পরিমিতি

ABC সমকোণী ত্রিভুজ
∴কর্ণ AC =√(a² + a²) = a√2

প্রশ্ন: কোন কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 9 সে.মি হলে কোণকটির তির্যক উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে.মি
এবং
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 9 সে.মি 

আমরা জানি, 
কোণকের তির্যক উচ্চতা, l = √(h² + r²) একক
= √(12² + 9²) সে.মি
= √(144 + 81) সে.মি
= √(225) সে.মি
= 15 সে.মি

∴ কোণকের তির্যক উচ্চতা = 15 সে.মি।

প্রশ্ন: ১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের কত অংশ?

সমাধান:
১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের কত অংশ?

১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার = (১০০০ ✕ ১০০০) মিলিমিটার 
= ১০০০০০০ মিলিমিটার

∴ ১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের ১/১০০০০০০ অংশ

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার, উচ্চতা ৮ মিটার এবং পুরুত্ব ৪০ সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি., প্রস্থ ১০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা কত?

সমাধান:
 দেয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ২৪ × ১০০ = ২৪০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৮ × ১০০ = ৮০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ৪০ সে.মি.

∴ দেওয়ালের আয়তন = ২৪০০ × ৮০০ × ৪০ ঘন সে.মি.
= ৭৬৮০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার,
একটি ইটের আয়তন = ২০ × ১০ × ৫ ঘন সে.মি.
= ১০০০ ঘন সে.মি.

অর্থাৎ,দেওয়ালটিতে মোট ইট লাগবে = ৭৬৮০০০০০/১০০০
= ৭৬৮০০ টি

১রেডিয়ান = ১৮০/π ডিগ্রী = ২/π সমকোণ
১ ডিগ্রী = π/১৮০ রেডিয়ান

sinθ ও cosθ এর অনুপাত = sinθ/cosθ = tanθ = লম্ব/ভূমি = 5/12

ধরি,
ভূমির ব্যাসার্ধ = r এবং
উচ্চতা h = 10 cm
∴ আয়তন = πr²h = 160π
বা, r² × 10 = 160
বা, r² = 16
∴ r = 4
∴ ব্যাস = 2r
= 8 cm

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ । যদি মেঝেটি পাকা করতে প্রতি বর্গমিটার ২ টাকা হিসাবে ১৯৬ টাকা খরচ হয়, তবে মেঝের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার,
দৈর্ঘ্য = ২x মিটার
∴ মেঝের ক্ষেত্রফল = (২x × x)
= ২x^২ বর্গমিটার 

∴ আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = ১৯৬/২ = ৯৮ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, 
২x^২ = ৯৮
⇒ x^২ = ৯৮/২
⇒ x^২ = ৪৯
∴ x = ৭ 

∴ আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য = ২x
= (২ × ৭) মিটার 
= ১৪ মিটার ।

ব্যাসার্ধ r = 5 ∴ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল = 4πr² = 4π5² = 100π

যেহেতু, ব্যাস 10cm
∴ ব্যাসার্ধ = 5cm
∴ ফুটবলের আয়তন = (4/3)πr³
                              = (4/3)π × 5³
                         = 523.60 ঘনসে.মি

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a,
প্রস্থ = b
∴ পরিসীমা 2(a + b) = 34
বা, a + b = 17 ...... (1)
আবার,
a² + b² = 13²
বা, (a + b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 169 = 2ab
বা, 2ab = 289 - 169
বা, ab = 120/2
∴ ab = 60

মনে করি, ঘনকটির ধার a মিটার
কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
প্রশ্নমতে, 6a² = 96
বা, a = 4
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3মিটার

ΔABC এর BD² = AB² + AD² = 16² + 12² = 400
∴ BD = 20
কিন্তু আয়তক্ষেত্র ABCD এর দুটি কর্ণ AC এবং DB একে অপরকে সমান ভাবে ভাগ করে। তাহলে E হল DB এর মধ্যবিন্দু। 
∴ DE = 20/2 = 10m

বাগানের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৭০) বর্গ ফুট
= ৫৬০০ বর্গ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = {৮০ + (৫+৫)} {৭০ + (৫+৫)}
= ৯০ × ৮০
= ৭২০০ বর্গ ফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৭২০০ - ৫৬০০
= ১৬০০ বর্গ ফুট

একটি ধার = a হলে
আয়তন a³ = 216
∴ a = 6
∴ সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6.6²
= 6³
= 216 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x একক
প্রস্থ = y একক
অতএব, ক্ষেত্রফল = (x × y) বর্গ একক = xy বর্গ একক

আবার,
৩০% বৃদ্ধিতে নতুন দৈর্ঘ্য = x + (x এর ৩০%)
= x + ৩x/১০ = ১৩x/১০ একক

এবং 
২০% হ্রাসে নতুন প্রস্থ = y - (y এর ২০%)
= y - ২y/১০ = ৮y/১০ একক

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (১৩x/১০) × (৮y/১০) বর্গ একক = ১০৪xy/১০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = (১০৪xy/১০০) - xy = (১০৪xy - ১০০xy)/১০০ = ৪xy/১০০ বর্গ একক =

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিবর্তন = {(৪xy/১০০)/xy}  × ১০০%
= ৪% বৃদ্ধি

