সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই (x,y) = (2,3)
সুতরাং রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু = (2,3)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
3x + 2x = 90
বা, 5x = 90
বা, x = 90/5
∴ x = 18

∴ সংখ্যাটি = 18  । 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432। তবে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দু’টি x ও y
১ম শর্তমতে, x + y = 48
২য় শর্তমতে, xy = 432

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)²- 4xy
⇒ (x - y)² = (48)²- 4 × 432
⇒ (x - y)² = 2304 - 1728
⇒ (x - y)²= 576
∴ x - y = 24

এখন,
(x + y) + (x - y) = 48 + 24
⇒ 2x = 72
∴ x = 36

আবার,
x - y = 24
⇒ 36 - y = 24
∴ y = 12

অর্থাৎ, বড় সংখ্যাটি 36

বিকল্প 
x + y=48
36 + 12=48

xy = 432
36 × 12 = 432
বড় সংখ্যাটি = 36

x + y - 4 = 0...........(1)
2x - 3y - 12 = 0.......(2)

1 ও 2 নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
3x - 2y - 16 = 0
∴ 3x - 2y = 16

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
3x + 2x = 90
বা, 5x = 90
বা, x = 90/5
∴ x = 18

∴ সংখ্যাটি = 18  । 

প্রশ্ন: আকাশ 600 টাকায় কিছু খাতা ক্রয় করে। যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম 10 টাকা কম হতো। আকাশ কতগুলো খাতা ক্রয় করেছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
খাতার সংখ্যা = X
প্রতি খাতার দাম = 600/X টাকা
যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম = 600/(X + 5) টাকা

প্রশ্নমতে,
(600/X) - {600/(X + 5)} = 10
বা, [{600(X + 5)} - 600X]/{X(X + 5)} = 10
বা, 3000 = 10X(X + 5)
বা, X² + 5X - 300 = 0
বা, X² + 20X - 15X - 300 = 0
বা, X(X + 20) - 15(X + 20) = 0
বা, (X + 20) (X - 15) = 0
X = - 20 (গ্রহণযোগ্য নয়), X = 15

∴ আকাশ 15 টি খাতা ক্রয় করেছিলো।

যুক্তিঃ
x + y - 1 = 0 ............. (i)
x - y + 1 = 0 ............ (ii)
(i) নং এবং (ii) নং যোগ করে পাই,
2x = 0
∴ x = 0
আবার, (i) নং এবং (ii) নং বিয়োগ করে পাই,
2y = 2
∴ y = 1
উত্তরঃ (0, 1)

প্রশ্ন: ‍(a/2) - 6 = (a/3) + 8 হলে a এর মান কত? 

সমাধান:
(a/2) - 6 = (a/3) + 8
বা, (a/2) - (a/3) = 8 + 6
বা, (3a - 2a)/6 = 14
বা, a/6 = 14
বা, a = (14 × 6)
∴ a = 84

ধরি, দশক স্থানের অঙ্কে = ২x
তাহলে, একক স্থানের অঙ্ক = ২x এর ১/২ = x
সংখ্যাটি = ১০(২x) + x = ২১x
প্রশ্নমতে,
২১x/(২x²) = ৭/২
x = ৩
সংখ্যাটি = ২১ x ৩ = ৬৩

প্রশ্ন: একজন লোকের কাছে ১ টাকা, ৫ টাকা ও ১০ টাকার নোট মিলে মোট ৪৮০ টাকা আছে। প্রত্যেক মূল্যের নোটের সংখ্যা সমান। মোট কতগুলি নোট আছে?

