সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 113 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 56 হলে, সংখ্যাদ্বয় কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
 সংখ্যা দুটি = x  ও  y 

দেওয়া আছে, 
x² + y² = 113
xy = 56

আমরা জানি, 
(x + y)² = x² + y² + 2xy
বা, (x + y)² = 113 + 2 × 56
বা, (x + y)² = 113 + 112 
বা, (x + y)² = 225
বা, (x + y)² = (15)² 
∴ x + y = 15 .............. (1) 

আবার, 
(x − y)² = x² + y² − 2xy 
বা, (x − y)² = 113 − 2 × 56
বা, (x − y)² = 113 − 112 
বা, (x − y)² = 1 
∴ x − y = 1 ................ (2) 

(1) + (2) নং হতে পাই, 
x + y + x − y = 15 + 1
বা, 2x = 16
∴ x = 8

(1) সমীকরণে x -এর মান বসিয়ে পাই, 
x + y = 15
বা, 8 + y = 15
বা, y = 15 − 8
∴ y = 7

∴ সংখ্যা দুইটি (x, y) = (8, 7)।

দেওয়া আছে, y = mx
⇒ m = y/x
তাই m হবে প্রতি একক পণ্যের উৎপাদন ব্যয়।

7² + 4² = 65 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
9² + 6² = 117 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
10² + 7² = 149 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
11² + 8² = 185 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে]

প্রশ্ন: 5x - 3y = 9 এবং 3x + 3y = 15 হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
5x - 3y = 9 ......(1)
3x + 3y = 15 .......(2)

এখন সমীকরণ (1) এবং (1) যোগ করি,
(5x - 3y) + (3x + 3y) = 9 + 15
⇒ 5x - 3y + 3x + 3y = 24
⇒ 8x = 24
⇒ x = 24/8
∴ x = 3

এখন x = 3 কে (2) নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ 3(3) + 3y = 15
⇒ 9 + 3y = 15
⇒ 3y = 15 - 9
⇒ 3y = 6
⇒ y = 6/3
∴ y = 2

সুতরাং, (x, y) = (3, 2) 

প্রশ্ন: x² + 2x + 5 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

সমাধান:
সমীকরণের নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (2)² - 4 × 1 × 5
= 4 - 20
= -16

যেহেতু D < 0, সুতরাং সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি:
• যদি b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• যদি b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• যদি b² - 4ac = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
• যদি b² - 4ac < 0 হয়, তবে সমীকরণের বাস্তব মূল থাকবে না।

প্রশ্ন: যদি 3x² - px + 27 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং p < 0 হয় তাহলে p এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো, 3x² - px + 27 = 0
এই সমীকরণকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে আমরা পাই,
a = 3, b = - p, এবং c = 27

আমরা জানি যে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত হলো এর নিশ্চায়ক (discriminant) শূন্য হবে।

অর্থাৎ,b² - 4ac = 0
⇒ (- p)² - 4×3×27 = 0
⇒ p² - 324 = 0
⇒ p² = 324
⇒ p = ±√324
⇒ p = ±18

প্রশ্নে দেওয়া শর্ত অনুযায়ী, p < 0 হতে হবে।
সুতরাং, p-এর ঋণাত্মক মানটি গ্রহণ করতে হবে।
∴ p = - 18

মনেকরি, ভগ্নাংশটির লব = x
ভগ্নাংশটির হর = x + 2
ভগ্নাংশটি = x/(x+2)
শর্তমতে,
(x-2) / (x + 2 + 2) = 1/3
সমাধান করে পাই x = 5
নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = x / (x+2) = 5/(5+2) = 5/7

x/3 - 2/y = 1 ............... (1)
x/4 + 3/y = 3 ............... (2)

(1) নং কে 3 এবং (2) নং 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
x - 6/y = 3
x/2 + 6/y = 6
------------------
x + x/2 = 9
বা, (2x + x)/2 = 9
বা, 3x = 18
∴ x = 6
(1) নং থেকে পাই,
6/3 - 2/y = 1
বা, 2 - 2/y = 1
বা, (2y - 2)/y = 1
বা, 2y - 2 = y
∴ y = 2
∴ (x, y) = (6, 2)