ব্যাসার্ধদ্বয়ের অনুপাত = 4 : 6
                          = 2 : 3
ধরি, ব্যাসার্ধদ্বয় যথাক্রমে, 2r ও 3r.
∴ ক্ষেত্রফল যথাক্রমে, π(2r)² এবং π(3r)²
                         = 4πr² এবং 9πr²

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 4πr² : 9πr²
                             = 4:9

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩০ মি., ২৪ মি., ১৮ মি.। প্রতি বর্গমিটার ১.৫০ টাকা হিসেবে ঐ মাঠে কার্পেট বসাতে কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
ত্রিভুজের পরিসীমা ২S হলে,
আমরা জানি ,
ত্রিভুজের পরিসীমা ২S = a + b + c
বা, S = (a + b + c)/২
বা, S = (৩০ + ২৪ + ১৮)/২
∴ ‍S = ৩৬

আমরা জানি,
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = √S (S - a) (S - b) (S - c)
= √৩৬ (৩৬ - ৩০) (৩৬ - ২৪) (৩৬ - ১৮) বর্গ মি.
= √৪৬৬৫৬ বর্গ মি.
= ২১৬ বর্গ মি.

১ বর্গ মি. কার্পেট বসাতে খরচ হয় = ১.৫০ টাকা
∴ ২১৬ বর্গ মি. কার্পেট বসাতে খরচ হয় = (২১৬ × ১,৫০) টাকা
= ৩২৪ টাকা

∴ ঐ মাঠে কার্পেট বসাতে খরচ হয় ৩২৪ টাকা।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দুইগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৮০০ বর্গমিটার হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

প্রদত্ত অনুযায়ী,
২ক × ক = ৮০০
⇒ ২ক^২ = ৮০০
⇒ ক^২ = ৪০০
⇒ ক = ২০ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ × ২০ = ৪০ মিটার

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৩.৫ মিটার হলে, ৭০০ মিটার পথ অতিক্রম করতে তাকে কত বার ঘুরতে হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার পরিধি C = ৩.৫ মিটার
দূরত্ব D = ৭০০ মিটার

ঘূর্ণন সংখ্যা = D/C​ 
= ৭০০/৩.৫
= ২০০

∴ঘুরতে হবে = ২০০ বার

প্রশ্ন: ৬২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি লোহার তারকে একটি গোলাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
চাকার ব্যাস = ২r সে.মি. 

এখানে, 
চাকার পরিধি = লোহার তারের দৈর্ঘ্য 
বা, ২πr = ৬২৮ 
বা, ২r = ৬২৮/π 
বা, ২r = ৬২৮/৩.১৪ 
বা, ২r = (৬২৮ × ১০০)/৩১৪ 
∴ ২r = ২০০

∴ চাকার ব্যাস = ২০০ সে.মি.।

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a হলে,
a³ = 216
∴ a = 6

∴ ঘনকটির এক তলের ক্ষেত্রফল = a² = 36 বর্গমি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। জমিটির প্রস্থ ৪০ মিটার হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
জমির প্রস্থ = ৪০ মিটার 
∴ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৪০ × ১.৫) মিটার 
= ৬০ মিটার 

∴ বাগানের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= ২ × (৬০ + ৪০) মিটার 
= (২ × ১০০) মিটার
= ২০০ মিটার 

∴ বাগানের পরিসীমা = ২০০ মিটার ।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ১২ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৫০ × ৪০ = ২০০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তার প্রস্থ = ৪ মিটার
যেহেতু রাস্তাটি মাঠের বাইরের দিকে তৈরি করা হয়েছে,
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৫০ + ৪ + ৪ = ৫৮ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৪০ + ৪ + ৪ = ৪৮ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৫৮ × ৪৮ = ২৭৮৪ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল - মাঠের ক্ষেত্রফল
= ২৭৮৪ - ২০০০ = ৭৮৪ বর্গমিটার

এখন,
প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় ১২ টাকা
∴ ৭৮৪ বর্গমিটার রাস্তার মোট ব্যয় = ৭৮৪ × ১২ টাকা
= ৯৪০৮ টাকা

∴ রাস্তাটি তৈরি করতে মোট ৯৪০৮ টাকা লাগবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পানির ট্যাংকে ২৪০০০ লিটার পানি ধরে। যদি ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার হয়, তবে ট্যাংকের গভীরতা কত মিটার হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার 
∴ ২৪০০০ লিটার = ২৪ ঘনমিটার 

আবার, 
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা 
∴ গভীরতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) 
= ২৪/(৪ × ৩) 
= ২৪/১২ 
= ২ মিটার 

∴ ট্যাংকের গভীরতা = ২ মিটার।

প্রশ্ন: একটি পিরামিডের আয়তন ১১০৪ ঘন সে.মি. ও ভূমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ সে.মি. হলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (১/৩) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
বা, ১১০৪ = (১/৩) × ১৪৪ × উচ্চতা
বা, ১১০৪ × ৩ = ১৪৪ × উচ্চতা
বা, ৩৩১২ = ১৪৪ × উচ্চতা
বা, উচ্চতা = (৩৩১২/১৪৪) ঘন সে.মি.
∴ উচ্চতা = ২৩ সে.মি.