇒ 2(10x + y) = 28
⇒ 10x + y = 14

সুতরাং, সংখ্যাটি 14

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৪) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৪) × ৪ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ১৬ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ৩ক = ২ + ১৬
⇒ ক = ১৮

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৮টি।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন
= (৩ × ১৮) + ২ জন
= ৫৪ + ২ জন
= ৫৬ জন

সুতরাং, ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা হলো ৫৬ জন।

ধরি,
লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x মিটার

x মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে x/১৫৪০ সেকেন্ড
x মিটার আসতে শব্দের সময় লাগে x/১১০০ সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,
(x/১৫৪০) + (x/১১০০) = ৩
বা, (৫x + ৭x)/৭৭০০ = ৩
বা ,১২x = ৩ × ৭৭০০
বা, ১২x  = ২৩১০০
বা, x = ২৩১০০/১২
বা, x = ১৯২৫

ধরি, সংখ্যা দুইটি ক ও খ।
প্রশ্নমতে, ক² + খ² = ৮০ এবং (ক-খ)² = ৩৬
ক² + খ² = (ক-খ)² + ২কখ
বা, ২কখ = ৮০-৩৬ = ৪৪
বা, কখ = ২২

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষে যদি প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তবে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার যদি প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তাহলে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীতে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন

১ম ক্ষেত্রে, 
4 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ x জন বসে x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি  

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ (x - 6) জন বসে (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

তাহলে,
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36 
বা, 4x - 3x = 36 + 24 
∴ x = 60 

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন

ধরি, সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ক এর ২০% + ২৪ = ক
২০ক/১০০ + ২৪ =ক
ক - ২০ক/১০০ = ২৪
(১০০ক - ২০ক)/১০০ = ২৪
৮০ক = ২৪ × ১০০ = ২৪০০
ক = ৩০
অর্থাৎ, উক্ত সংখ্যাটি ৩০

মনে করি, সমিতির সদস্য সংখ্যা x এবং জনপ্রতি প্রদেয় চাঁদার পরিমাণ q টাকা। তাহলে. মোট চাঁদা, A=qx টাকা
পাঁচজন চাঁদা দিতে অস্বীকৃতি জানানোয় প্রকৃত সদস্য সংখ্যা ছিল (x-5) জন এবং চাঁদা হলো (q+15) টাকা।
তাহলে, মোট চাঁদা হলো (x-5)(q+15)
প্রশ্নানুসারে, qx= (x-5)(q+15)……….(i)
এবং qx=45,000……….(ii)
সমীকরণ (i)থেকে পাই,
qx=(x-5)(q+15)
বা, qx=qx-5q+15x-75
বা, 5q=15x-75=5(3x-15)
∴ q=3x-15………..(iii)
সমীকরণ (ii)এ q এর মান বসিয়ে পাই,
(3x-15)Xx=45000
বা, 3x2-15x=45000
বা,x2-5x=15000 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]
বা,x2-5x-15000=0
বা, x2-125x+120x-15000=0
বা, x(x-125)+120(x-125)=0
বা, (x-125)(x+120)=0
সুতরাং, (x-125)=0 অথবা (x+120)=0
বা x=125 বা, x=-120
যেহেতু সদস্র সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x এর মান -120 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴x=125
সুতরাং, সমিতির সদস্য সংখ্যা ১২৫ জন।

x - {x - (x + 1)}
= x - {x - x - 1}
= x + 1

মনে করি, মূলদ্বয় α ও -α
আমরা জানি, মূলদ্বয় এর যোগফল = -b/a
⇒ α - α = -k/1
∴ k = 0

x - {a - (x - b)}
= x - {a -x + b}
= x - a +x - b
= 2x - a - b

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 12। সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি = 10x + y ; [যেখানে x = দশকের অংক, y = এককের অংক]

দেওয়া আছে, 
x + y = 12 ……(1)

আবার, 
আর সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। অর্থাৎ, 
⇒ (10x + y) - 18 = 10y + x
⇒ 10x + y - 18 = 10y + x
⇒ 10x - x + y - 10y = 18
⇒ 9x - 9y = 18
⇒ 9(x - y) = 18
∴ x - y = 2 ……(2)

এখন সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই, 
⇒ (x + y) + (x - y) = 12 + 2
⇒ 2x = 14
∴ x = 7
তাহলে (1) থেকে পাই,
⇒ 7 + y = 12
∴ y = 5

সুতরাং, সংখ্যাটি = 10x + y = 10 × 7 + 5 = 75

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 63 এবং বর্গের যোগফল 130। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = x ও y

দেওয়া আছে,
xy = 63
x² + y² = 130

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 130 + (2 × 63)
= 130 + 126
= 256
∴ x + y = √256 = 16

(x-4)² = 0
বা, x² -8x+16 = 0
x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 হওয়ায় সমীকরণের মূল দুইটি।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের সঙ্গে ১২ যোগ করলে সংখ্যাটির তৃতীয়াংশের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + ১২ = ক/৩
⇒ (ক + ৪৮)/৪ =  ক/৩
⇒ ৩(ক + ৪৮) = ৪ক
⇒ ৩ক + ১৪৪ = ৪ক
⇒ ক = ১৪৪

সংখ্যাটি হলো ১৪৪

2x/(x-4) + 3x/(x+2) = 5
বা, 2x/(x-4) - 2 = 3 - 3x/(x+2)
বা, (2x-2x+8) / (x-4) = (3x+6-3x) / (x+2)
বা, 8/(x-4) = 6/(x+2)
বা, 4/(x-4) = 3/(x+2)
বা, 4x + 8 = 3x - 12
∴ x = -20

x = 0 হলে,
বামপক্ষ = ডানপক্ষ = √2
∴ x = 0

2x + 3y = 36.......(1)
2x + y = 16.........(2)
(1) নং - (2) নং ⇒
2y = 20
∴ y = 10
(2) নং ⇒
2x + 10 = 16
বা, 2x = 6
∴ x = 3

প্রশ্ন: 3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(3 + x)/(5 + x) = 4/5 
বা, 15 + 5x = 20 + 4x 
বা, 5x − 4x = 20 − 15 
∴ x = 5 

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 5  ।

a > 0, a ≠ 1 শর্তে,
a^x = a^y হলে x = y হবে।