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা ৭০ জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৫৫০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
তাহলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৭০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = ২৫ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ২৫ × ৩ = ৭৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৭০ - ক) = ২৫৫০
⇒ ২৫ক + ৫২৫০ - ৭৫ক = ২৫৫০
⇒ - ৫০ক = ২৫৫০ − ৫২৫০
⇒ - ৫০ক = - ২৭০০
∴ ক = ৫৪

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৫৪ জন

প্রথম পদ্ধতিঃ
উক্ত অপশন গুলোর মধ্য একমাত্র 'ঘ' অপশনটি সমীকরন দুইটিকে সিদ্ধ করে তাই a এবং b এর মান হবে যথাক্রমে 1, 1।

দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ
a + b = 2 ......(1)
ab = 1 ......(2)
আমরা জানি,
(a - b)2 = (a+b)2 - 4ab
= 22 -4 = 0
∴ a - b = 0 .....(3)
(1) + (3) হতে পাই,
a = 1 
a এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
b = 1
∴ a, b = 1, 1

প্রশ্ন: 2x² + 350 = 12x + 340 হলে, x মান কত?

সমাধান: 
2x² + 350 = 12x + 340 
⇒ 2x² - 12x + 350 - 340 = 0
⇒ 2x² - 12x + 10 =0 
⇒ 2(x² - 6x + 5) = 0
⇒ x² - 6x + 5 = 0
⇒ x² - 5x - x + 5 = 0
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
∴ (x - 5)(x - 1) = 0
হয়,
x - 5 = 0
∴ x = 5
অথবা, 
x - 1 = 0
∴ x = 1
সুতরাং, x = 1, 5

এ ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে অপশন দেখে সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ হয়
78  বা  87 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে  7 + 8 = 15 এবং  7 × 8 = 56 
89 বা 98 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে  8 + 9 = 17 এবং 8 × 9 = 72
59 বা 95 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে  5 + 9 = 14 এবং 5 × 9 = 45
25 বা 52 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে  2 + 5 = 7 এবং 2 × 5 = 10
∴ সংখ্যাটি হবে 78 বা 87 

প্রশ্ন: (3a - b, 3) = (7, 2a + b) হলে (a + b) এর মান কত?

সমাধান:
3a - b = 7 ..........(1)
2a + b = 3 ..........(2)

(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
3a - b + 2a + b = 7 + 3
⇒ 5a = 10
∴ a = 2

(2) নং সমীকরণে এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 2 + b = 3
⇒ 4 + b = 3
∴ b = - 1

অতএব, a + b = 2 + (- 1)
= 1

প্রশ্ন: 3(3x - 4) = 2(4x - 3) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3(3x - 4) = 2(4x - 3)
⇒ 9x - 12 = 8x - 6
⇒ 9x - 8x = - 6 + 12
⇒ x = 6

মনে করি, সংখ্যাটি 'ক'
শর্তমতে, 2ক/3 = ক - 50
বা, ক - 2ক/3 = 50
বা, (3ক - 2ক)/3 = 50
∴ ক = 150

একটি সংখ্যাকে a × 10ⁿ আকারে লেখার জন্য শর্ত হলো 1 ≤ a < 10।

প্রশ্ন: (x + 5)² = x² + bx + c  সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে? 

সমাধান:
(x + 5)² = x² + bx + c
x² + 2.x.5 + 5² = x² + bx + c
x² + 10x + 25 = x² + bx + c 

x ও ধ্রবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই 
b = 10
c = 25

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 27 বেশি। সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 9 - a
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - a) + a = 90 - 9a
∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10a + (9 - a) = 9a + 9

প্রশ্নমতে,
9a + 9 - 27 = 90 - 9a
⇒ 9a + 9a = 90 - 9 + 27
⇒ 18a = 108
∴ a = 6
∴ সংখ্যাটি = 90 - (9 × 6) = 36
অতএব, সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান = 36/4 = 9

মনে করি, সংখ্যাটি 'ক'
শর্তমতে, ২ক/৩ = ক - ৩০
বা, ক - ২ক/৩ = ৩০
বা, (৩ক-২ক)/৩ = ৩০
বা, ক = ৯০

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 3 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্কটি x
এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি = x + 3
∴ সংখ্যাটি = 10x + (x + 3) = 11x + 3

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে পরিবর্তিত সংখ্যাটি = 10(x + 3) + x = 11x + 30 

