সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি। ৫ বছর পর পিতা এবং পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০২ বছর হলে পিতার বর্তমান বয়স কত বছর?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ২ক + ২ বছর

৫ বছর পর পুত্রের বয়স = ক + ৫ বছর
৫ বছর পর পিতার বয়স = (২ক + ২) + ৫ = ২ক + ৭ বছর

প্রশ্নমতে,
ক + ৫ + ২ক + ৭ = ১০২
⇒ ৩ক = ১০২ - ১২
⇒ ৩ক = ৯০
∴ ক = ৩০

পুত্রের বর্তমান বয়স = ৩০ বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ২ক + ২ বছর
= ২ × ৩০ + ২
= ৬২ বছর

মনে করি,
সংখ্যাটি 'ক'
শর্তমতে,
2ক/3 = ক - 80
বা, ক - 2ক/3 = 80
বা, (3ক-2ক)/3 = 80
বা, ক = 240

6x² - 5x + 12 = 0
সমীকরণের a = 6,
b = -5,
c = 12
∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = c/a
= 12/6
= 2

ধরি
স্ট্যাম্প আউট হয় x জন 
কট আউট হয় 3x/2 জন

মোট উইকেট 10টির অর্ধেক বোল্ড আউট হয়

শর্তমতে,
x + (3x/2) + 5 =10
বা, (2x + 3x)/2 = 10 - 5
বা, 5x/2 = 5
∴ x = 2 জন

∴ কট আউট হয় = (3×2)/2
                          = 3 জন

দেওয়া আছে,
5x/6 + 3 = x/3 + 3
or, 5x/6 – x/3 = 3 – 3
or, 3x/6 = 0
or, 3x = 0
or, x = 0

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে, √x + ৯ = ৪^২
√x = ১৬ - ৯ = ৭ 
(√x)^২ = ৭^২ = ৪৯

দেয়া আছে, ২/x = ৪
⇒ ৪x = ২
⇒ x = ২/৪
⇒ x = ১/২
এবং, ২/y = ৮
⇒ ৮y = ২
⇒ y = ২/৮
⇒ y = ১/৪
∴ x - y = ১/২ - ১/৪
= (২ - ১) / ৪
= ১/৪

মনে করি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে, ক × ৪ + ১ = ক × ৩ + ৫
বা, ৪ক + ১ = ৩ক + ৫
বা, ৪ক - ৩ক = ৫ - ১
বা, ক = ৪
∴ সংখ্যাটি = ৪

প্রশ্ন: (√3 + 1)x + 2 = 2√3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: (3x + 2, 8) = (14, 4y - 4) হলে, (x, y) এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 (3x + 2, 8) = (14, 4y - 4)

ক্রমজোড়ের শর্তানুসারে, ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান দুটি এবং দ্বিতীয় উপাদান দুটি পরস্পর সমান।

সুতরাং, 3x + 2 = 14
বা, 3x = 14 - 2
বা, 3x = 12
বা, x = 12/3
∴ x = 4

আবার,
4y - 4 = 8
বা, 4y = 8 + 4
বা, 4y = 12
বা, y = 12/4
∴ y = 3

অতএব, নির্ণেয় মান, (x, y)=(4, 3)

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 45 হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যাটি = a
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = a + 1
তৃতীয় সংখ্যাটি = a + 1 + 1
= a + 2

প্রশ্নমতে,
a + a + 1 + a + 2 = 45
⇒ 3a + 3 = 45
⇒ 3a = 45 - 3
⇒ 3a = 42
∴ a = 14
অতএব, প্রথম সংখ্যাটি = 14
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = a + 1 = 14 + 1 = 15
তৃতীয় সংখ্যাটি = a + 2 = 14 + 2 = 16

প্রশ্ন:

সমাধান:
√(x + 3) = √x + √3
বা, {√(x + 3)}² = (√x + √3)²
বা, x + 3 = (√x)² + (√3)² + (√3)² + 2√x√3
বা,  x + 3 = x + 3 + 2√x√3
বা, 2√x√3 = x + 3 - x - 3
বা, √x√3 = = 0
বা, √x = 0/√3
বা, √x = 0
∴ x = 0

 

মনে করি, সংখ্যা দুটি x ও y
x + y = 60 ......(1)
x - y = 20 .......(2)
(1) + (2) করে পাই,
2x = 80
x = 40
x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 20
∴ নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি 40 ও 20

ধরি সংখ্যাটি = x
∴ 4x + 10 = 5x - 5
⇒ x = 15

০.১ + (০.১)^২ + (০.১)^৩
= ০.১ + ০.০১ + ০.০০১
= ০.১১১

প্রশ্ন: যদি x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হয় তাহলে, x এবং y এর মান বের করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 2y = 4 ............ (1)
x/y = 2
x = 2y ...............(2)