সমাধান:
ধরি,
১ টাকার নোট = ক টি
৫ টাকার নোট = ক টি
১০ টাকার নোট = ক টি
(কারণ প্রত্যেক মূল্যের নোটের সংখ্যা সমান)

∴ মোট টাকা = (১ × ক) + (৫ × ক) + (১০ × ক) = ১৬ক টাকা

প্রশ্নমতে,
১৬ক = ৪৮০
⇒ ক = ৪৮০/১৬
∴ ক = ৩০

∴ প্রত্যেক মূল্যের নোট = ৩০টি করে
∴ মোট নোট = ৩০ + ৩০ + ৩০ = ৯০ টি

যাচাই
১ × ৩০ + ৫ × ৩০ + ১০ × ৩০
= ৩০ + ১৫০ + ৩০০
= ৪৮০ টাকা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে a(x + a) = b(x + b) হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a(x + a) = b(x + b)
⇒ ax + a² = bx + b²
⇒ ax - bx = b² - a²
⇒ x(a - b) = - (a² - b²)
⇒ x(a - b) = - {(a + b)(a - b)}
⇒ x = - {(a + b)(a - b)}/(a - b)
∴ x = - (a + b)

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার সমষ্টি ৭০ এবং অন্তরফল ১০ হলে বড় সংখ্যাটি কত

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি x
এবং ছোট সংখ্যাটি y

১ম শর্তমতে,
x + y = ৭০ ......... (1)

২য় শর্তমতে,
x - y = ১০ .........(2)

(1)+(2) করে পাই,
x + y + x - y = ৭০ + ১০
⇒ ২০ = ৮০
∴ x = ৪০

সুতরাং বড় সংখ্যাটি = ৪০

প্রশ্ন: a ≤ b এবং b ≤ a হলে নিচের কোনটি সত্য? 

 সমাধান:
a ≤ b
⇒ a < b অথবা, a = b

আবার, b ≤ a
⇒ b < a অথবা, b = a,

যেহেতু a < b হলে, b < a হতে পারে না (একই সাথে একটা সংখ্যা অন্য সংখ্যার বড় এবং ছোট হতে পারে না)
∴ a = b

দেওয়া আছে,
(x + y, 3) = (7, x - y)
ক্রমজোড়ের শর্তমতে, x + y = 7 ------- (1)
এবং x - y = 3 ------- (2)
সমীকরণ (1)+(2) করে পাই,
x = 5
এখন x এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই,
5 - y = 3,
or, y = 5-3 = 2.
সুতরাং নির্ণেয় মান (x,y) = (5, 2)।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 5 গুণের সাথে 3 যোগ করা হলে উত্তর হয় সংখ্যাটির 2 গুণ থেকে 9 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
5x + 3 = 2x + 9
⇒ 5x - 2x = 9 - 3
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2

∴ সংখ্যাটি = 2

3x – 2y = 2 ………… (1)
অতএব, x = (2 + 2y)/3 ………….. (3)
5x – 3y = 5 …………… (2)
or, {5 (2 + 2y)}/3 - 3y = 5 [(3) এর x মান বসিয়ে]
or, (10 + 10y)/3 - 3y = 5
or, 10 + 10y - 9y = 15
or, y = 5
এখন y এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই,
x = ( 2 + 10)/3
= 12/3 = 4
অতএব, x,y = (4,5)

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
∴,সংখ্যাটি = 10x + 3 
প্রশ্নমতে,
10x + 3 = 7(x + 3)
বা,10x + 3 = 7x + 21
বা,10x - 7x = 21 - 3
বা,3x = 18
∴, x = 6

সংখ্যাটি = 10 × 6 + 3 
= 63

S_n = S_p + n² = 45 + 3² = 54

সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (-1)² - 4.1.(-6)
= 1 + 24
= 25 > 0
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b2 - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b2 - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় একজন ছাত্র n সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ৩০টি প্রশ্নের মধ্যে ২৪টি শুদ্ধ উত্তর দেয় এবং বাকি প্রশ্নগুলোর এক পঞ্চমাংশ এর শুদ্ধ উত্তর দেয়। যদি সে মোট ৪০% প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দেয়, তবে ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
২৪ + (n - ৩০)/৫ = n এর ৪০%
⇒ (১২০ + n - ৩০)/৫ =  n এর ৪০/১০০
⇒  (n + ৯০)/৫ = ২n/৫ 
⇒ ২n = n + ৯০
⇒ ২n - n = ৯০ 
∴  n = ৯০  