প্রশ্নমতে,
11x + 30 = 2(11x + 3) - 9
⇒ 11x + 30 = 22x + 6 - 9
⇒ 11x + 30 = 22x - 3
⇒ 22x - 11x = 30 + 3
⇒ 11x = 33
⇒ x = 3

∴ সংখ্যাটি = 11x + 3 = 11(3) + 3
= 33 + 3 = 36

প্রশ্ন: যদি p = 3/5, q = 1/4 এবং r = 2/15 হয় তাহলে 10p + 3q - 15r এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 3/5
q = 1/4
r = 2/15

এখন,
10p + 3q - 15r
= 10 × (3/5) + 3 × (1/4) - 15 × (2/15)
= 30/5 + 3/4 - 30/15
= 6 + 3/4 - 2
= (6 - 2) + 3/4
= 4 + 3/4
= 19/4

মনে করি, সংখ্যা ছয়টি যথাক্রমে ক, ক+১, ক+২, ক+৩, ক+৪, ক+৫।
সুতরাং শর্তমতে, ক + (ক+১) + (ক+২) = ২৭
বা, ৩ক + ৩ = ২৭
বা, ৩ক = ২৭ - ৩
বা, ক = ২৪/৩
বা, ক = ৮
সুতরাং শেষ তিনটি সংখ্যার যোগফল = (ক+৩) + (ক+৪) + (ক+৫)
= ৩ক + ১২
= ৩ × ৮ + ১২
= ২৪ + ১২
= ৩৬

2x-y = 8 …………… (i)
x-2y = 4 …………… (ii)
(i)-(ii) × 2 হতে পাই,
3y = 0
সুতরাং, y = 0
(i) নং হতে পাই, 2x-0 = 8
বা, x = 8/2 = 4
সুতরাং, x+y = 4+0 = 4

প্রশ্ন: 2x + 5y = 13 এবং 3x - 2y = 10 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2x + 5y = 13 ......... (1)
3x - 2y = 10 ........ (2)

এখন, (1) নং সমীকরণকে 2 দিয়ে এবং (2) নং সমীকরণকে 5 দিয়ে গুণ করে যোগ করি,
2(2x + 5y) + 5(3x - 2y) = 2 × 13 + 5 × 10
⇒ 4x + 10y + 15x - 10y = 26 + 50
⇒ (4x + 15x) + (10y - 10y) = 76
⇒ 19x = 76
⇒ x = 76/19
∴ x = 4 

a - [a - a + (a - 1)]
= a - [a - a + a - 1]
= a - [a - 1]
= a - a + 1
= 1

মনে করি, ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার
প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x -27x - 810 = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0
∴ x = 27 or x = -30[ গ্রহণ যোগ্য নয়]
∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার

প্রশ্ন: x² + 5x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো x² + 5x + 2 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = 5
c = 2
এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
 নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (5)² - 4 × 1 × 2
= 25 - 8
= 17 > 0
যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান ধনাত্মক (D > 0), তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও অসমান।

মনে করি, সংখ্যাটি =x
প্রশ্নমতে, x এর 60/100 = 39
⇒ x =(39 × 100)/60 = 65
∴ সংখ্যাটি = 65

প্রশ্ন: 2x² + 3x + 1 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x² + 3x + 1 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:
a = 2, b = 3, c = 1

নিশ্চায়ক (Discriminant) নির্ণয়:
D = b² - 4ac
= 3² - (4 × 2 × 1)
= 9 - 8
= 1

যেহেতু D = 1 ধনাত্মক (D > 0), তাই মূল দুইটি বাস্তব এবং অসমান হবে।
আবার, 1 পূর্ণবর্গ সংখ্যা, তাই মূলদ্বয় মূলদ।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৬ গুণের সাথে ১৫ যোগ করা হলে যোগফল সংখ্যাটির ৮ গুণ অপেক্ষা ৫ কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
⇒ 6x + 15 = 8x - 5
⇒ 15 + 5 = 8x - 6x
⇒ 20 = 2x
⇒ x = 20/2
⇒ x = 10

∴ সংখ্যাটি হলো 10।

দেয়া আছে, a + b = 7 ......(i) এবং ab = 10
আমরা জানি, (a – b)² = (a + b)² – 4ab
= (7)² – 4 × 10
= 49 - 40 = 9
∴ a - b = 3 .....(ii)

(i) + (ii) 
⇒ 2a = 10
∴ a = 5
এবং b = 2