পরিমিতি

প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 140 বর্গ মি.। যদি এর দৈর্ঘ্য 2 মি. কমানো হয় এবং প্রস্থ 2 মি. বাড়ানো হয় তবে তা একটি বর্গক্ষেত্র হয়। বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি, বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ‍a মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (a + 2) মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (a - 2) মিটার

প্রশ্নমতে,
(a + 2) × (a - 2) = 140
বা, ‍a² + 2a - 2a - 4 = 140
বা,  ‍a² - 4 = 140
বা, a² = 144
বা, a² = (12)²
∴ ‍a = 12

∴ ‍ বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 মিটার।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি এবং উচ্চতা ৯ সে.মি হলে, উহার তলগুলোর মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৪ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৯ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৪(৪ + ৯)
= ২π × ৪ × ১৩
= ৮π × ১৩
= ১০৪π বর্গ সে.মি.

ধরি, দৈর্ঘ্য = ৬x সে.মি, প্রস্থ = ৫x সে.মি, উচ্চতা = ৪x সে.মি.
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(৬x × ৫x + ৫x × ৪x + ৬x × ৪x) = ২৩৬৮
বা, ২(৩০x^২ + ২০x^২ + ২৪x^২) = ২৩৬৮
বা, ২ × ৭৪x^২ = ২৩৬৮
বা, x^২ = ২৩৬৮/(২×৭৪) = ১৬
∴ x = ৪
∴ দৈর্ঘ্য = ২৪ সে.মি., প্রস্থ = ২০ সে.মি., উচ্চতা = ১৬ সে.মি.
∴ আয়তন = ২৪ × ২০ ×১৬ = ৭৬৮০ ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 846 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 5x সে.মি.
আয়তকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 4x সে.মি.
আয়তকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, c = 3x সে.মি.

আমরা জানি, 
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক 

প্রশ্নমতে, 
2 (ab + bc + ca) = 846
⇒ 2(5x . 4x + 4x . 3x + 3x . 5x) = 846
⇒ 2(20x² + 12x² + 15x²) = 846
⇒ 47x² = 846/2
⇒ 47x² = 423
⇒ x² = 9
⇒ x² = 3²
∴ x = 3

এখন, 
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 5x সে.মি.
= (5 × 3) সে.মি.
= 15 সে.মি. ।

আমরা জানি,
গোলকের ক্ষেত্রফল = 4 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= 4πr² এবং আয়তন = (4/3)πr³
সুতরাং গোলকের ব্যাসার্ধ 2 গুণ বৃদ্ধি করলে উহার ক্ষেত্রফল 4 গুণ এবং আয়তন 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ানো হলো এবং প্রস্থ ২০% কমানো হলো। ক্ষেত্রফল ....

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ খ
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = কখ

দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধিতে 
নতুন দৈর্ঘ্য = ক  + ক এর ২০%
= ক + ক এর ২০/১০০
= ক + ক/৫
= ৬ক/৫

প্রস্থ ২০% হ্রাসে 
নতুন প্রস্থ = ক  - ক এর ২০% 
= ক - ক এর ২০/১০০
= ক - ক/৫
= ৪ক/৫

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৬ক/৫) × (৪ক/৫) = ২৪কখ/২৫

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস = কখ - ২৪কখ/২৫
= (২৫কখ - ২৪কখ)/২৫
= কখ/২৫

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস= {(কখ/২৫)/কখ} × ১০০%
=  ৪%

অতএব, ক্ষেত্রফল ৪% কমবে। 

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ √3/4 a² = 4√3
বা, a² = 16
∴ a = 4
আবার, 1/2 × BC × AD = ΔABC
বা, 1/2 × 4 × AD = 4√3
বা, 2AD = 4√3
∴ AD = 2√3

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা ২৫ মিনিটে ৩০০০ বার ঘুরে ১৫ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করে। চাকার পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কি. মি. = ১০০০ মিটার
তাহলে, ১৫ কি. মি. = ১৫০০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
পরিধি × ৩০০০ = ১৫০০০ 
⇒ পরিধি × ৩০০০ = ১৫০০০
⇒ পরিধি = ১৫০০০/৩০০০
⇒ পরিধি = ৫

