পরিমিতি

প্রশ্ন: 4 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণকে বাহু ধরে যে বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করা হয়, তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি

আমরা জানি
বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
 = √2 × 4
= 4√2 

প্রশ্নমতে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু

∴ অপর বর্গের বাহু = 4√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (4√2)² বর্গসেমি
= 32 বর্গসেমি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বক্সের উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের দুই-তৃতীয়াংশ এবং বক্সটির প্রস্থ এর দৈর্ঘ্যের এক-পঞ্চমাংশ। বক্সটির প্রস্থ ৩ মিটার হলে এর আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
​আয়তাকার বক্সটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার 
​উচ্চতা = ২ক/৩ মিটার 
​প্রস্থ = ক/৫ মিটার 
​
​প্রশ্নমতে,
​ক/৫ = ৩
​⇒ ক = ১৫
​
​∴ দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার 
​উচ্চতা = (২ × ১৫)/৩ = ৩০/৩ = ১০ মিটার 
​প্রস্থ = ১৫/৫ = ৩ মিটার 
​
​∴ আয়তাকার বক্সটির আয়তন = (১৫ × ৩ × ১০) ঘনমিটার 
​= ৪৫০ ঘনমিটার 

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

তাহলে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি
= (২ × ৪০)/(১২ + ৮)
= ৮০/২০
= ৪ সে.মি.

প্রশ্ন: বর্গাকার একটি মাঠের ভিতরে চারদিকে 4 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি রাস্তার ক্ষেত্রফল 1 হেক্টর হয়, তবে রাস্তা বাদে মাঠের ভিতরের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
মনে করি, বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য x মিটার।
∴ ক্ষেত্রফল = x² বর্গমিটার।

আবার, 
মাঠের ভিতরে চারদিকে 4 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে।
রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = x - (2 × 4) = (x - ৪) মিটার।
 ∴ রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (x - ৪)² বর্গমিটার

আমরা জানি, 1 হেক্টর = 10000 বর্গমিটার

প্রশ্নানুসারে,
x² - (x - 8)² = 10000
⇒ x² - x² + 16x - 64 = 10000 
⇒ 16x = 10064
∴ x = 629

∴ রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল  = (629 - ৪)² = 621² = 385641 বর্গমিটার = 38.56 হেক্টর (প্রায়)

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 38.56 হেক্টর (প্রায়)।

প্রশ্ন: 20 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.। সিলিন্ডারটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 20 সে.মি. এবং
ভূমির ব্যাস, d = 7 সে.মি.
∴ সিলিন্ডারটির ভূমির ব্যাসার্ধ, r = d/2 সে.মি.
= 7/2 সে.মি.

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h ঘন একক
= (22/7) × (7/2)² × 20 ঘন সে.মি.
= (22/7) × (49/4) × 20 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 5 ঘন সে.মি.
= 770 ঘন সে.মি. 

∴ সিলিন্ডারটির আয়তন = 770 ঘন সে.মি.।

আমরা জানি,
গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে আয়তন = 4/3 πr³
= 4/3 π(2r)³
= 4/3 π 8 r³
= 8 × 4/3 πr³
= 8 × গোলকের আয়তন।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 20 মিটার, প্রস্থ 4 মিটার ও উচ্চতা 5 মিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 20 মিটার
প্রস্থ, b = 4 মিটার
উচ্চতা, c = 5 মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + b² + c²)
= √(20² + 4² + 5²) মিটার
= √(400 + 16 + 25) মিটার
= √441 মিটার
= 21 মিটার

প্রশ্ন: 5 সে. মি. ব্যাসার্ধ ও 9 সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 5 সে. মি.
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 9 সে. মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘনএকক
= π × 5² × 9 ঘনসে. মি.
= 225π ঘন সে. মি.

ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r
∴ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 4πr² = 100π
বা, r² = 25
∴ r = 5
∴ আয়তন = 4/3 × π × r³
= 4/3 × π × 5³
= 500π/3

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a², [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a² = 48
⇒ a² = 48/6
⇒ a² = 8
⇒ a = √8 = 2√2 
∴ a = 2√2 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= (2√2) × √3  ; [a = 2√2]
= 2√(2 × 3)
= 2√6

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার।

একটি সমবৃত্তভুমিক বেলনের উচ্চতা 10 সেমি ও ভূমির ব্যসার্ধ 7 সেমি হলে, এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2Πr(r + h)
= 2 × Π × 7(7 + 10)
= 238Π

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার হলে,
৬ক^২ = ৯৬
বা, ক^২ = ৯৬/৬
বা, ক^২ = ১৬ 
বা, ক = ৪
সুতরাং ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = ক√৩ = ৪√৩

প্রশ্ন: ৮ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভুমির ব্যাস ১২ সে. মি. হলে, কোণকের তির্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা h = ৮ সে. মি.
ব্যাসার্ধ r = ১২/২ = ৬ সে. মি.