সুতরাং, ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা ছিল ৯০ টি। 

ধরি, রফিকের ওজন = x
তাহলে আরিফের ওজন = 140 - x
প্রশ্নমতে,
x - 17 = (140 - x)/2
বা, 2x - 34 = 140 - x
বা, 2x + x = 140 + 34
বা, 3x = 174
বা, x = 58

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় 3 এবং - 4 হলে সমীকরণটি হবে-

সমাধান:
যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β হয়, তবে সমীকরণটি হবে,
(x - α)(x - β) = 0 
⇒ (x - 3){x - (- 4)} = 0 ; [প্রদত্ত মূল: 3 এবং - 4] 
⇒ (x - 3)(x + 4) = 0
⇒ x² + 4x - 3x - 12 = 0
∴ x² + x - 12 = 0 

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরা যাক,
ভগ্নাংশের লব = x
এবং হর = y
∴ ভগ্নাংশ = x/y

১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
⇒ x - 2y = - 7 ..........(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 2) = 1
⇒ x = y - 2
⇒ x - y = - 2 ..........(2)

(1) - (2) ⇒
x - 2y - x + y = - 7 + 2
⇒ - y = - 7 + 2
⇒ - y = -5
∴ y = 5

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ x - 5 = - 2
∴ x = - 2 + 5 = 3

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = 3/5

প্রশ্ন: 120 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 180 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
এক টাকার মুদ্রা = x টি
দুই টাকার মুদ্রা = y টি

শর্তমতে,
x + y = 120
x = 120 - y ……(1)

এবং 
1 × x + 2 × y = 180
⇒ x + 2y = 180
⇒ (120 - y) + 2y = 180
⇒ 120 - y + 2y = 180
⇒ 120 + y = 180
⇒ y = 180 - 120
∴ y = 60

তাহলে (1) নং হতে পাই,
⇒ x = 120 - 60
∴ x = 60

সুতরাং, এক টাকার মুদ্রা = 60 টি এবং দুই টাকার মুদ্রা = 60 টি

প্রশ্ন: x - 2y = 8, 3x - 2y = 4 সমীকরণ জোটের x এর মান কত?

সমাধান:
x - 2y = 8.............(1)
3x - 2y = 4.............(2)

(2) - (1)⇒
3x - 2y - (x - 2y) = 4 - 8
⇒ 3x - 2y - x + 2y = - 4
⇒ 2x = - 4
⇒ x = - 2

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y এর মান কত? 

সমাধান: 
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0   [y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4 

∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ছাত্রদের বাংলায় প্রাপ্ত মোট নম্বর থেকে 100 বাদ দেয়ার পর ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 70 থেকে 65 এ নেমে আসলে ঐ ক্লাসের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট প্রাপ্ত নম্বর = a
মোট ছাত্র সংখ্যা = b

শর্তমতে,
a/b = 70 ………(i)

আবার,
(a - 100)/b = 65
বা, (a/b) - (100/b) = 65
বা, 70 - (100/b) = 65 [(i) নং হতে (a/b) এর মান বসিয়ে]
বা, (70b - 100)/b = 65
বা, 70b - 100 = 65b
বা, 70b - 65b = 100
বা, 5b = 100
বা, b = 100/5
∴ b = 20

∴ ঐ ক্লাসের মোট ছাত্র সংখ্যা 20 জন।

প্রশ্ন: আরমান 2 টাকা ও 3 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 100 টাকা হয় তাহলে আরমান মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

সমাধান: 
মনে করি, 
স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি 

প্রশ্নমতে, 
2x + 3x = 100 
বা, 5x = 100 
বা, x =100/5 
∴ x = 20 

∴ আরমান মোট স্ট্যাম্প কিনেছিল = (20 + 20) টি 
= 40 টি। 

প্রশ্ন: (4x - 4y, 8) = (0, 5x + 3y) হলে, (x, y) = কত? 
 
সমাধান: 
4x - 4y = 0
⇒ x - y = 0
∴ x = y ............(১) 

আবার,
5x + 3y = 8 
⇒ 5x + 3x = 8 [x = y]
⇒ 8x = 8
∴ x = 1 

(১) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই 
∴ y = 1

∴ (x, y) = (1, 1)  ।