অতএব, চাকার পরিধি ৫ মিটার।

ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুরোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ সেমিঃ
যেহেতু, ৩² + ৪² = ৫², ইহা একটি সমকোনী ত্রিভুজ।
সমকোনী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ x ভূমি x উচ্চতা
= ½ (3 x 4) = 6 সেমিঃ
প্রিজমের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(ভূমির ক্ষেত্রফল) + ভূমির পরিসীমা x উচ্চতা
= (2 x 6) + (3+4+5) x 8
= 12 + (12 x 8)
= 12 + 96 = 108

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৩ক × ক = ৪৩২
⇒ ৩ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/৩
⇒ ক^২ = ১৪৪
∴ ক = ১২

∴ প্রস্থ = ক = ১২ মিটার,
দৈর্ঘ্য = ৩ক = ৩ × ১২ = ৩৬ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৩৬ + ১২) মিটার
= ২ × ৪৮ মিটার
= ৯৬ মিটার

ধরি, ঘনকদ্বয়ের বাহুদ্বয় ৩ক, ২ক
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৬(৩ক)^২, ৬(২ক)^২
∴ ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = ৫৪ক^২ : ২৪ক^২
= ৯ঃ৪

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে তলের মোট ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গমিটার
= 6 × 5²
= 150 বর্গমিটার

প্রশ্ন: ১৮ ইঞ্চি উঁচু একটি বক্সের দৈর্ঘ্য ৩ ফুট এবং প্রস্থ ২ ফুট। বক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​বক্সটির উচ্চতা = ১৮ ইঞ্চি = ১৮/১২ ফুট = ৩/২ ফুট 
​দৈর্ঘ্য = ৩ ফুট 
​প্রস্থ = ২ ফুট 
​
​∴ বক্সের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা 
​= {(৩/২) × ৩ × ২} ঘনফুট 
​= ৯ ঘনফুট 

3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, (4/3 π 3³), (4/3 π 4³), (4/3 π 5³)।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন = (4/3 π 3³) + (4/3 π 4³) + (4/3 π 5³)
= 4/3 π (3³+4³+5³)
= 4/3 π × 216
= 4/3 π × 6³
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বাঁশের চোঙ্গের ব্যাস 14 সে.মি. ও উচ্চতা 20 সে.মি. হলে চোঙটির সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 20 সে.মি.

∴ চোঙ্গের আয়তন (বেলনের আয়তন) = 2πr(h + r)
= 2 × (22/7) × 7 × (20 + 7)
= 2 × 22 × 27
= 1188 বর্গসে.মি.

এখানে,
r = 5,
h = 8
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh + πr²
= 2π × 5 × 8 + π × 5²
= 80π + 25π
= 105π

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের আয়তন ৭৯২ ঘন মি. এবং উচ্চতা ২৮ মি. হলে সিলিন্ডারের ব্যাস কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা h = ২৮ মিটার
সিলিন্ডারের আয়তন v = ৭৯২ ঘন মিটার

ধরি,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = r 

প্রশ্নমতে,
πr²h = ৭৯২
⇒ (২২/৭) × r² × ২৮ = ৭৯২ 
⇒ ৮৮ × r² = ৭৯২ 
⇒ r² = ৭৯২/৮৮
⇒ r² = ৯
∴ r = ৩

∴ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = ৩ মিটার
∴ ব্যাস = (২ × ৩) = ৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 6 সেমি এবং আয়তন 12π ঘন সেমি হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 6 সেমি
অতএব, ব্যাসার্ধ, r = 6 / 2 = 3 সেমি
আয়তন = 12π ঘন সেমি

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
প্রশ্নমতে,
(1/3) × π × (3)² × h = 12π
বা, (1/3) × 9h = 12
বা, 3h = 12
বা, h = 12 / 3
বা, h = 4 সেমি

এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য (l) = √(r² + h²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √(25)
= 5 সেমি