আমরা জানি,
কোণকের তির্যক উচ্চতা L = √(h²+r²) সে. মি.
= √(৮^২+ ৬^২)সে. মি.
= √১০০ সে. মি.
= ১০  সে. মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১১ মিটার এবং ১৫ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৫ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার
সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১১ মিটার এর অর্ধেক।

∴ দূরত্ব = ১১/২ = ৫.৫ মিটার

অতএব, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব = ৫.৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি কুয়ার ব্যাস ২৮ সে.মি এবং উচ্চতা ২ মিটার। প্রতি ঘন সে.মি ২ টাকা হিসেবে কুয়া খনন করলে কত খরচ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কুয়ার ব্যাস, ২r = ২৮ সে.মি
কুয়ার ব্যাসার্ধ, r = ২৮/২ সে.মি = ১৪ সে.মি
কুয়ার উচ্চতা, h = ২ মিটার = ২০০ সে.মি 

∴ কুয়ার আয়তন = πr^২h 
= {(২২/৭) × (১৪)^২ × ২০০} ঘন সে.মি
= {(২২/৭) × ১৪ × ১৪ × ২০০} ঘন সে.মি
= (২২ × ১৪ × ২ × ২০০) ঘন সে.মি
= ১২৩২০০ ঘন সে.মি

∴ খরচ হবে = (১২৩২০০ × ২) টাকা 
= ২৪৬৪০০ টাকা ।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। এর চারদিকে একবার প্রদক্ষিণ করলে ২ কিলোমিটার হাঁটা হয়। ক্ষেত্রটির প্রস্থ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি, 
প্রস্থ = ক মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ২ কিলোমিটার বা ২০০০ মিটার

শর্তমতে,
২(ক + ৩ক) = ২০০০
বা, ২ × ৪ক = ২০০০
বা, ৮ক = ২০০০
∴ ক = ২৫০

∴ প্রস্থ = ২৫০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের সামনের চাকার পরিধি ২.৫ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১২ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
সামনের চাকার পরিধি = ২.৫ মিটার অর্থাৎ একবার ঘুরলে ২.৫ মিটার পথ অতিক্রম করে।
পেছনের চাকার পরিধি = ৪ মিটার অর্থাৎ একবার ঘুরলে ৪ মিটার পথ অতিক্রম করে।

ধরি, সাইকেলটি d মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে।
সামনের চাকার ঘূর্ণন সংখ্যা = d/২.৫
পেছনের চাকার ঘূর্ণন সংখ্যা = d/৪

শর্ত অনুসারে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১২ বার বেশি ঘুরবে। অর্থাৎ
d/২.৫ = (d/৪) + ১২ 
⇒ (১০d/২৫) - (d/৪) = ১২ 
⇒ (৪০d - ২৫d)/১০০ = ১২ 
⇒ ১৫d = ১২০০ 
⇒ d = ১২০০/১৫ 
∴ d = ৮০ 

 সুতরাং, কমপক্ষে ৮০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১২ বার বেশি ঘুরবে। 

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং উচ্চতা 4 সে. মি. হলে, এর বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 7 সে. মি.
উচ্চতা, h = 4 সে. মি

আমরা জানি,
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × π × 7 × 4
= 56π

∴ সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 56π

কোণকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = πr(l + r)

প্রশ্ন: ১ মিটার = কত ইঞ্চি (প্রায়)?

সমাধান:
আমরা জানি,
• ১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়)।
• ১ গজ = ০.৯১৪৪ মি. (প্রায়)।
• ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)।
• ১ কি. মি. = ০.৬২ মাইল (প্রায়)।
• ১ মাইল = ১.৬১ কি. মি. (প্রায়)। 

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x+1) মিটার
∴ ট্রাপিজিতামের ক্ষেত্রফল =(3/2)(x + x+ 1) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
বা, (3/2)(2x+1) = 30
বা, 2x + 1 = 20
বা, 2x = 19
বা, x = 9.5
∴ ক্ষুদ্রতম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9.5 মিটার।

প্রশ্ন: একটি ইটের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি., প্রস্থ ১০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। একটি ট্রাক ৪ মিটার দৈর্ঘ্য, ২ মিটার প্রস্থ এবং ১.৫ মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট হলে, ট্রাকে কতগুলো ইট রাখা যাবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ মিটার = ১০০ সে.মি.

দেওয়া আছে, 
ট্রাকের দৈর্ঘ্য = ৪ মি = ৪০০ সে.মি.
প্রস্থ = ২ মি = ২০০ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ১.৫ মি = ১৫০ সে.মি.

ট্রাকের আয়তন = ৪০০ × ২০০ × ১৫০ = ১২০০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার, 
ইটের আয়তন = ২০ × ১০ × ৮ = ১৬০০ ঘন সে.মি.

∴ মোট ইটের সংখ্যা = ১২০০০০০০/১৬০০ = ৭৫০০ টি 

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল = a² (√3/4) [সূত্র]

সিলিন্ডারের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল = (πr² + 2πrh + πr²) বর্গ একক
কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ একক
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3 একক

প্রশ্ন: এক বর্গইঞ্চি = কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:
আমরা জানি
১ ইঞ্চি =২.৫৪ সেমি
১ বর্গ ইঞ্চি = (২.৫৪ × ২.৫৪) বর্গ সেমি
= ৬.৪৫১৬ বর্গ সেমি
= ৬.৪৫বর্গ সেমি