এখন, সমীকরণ (1) থেকে পাই,
2y + 2y = 4
4y = 4
y = 1

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই, 
x = 2 × 1 = 2

∴ x এবং y এর মান = 2 এবং 1

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের অর্ধেক। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে x এবং y, যেখানে x > y

শর্তমতে, 
x - y = (x + y)/2 
বা, 2x - 2y = x + y 
বা, 2x - x = y + 2y 
বা, x = 3y
বা, x/y = 3/1
∴ x : y = 3 : 1 

x/3 - x/5 = 1/3
⇒ 5x - 3x = 5 [Both side multiplied by 15]
⇒ 2x = 5
∴ x = 2.5

প্রশ্ন: (x/3) - (2/y) = 1 এবং (x/4) + (3/y) = 3 হলে (x, y) = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x/3 - 2/y = 1 ........ (1)
x/4 + 3/y = 3 ........ (2)

(1) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করি:
(1) × 3 ⇒ x - 6/y = 3 ........ (3)
(2) × 2 ⇒ x/2 + 6/y = 6 ........ (4)

এখন (3) ও (4) নং সমীকরণ যোগ করি:
(x + x/2) = 3 + 6
⇒ 3x/2 = 9
⇒ 3x = 18
∴ x = 6

এখন x-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
6/3 - 2/y = 1
⇒ 2 - 2/y = 1
⇒ 2 - 1 = 2/y
⇒ 1 = 2/y
∴ y = 2

∴ (x, y) = (6, 2)

(x/3)+{4/(x+1)} = 2
⇒ (x²+x+12)/3(x+1) = 2
⇒x²+x+12=6x+6
⇒x²+x+12-6x-6=0
⇒x²-5x+6=0
⇒x²-3x-2x+6=0
⇒x(x-3)-2(x-3)=0
⇒(x-3)(x-2)=0
∴x = 2, 3

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি অমূলদ মূল 3 + √2 হলে, সেই সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
 একটি অমূলদ মূল 3 + √2
∴ অন্য মূল 3 - √2

মূলদ্বয়ের যোগফল = 3 + √2 + 3 - √2 = 6
মূলদ্বয়ের গুণফল = (3 + √2)(3 - √2) = (3)²- (√2)²
= 9 - 2 = 7

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো  x² - 6x + 7 = 0

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে, kx² + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান:
পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত:
একটি দ্বিঘাত রাশি ax² + bx + c পূর্ণবর্গ হবে যদি এর নিশ্চায়ক শূন্য হয়।
অর্থাৎ b² - 4ac = 0
kx² + 3x + 4 এর সাথে ax² + bx + c তুলনা করে পাই,
a = k, b = 3, এবং c = 4.  

∴ 3² - 4 × k × 4 = 0
⇒ 9 - 16k = 0
⇒ 16k = 9
∴ k = 9/16.

xy = 1
∴ y = 1/x.......(1)
আবার, x + y = 2
বা, x + 1/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1
(1) নং ⇒ y = 1/x = 1/1 = 1

x + 3y = 16
বা, 5y + 3y = 16
বা, 8y = 16
∴ y = 2
∴ x = 5y = 5.2 = 10

প্রশ্ন: করিম 2 টাকা ও 3 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 100 টাকা হয় তাহলে করিম মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

সমাধান: 
মনে করি,
স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি

প্রশ্নমতে,
2x + 3x = 100
বা, 5x = 100
বা, x =100/5
∴ x = 20

∴ করিম মোট স্ট্যাম্প কিনেছিল = (20 + 20) টি
= 40 টি।

y = 1/x সমীকরণটি x, y এর এক ঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ নয়।
সুতরাং এটি সরলরেখার সমীকরণ নয়।
অপশনের বাকি সবগুলো সরলরেখার সমীকরণ।

3x – 7y + 10 = 0 ………….. (1)
y – 2x – 3 = 0 …………….. (2)
(1) × 1 এবং (2) × 7 করে যোগ করে পাই,
অতএব, x = -1
এখন, x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 1
(x, y) = (-1, 1)

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x² + 5x + 4 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 5, এবং c = 4

∴ সমীকরণের নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac
⇒ D = (5)² - 4 × 2 × 4
⇒ D = 25 - 32
⇒ D = - 7

যেহেতু, (D < 0), তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে। 

4x + y = 9......(1)
2x + y = -1.....(2)
(1) নং  থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
2x = 10
∴ x = 5

(2) নং থেকে
10 + y = -1
∴ y = -11

মনে করি,
অপর সংখ্যা ক
অতএব, একটি সংখ্যা = ক এর ২/৫ অংশ = ২ক/৫

প্রশ্নানুসারে,
ক + ২ক/৫ = ৯৮
⇒ ৭ক/৫ = ৯৮
⇒ ক = ৯৮ × ৫/৭
⇒ ক = ৭০
একটি সংখ্যা = ২ ×  ৭০/৫
                     = ২৮
এবং অপর সংখ্যা ৭০