অতএব, নির্ণেয় হেলানো তলের দৈর্ঘ্য 5 সেমি।

উচ্চতা = 18'' = 1(1/2)' = 3/2' (ফুট)
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = 6' ও প্রস্থ = 3' (ফুট)

∴ আয়তন = (3/2 × 6 × 3) ঘনফুট
= 27 ঘনফুট

রাস্তা বাদে পার্কের ব্যাসার্ধ r = 100/2 = 50 মিটার
∴ রাস্তা বাদে পার্কের ক্ষেত্রফল πr² = π.50² = 2500π বর্গমিটার
আবার, রাস্তা সহ পার্কের ব্যাসার্ধ a = 50+2 = 52 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ক্ষেত্রফল πa² = π.52² = 2704π বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = 2704π - 2500π = 204π

প্রশ্ন: একটি গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল যত বর্গ একক তার আয়তন তত ঘন একক। এর ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
গোলকের ব্যাসার্ধ = r 

আমরা জানি, 
গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক 
এবং গোলকের আয়তন= (4/3)πr³ ঘন একক 

প্রশ্নমতে,
(4/3)πr³ = 4πr² 
বা, (1/3)r = 1
বা, r/3 = 1
∴ r = 3 

∴ গোলকটির ব্যাসার্ধ = 3 একক।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ সে. মি. এবং ৫ সে. মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সেমি ও ৫ সেমি।

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (প্রথম কর্ণ × দ্বিতীয় কর্ণ)

অতএব,
ক্ষেত্রফল = (১/২)  × ৮ × ৫ বর্গ সেমি
= (১/২) × ৪০ বর্গ সেমি
= ২০ বর্গ সেমি

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল ২০ বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার, উচ্চতা ৩.৫ মিটার এবং পুরুত্ব ২০ সেন্টিমিটার। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ৮ সেন্টিমিটার, প্রস্থ ৪ সেন্টিমিটার এবং উচ্চতা ২.৫ সেন্টিমিটার। দেওয়ালটি তৈরি করতে কতগুলি ইট লাগবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার

∴ দেওয়ালের আয়তন = ১৫০০ × ৩৫০ × ২০ = ১০৫০০০০০ ঘন সে. মি.
∴ একটি ইটের আয়তন = ৮ × ৪ × ২.৫ = ৮০ ঘন সে. মি.

∴ ইটের সংখ্যা = ১০৫০০০০০/৮০ = ১৩১২৫০ টি

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর মাত্রা কয়টি?

সমাধান:
- ঘনবস্তু (Solid) কোনো জাগতিক বস্তু যে স্থান দখল করে থাকে, তা তিন দিকে বিস্তৃত।
- এ তিন দিকের বিস্তার বস্তুটির তিনটি মাত্রা (Three dimension) দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নির্দেশ করে।
- সেজন্য প্রত্যেক ত্রিমাত্রিক (three-dimensional) বস্তুকে বলা হয় ঘনবস্তু (Solid)।
-যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে। একটি বল বা গোলকেরও তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার অভিন্নতা স্পষ্টভাবে বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খণ্ডে বিভক্ত করা যায়।

এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 3 মিটার
ঘনক আকৃতির বাক্সে তল থাকে 6 টি।
∴ বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6×3²
= 54 বর্গমিটার

ব্যাসার্ধ r = 16/2 = 8 সেমিঃ
গোলকের ফাঁপা অংশের ব্যাসার্ধ = 8-2 = 6
গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন = 4/3 (πr³) = 4/3 (π6³)
= 288π

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 18 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি 
এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 18 সে.মি 

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ একক
=  (2π × 6 × 18) বর্গ সে.মি
= 216π বর্গ সে.মি

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 216π বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 1331 ঘনসেমি হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন = 1331 ঘনসেমি

ধরি,ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি
আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = a³
সুতরাং, a³ = 1331
⇒ a = 11 সেমি [ঘনমূল করে]

এখন, ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6 × (11)²
= 6 × 121
= 726 বর্গ সেমি

∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 726 বর্গ সেমি।